KitavuzMEB / TYMMDers Kitabı Rehberi

Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 142

Sayfa 142 3 Çözümlü Madde

Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 142 Cevapları

← Sayfa 141Tüm SayfalarSayfa 143 →
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok

Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?

Tüm cevaplar ve mevcut çözüm rehberleri ücretsiz. Önce dene; sonra ilk adımı, cevabı ve çözüm yolunu aç.

5Tek ve çift kenarlı düzgün çokgenlerin köşegen ve simetri örüntülerine dair genelleme yazma

Örnek Cevap (Ücretsiz)
n kenarlı düzgün çokgenin n simetri ekseni vardır. n tekse eksen bir köşeden karşı kenarın orta noktasına gider ve farklı köşegen uzunluğu sayısı (n-3)/2'dir. n çiftse n/2 eksen köşelerden, n/2 eksen kenar orta noktalarından geçer; merkezden geçen köşegenler vardır ve farklı uzunluk sayısı (n-2)/2'dir.
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

Beşgen 1, yedigen 2 farklı köşegene sahiptir; altıgen 2, sekizgen 3 farklı köşegene sahiptir. Köşegen sayısı her ikisinde n(n-3)/2'dir.

  1. Beşgen, altıgen, yedigen ve sekizgende simetri ekseni sayısının kenar sayısı n'ye eşit olduğunu belirle.
  2. n tek iken her simetri ekseninin bir köşeden karşı kenarın orta noktasına indiğini ve merkezden köşegen geçmediğini gözlemle.
  3. n çift iken eksenlerin yarısının karşılıklı köşelerden (merkezden geçen köşegen), yarısının karşılıklı kenar ortalarından geçtiğini belirle.
  4. Farklı köşegen uzunluğu sayısını tek kenarlılarda (n-3)/2, çift kenarlılarda (n-2)/2 olarak genelle.

Kabul edilebilir başka cevaplar: n tek ise n iç açıortay farklı simetri eksenidir; n çift ise karşılıklı açıortaylar çakışıp n/2 eksen, kenar orta dikmeleri n/2 eksen oluşturur. (Simetri eksenlerini önceki sayfadaki iç açıortay çizimleri üzerinden genelleyen ifadeler geçerlidir.)

Sık yapılan hatalar
  • Çift kenarlı çokgenlerde yalnız köşelerden geçen eksenleri sayıp n/2 simetri ekseni vardır sanmak — kenar ortalarından geçen n/2 eksen unutulmamalıdır.
  • Farklı köşegen uzunluğu sayısını toplam köşegen sayısı n(n-3)/2 ile karıştırmak — eş uzunluktaki köşegenler tek tür sayılır.

Kendini kontrol et: Formülleri n=5 (1 farklı köşegen) ve n=6 (2 farklı köşegen) için deneyerek genellemenin doğruluğunu kontrol et.

6Genellemeyi varsayımlarla karşılaştırıp öneri yazma

Örnek Cevap (Ücretsiz)
Önceki varsayımlar, bulunan genellemeyle karşılaştırılıp düzeltilir: tek kenarlıda hiçbir köşegen merkezden geçmez ve eksenler köşe-kenar çiftinden geçer; çift kenarlıda köşegenler merkezden geçer ve eksenler iki türlüdür.
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

Öğrenci kendi varsayımına göre farklılıkları belirtmelidir. Öneri: köşegen ve eksen özellikleri çokgenin tek ya da çift kenarlı olmasına göre ayrı ele alınmalıdır.

  1. Etkinlik başında kurduğun varsayımları 5. soruda ulaştığın tek ve çift kenarlı çokgen genellemeleriyle karşılaştır.
  2. Varsayımlarındaki eksik veya hatalı kısımları (örneğin merkezden köşegen geçip geçmemesi farkını) belirleyip düzelt.
  3. Tek ve çift kenarlı düzgün çokgenlerin simetri ekseni ve köşegen özelliklerini kesin önermeler hâlinde yaz.

Kabul edilebilir başka cevaplar: n tek ise iç açıortaylar kenarları dik ortalar; n çift ise iç açıortaylar karşılıklı köşeleri birleştiren simetri ekseni köşegenleridir. (Önermelerini iç açıortay ve köşegen ilişkisi üzerinden kuran öğrenci cevapları geçerlidir.)

Sık yapılan hatalar
  • Tüm düzgün çokgenlerde simetri eksenlerinin köşegenlerle çakıştığını varsaymak — tek kenarlılarda hiçbir simetri ekseni köşegen değildir.

Kendini kontrol et: Yazdığın önermelerin hem beşgen (tek) hem altıgen (çift) örneklerinde sağlandığını kontrol et.

7Düzgün beşgen tahta çerçevede ip uzunluğunu bulma (|FE|=12, 2|BK|=3|KF|)

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
180 cm
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

AH simetri ekseni, BE köşegeni ona dik. Ekseni K'de kesen BF için BK:KF=3:2 olduğundan F'nin yatay konumu d/3 çıkar; AF:FE=2:1 olur. FE=s/3=12 ise kenar 36, çevre 5·36=180 cm.

  1. Verilenler: ABCDE düzgün beşgen, AH simetri ekseni, |FE|=12 cm, 2|BK|=3|KF| yani BK:KF=3:2. İstenen: çevre.
  2. BE köşegeni AH eksenine diktir; B'nin eksene yatay uzaklığı d ise K eksen üzerinde olduğundan BK yatayda d kadar ilerler.
  3. BK:KF=3:2 olduğundan KF yatayda 2d/3 ilerler; F'nin eksene uzaklığı 2d/3 olur.
  4. E'nin eksene uzaklığı da d'dir; F, AE üzerinde olduğundan AF:FE = 2:1, yani FE = |AE|/3.
  5. |AE| = 3·12 = 36 cm; ipin uzunluğu çevreye eşittir: 5·36 = 180 cm.
Sık yapılan hatalar
  • 2|BK|=3|KF| eşitliğinden |BK|:|KF| oranını 2:3 almak — katsayılar ters alındığından |BK|:|KF| = 3:2 olmalıdır.
  • |AF|:|FE|=2:1 oranından kenarı 2·12=24 cm bulmak — |AE| kenarı toplam 3 parça olduğundan 3·12=36 cm'dir.
  • Bir kenar uzunluğu 36 cm'yi cevap olarak bırakmak — beşgeni çevreleyen ip için 5·36=180 cm hesaplanmalıdır.

Kendini kontrol et: AB=36 ve AF=24 için ABF üçgeninde AK açıortay olduğundan AB/AF = 36/24 = 3/2 = BK/KF eşitliğini doğrula.