Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 141 Cevapları

A köşesinden AC, AD, AE çizilince dört üçgen oluşur. Baştaki ve sondaki üçgenler (30°-30°-120°), ortadaki ikisi (30°-60°-90°) birbirine eştir.

1. A köşesinden çizilen köşegenlerle oluşan ABC, ACD, ADE ve AEF üçgenlerinin kenar ve açıları incelenir.
2. ABC ve AEF üçgenlerinde ikişer kenar altıgen kenarına eşit ve aralarındaki açı 120° olduğundan KAK eşliğiyle ABC ≅ AEF olur.
3. ACD ve ADE dik üçgenlerinde AD kenarı ortak ve açılar 30°-60°-90° olduğundan Açı-Kenar-Açı (AKA) eşliğiyle ACD ≅ ADE bulunur.

Kabul edilebilir başka cevaplar: B köşesinden çizildiğinde BCD ile BAF eş, BDE ile BEF eştir. (Seçilen köşeden geçen simetri eksenine göre karşılıklı üçgen çiftleri birbirine eştir.)

Kendini kontrol et: AD köşegeni boyunca altıgeni katladığında ABC ile AEF ve ACD ile ADE üçgenleri tam çakışıyor mu?

Kısa köşegenler (AC gibi) birbirine eşit, uzun köşegenler (AD gibi, merkezden geçen) birbirine eşittir. Toplam 9 köşegen iki uzunluğa ayrılır.

1. A köşesinden çıkan AC, AD ve AE köşegenlerinin uzunlukları karşılaştırılır.
2. ABC ≅ AEF eşliğinden |AC| = |AE| bulunur; ACD dik üçgeninde hipotenüs olan AD ise AC'den daha uzundur.
3. Altıgenin tüm köşeleri simetrik olduğundan bütün köşegenler kısa (AC gibi) veya uzun (AD gibi) olmak üzere 2 farklı uzunluktadır.

Kendini kontrol et: Altıgende köşegenler ya 1 köşe atlayarak ya da tam karşı köşeye çizildiğine göre üçüncü bir uzunluk oluşabilir mi?

ABC üçgeninde 120° açıdan kosinüs teoremiyle AC = a√3. Uzun köşegen merkezden geçer ve iki yarıçap, yani 2a uzunluğundadır.

1. Düzgün altıgenin kenarı a olsun; iki çeşit köşegen vardır: bir köşe atlayan kısa ve karşı köşeye giden uzun köşegen.
2. Kısa köşegen AC için ABC üçgeninde |AB|=|BC|=a ve iç açı B=120° alınır.
3. Kosinüs teoremi: AC² = a² + a² − 2·a·a·cos120° = 2a² + a² = 3a², yani AC = a√3.
4. Uzun köşegen AD merkezden geçer; altıgen altı eşkenar üçgene ayrıldığından merkezden köşeye uzaklık a'dır.
5. AD = a + a = 2a. Sonuç: kısa köşegen a√3, uzun köşegen 2a.

Kendini kontrol et: ACD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulandığında (a√3)² + a² = (2a)², yani 3a² + a² = 4a² sağlanıyor mu?

Düzgün çokgende iç açıortay köşeden karşı köşeye ya da karşı kenarın orta noktasına gider ve şekli iki eş parçaya böler. Altı açıortay çemberin merkezinde kesişir.

1. Altıgenin her köşesindeki 120°'lik iç açıyı 60° ve 60° olarak ikiye bölen iç açıortaylar (AD, BE, CF doğrultularında) çizilir.
2. Karşılıklı köşeleri birleştiren bu açıortay doğruları düzgün altıgeni iki eş yamuğa ayırdığından simetri eksenidir.
3. Çizilen tüm iç açıortaylar altıgenin merkezinde, yani tek bir noktada kesişir.

Kendini kontrol et: Altıgeni AD, BE veya CF açıortay doğrularından biri boyunca katladığında iki yarı tam olarak çakışıyor mu?

Sekizgenin her köşesinden 5 köşegen çıkar; köşegenler komşu olmayan köşelere çizilir ve sekizgen 6 üçgene bölünür.

1. Birinci düzgün sekizgende A köşesi, ikinci sekizgende farklı bir köşe (örneğin B) seçilir.
2. Sekizgende bir köşeden komşu olmayan köşelere n-3 = 8-3 = 5 adet köşegen çizileceği belirlenir.
3. A köşesinden AC, AD, AE, AF, AG; ikinci sekizgende B köşesinden BD, BE, BF, BG, BH köşegenleri çizilir.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Birinci sekizgende C köşesinden CA, CE, CF, CG, CH; ikincide D köşesinden DA, DB, DF, DG, DH çizilir. (İki sekizgende farklı birer köşe seçilip komşu olmayan beşer köşeye köşegen çizilmesi koşuluyla geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Seçtiğin her köşeden 5 köşegen çıktı mı ve sekizgen 8-2=6 üçgene bölündü mü?

A köşesinden geçen simetri eksenine göre karşılıklı üçgenler yansımadır, bu yüzden eştir.

1. A köşesinden çizilen köşegenlerle oluşan 6 üçgen (ABC, ACD, ADE, AEF, AFG, AGH) simetri ekseni AE'ye göre incelenir.
2. AE doğrusuna göre yansımada B ile H, C ile G, D ile F köşeleri eşleşir ve karşılıklı üçgenlerin kenar ile açıları eş olur.
3. Böylece ABC ile AGH, ACD ile AFG ve ADE ile AEF üçgen çiftlerinin birbirine eş olduğu bulunur.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Köşe sırasıyla: △ABC ≅ △AHG, △ACD ≅ △AGF, △ADE ≅ △AFE (veya başka bir köşe seçimine göre simetrik çiftler). (Eşlik sembolünde eş açıların köşeleri aynı sırada yazıldığında veya farklı bir köşe seçildiğinde geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Sekizgeni AE köşegeni boyunca katladığında eş bulduğun üçgen çiftleri üst üste tam çakışıyor mu?

A köşesinden AC=AG, AD=AF ve AE (merkezden geçen en uzun) olmak üzere üç farklı uzunluk vardır.

1. A köşesinden çizilen 5 köşegen (AC, AD, AE, AF, AG) simetri ekseni AE'ye göre karşılaştırılır.
2. Eş üçgenlerden |AC|=|AG| ve |AD|=|AF| bulunur; merkezden geçen AE ise tek başına en uzun köşegendir.
3. Düzgün sekizgenin tüm köşeleri simetrik olduğundan köşegenler 3 farklı uzunluktadır.

Kendini kontrol et: Çevrel çemberde 2, 3 ve 4 kenarlık yayları gören kirişlerden başka uzunlukta köşegen çizilebilir mi?

Düzgün sekizgenin 8 simetri ekseni vardır: 4'ü karşılıklı köşelerden, 4'ü karşılıklı kenar orta noktalarından geçer. Hepsi merkezde buluşur.

1. Sekizgenin her köşesindeki 135°'lik iç açıyı 67,5° ve 67,5° olarak ikiye bölen iç açıortaylar (AE, BF, CG, DH doğrultularında) çizilir.
2. Karşılıklı köşeleri birleştiren her iç açıortay sekizgeni iki eş parçaya ayırdığından simetri eksenidir.
3. Sekiz köşeye ait iç açıortayların tamamı sekizgenin merkezinde tek bir noktada kesişir.

Kendini kontrol et: Sekizgeni AE, BF, CG veya DH açıortay doğrularından biri boyunca katladığında iki yarı tam çakışıyor mu?