Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 140 Cevapları

Varsayım örneğidir; sonraki işlem basamaklarıyla sınanır. Tek kenarlıda eksen köşeden karşı kenar orta noktasına, çift kenarlıda ayrıca kenar ortalarından geçer.

1. Tek kenarlı (örneğin beşgen) ve çift kenarlı (örneğin altıgen) birer düzgün çokgen taslak olarak düşünülür.
2. Köşegenlerin çokgenin merkezinden geçip geçmediği ve kaç farklı uzunlukta olabileceği üzerine gözlem yapılır.
3. Simetri eksenlerinin nereden geçtiği ve sayısının kenar sayısıyla ilişkisi tahmin edilerek sınanabilir bir varsayım yazılır.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Tek kenarlılarda köşegenler merkezden geçmez; çift kenarlılarda karşılıklı köşegenler merkezden geçer ve simetri ekseni olur. (Köşegen ve simetri özelliklerini karşılaştıran, sonraki adımlarda sınanabilir her öğrenci varsayımı geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Yazdığın varsayım hem tek hem çift kenarlı düzgün çokgenler için köşegen ve simetri özelliklerini içeriyor mu?

Beşgende bir köşeden n-3=2 köşegen çıkar; A seçilirse AC ve AD çizilir.

1. Birinci düzgün beşgende bir köşe (örneğin A), ikinci beşgende farklı bir köşe (örneğin B) seçilir.
2. Bir köşeden komşu olmayan köşelere n-3 = 5-3 = 2 adet köşegen çizileceği belirlenir.
3. A köşesinden komşu olmayan C ve D köşelerine AC ve AD; B köşesinden ise BD ve BE köşegenleri çizilir.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Birinci beşgende B köşesinden BD ve BE, ikinci beşgende C köşesinden CA ve CE köşegenleri çizilir. (İki beşgende birbirinden farklı birer köşe seçilip komşu olmayan iki köşeye köşegen çizilmesi koşuluyla geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Seçtiğin her köşeden tam olarak 5-3=2 köşegen çıktı mı ve beşgen 3 üçgene ayrıldı mı?

Beşgenin iç açısı 108°. ABC ve ADE ikizkenar olup taban açıları (180-108)/2=36° olur. ACD'de A'daki açı 108-36-36=36°, kalan iki açı 72°.

1. Düzgün beşgenin bir iç açısı 3 · 180° / 5 = 108° dir; A köşesinden AC ve AD köşegenleri çizilir.
2. ABC ve ADE ikizkenar üçgenlerdir: tepe açısı 108°, taban açıları (180° - 108°) / 2 = 36° olur.
3. ACD'de A açısı 108° - 36° - 36° = 36° olur.
4. ACD'de C açısı 108° - 36° = 72°, D açısı da 72° olur.
5. Kontrol: 36° + 72° + 72° = 180°; ABC ve ADE: 108°, 36°, 36°.

Kabul edilebilir başka cevaplar: B köşesi seçilirse BCD ve BAE: 108°, 36°, 36°; BDE: 36°, 72°, 72° olur. (Başka bir köşe seçildiğinde üçgen adları değişir ancak açı ölçüleri aynı kalır.)

Kendini kontrol et: Her üçgenin iç açıları toplamı 180° ve A köşesindeki üç açının toplamı 36°+36°+36°=108° oluyor mu?

İkisinde de iki kenar beşgenin kenarı, aralarındaki açı 108°dir (KAK); bu yüzden eştirler.

1. A köşesinden çizilen köşegenlerle oluşan ABC, ACD ve ADE üçgenlerinin kenar ve açı ölçüleri karşılaştırılır.
2. ABC ve ADE üçgenlerinde ikişer kenar beşgenin kenarına eşittir (|AB|=|BC|=|AE|=|ED|) ve aralarındaki açılar 108°'dir.
3. Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşliğine göre ABC ve ADE üçgenleri eştir; açıları 36°-72°-72° olan ACD bunlara eş değildir.

Kabul edilebilir başka cevaplar: B köşesi seçildiğinde BCD ve BAE üçgenleri eştir. (Seçilen köşenin iki yanındaki kenar üçgenler (108°-36°-36°) her durumda birbirine eştir.)

Kendini kontrol et: Eş bulduğun ABC ve ADE üçgenlerinin karşılıklı iç açıları (108°, 36°, 36°) ve kenarları eşit mi?

Eş üçgenler ABC ve ADE'den AC=AD bulunur; simetri nedeniyle beşgenin 5 köşegeninin hepsi eşittir.

1. Bir önceki adımda ABC ve ADE üçgenlerinin eş olduğu bulunmuştu.
2. Eş üçgenlerde 108°'lik açıların karşısındaki kenarlar eşit olduğundan |AC| = |AD| olur.
3. Düzgün beşgenin tüm köşeleri simetrik olduğundan 5 köşegenin tamamı birbirine eşittir; yani 1 farklı uzunlukta köşegen vardır.

Kendini kontrol et: Düzgün beşgende herhangi bir köşegen hep 1 köşe atlayarak çizildiğine göre farklı uzunluk oluşabilir mi?

Her açıortay köşeyi karşı kenarın orta noktasına bağlar ve şekli iki eş parçaya ayırır; beş eksen merkezde kesişir.

1. Her köşedeki 108°'lik iç açıyı 54° ve 54° olarak iki eş parçaya bölen iç açıortay doğruları çizilir.
2. Her iç açıortay karşı kenarı dik ortalar ve düzgün beşgeni üst üste çakışan iki eş dörtgene ayırdığından simetri eksenidir.
3. Beş köşeye ait iç açıortayların tamamı düzgün beşgenin merkezinde, yani tek bir noktada kesişir.

Kendini kontrol et: Beşgeni çizdiğin herhangi bir iç açıortay boyunca katladığında sağ ve sol yarılar tam çakışıyor mu?

Altıgende bir köşeden n-3=3 köşegen çıkar.

1. Birinci düzgün altıgende bir köşe (örneğin A), ikinci altıgende farklı bir köşe (örneğin B) belirlenir.
2. Altıgende bir köşeden komşu olmayan köşelere n-3 = 6-3 = 3 adet köşegen çizileceği bulunur.
3. A köşesinden komşu olmayan C, D, E köşelerine AC, AD, AE; B köşesinden ise BD, BE, BF köşegenleri çizilir.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Birinci altıgende B köşesinden BD, BE, BF; ikinci altıgende C köşesinden CA, CE, CF köşegenleri çizilir. (İki altıgende farklı birer köşe seçilip komşu olmayan üçer köşeye köşegen çizilmesi koşuluyla geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Seçtiğin köşeden 3 köşegen çıktı mı ve düzgün altıgen toplam 4 üçgene ayrıldı mı?

İç açı 120°. ABC ve AEF ikizkenar, taban açıları 30°. AD merkezden geçer; ACD ve ADE dik üçgenlerdir (30-60-90).

1. Düzgün altıgenin bir iç açısı (6 - 2) · 180° / 6 = 120° dir; A köşesinden AC, AD, AE köşegenleri çizilir.
2. ABC ve AEF ikizkenar üçgenlerdir: tepe açısı 120°, taban açıları (180° - 120°) / 2 = 30° olur.
3. A'daki 120° lik açıdan 30° + 30° çıkınca kalan 60°, AD ile eşit ikiye ayrılır: m(CAD) = m(DAE) = 30°.
4. ACD'de C açısı 120° - 30° = 90°, D açısı 180° - 30° - 90° = 60° olur.
5. ADE'de E açısı 90°, D açısı 60° olur; ABC: 120°, 30°, 30°; AEF: 120°, 30°, 30°.

Kabul edilebilir başka cevaplar: B köşesi seçilirse BCD ve BAF: 120°, 30°, 30°; BDE ve BEF: 30°, 60°, 90° olur. (Başka bir köşe seçildiğinde üçgen harfleri değişir ancak oluşan dört üçgenin açı ölçüleri aynı kalır.)

Kendini kontrol et: A köşesindeki dört açının toplamı 30°·4=120° ve her üçgenin iç açıları toplamı 180° oluyor mu?