Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 155 Cevapları

Kesme yapılmaması için fayansların genişlik ve yükseklik ölçüleri zemin kenarlarına tam sığmalıdır. Eşkenar dörtgenin açıları görselden ölçülmeli; altıgenin iç açısı 120°'dir.

1. Dikdörtgen biçimli zeminin enini ve boyunu ölç; fayansların yerleşeceği sınırları belirle.
2. Her fayansın kenar uzunluğunu ve yatay-dikey genişliğini, yani köşegen ölçülerini belirle.
3. Fayansların iç açılarını belirle: düzgün altıgende 120°, eşkenar dörtgende açılar ölçülerek bulunur.
4. Zeminin eni ve boyunun, fayansların yatay ve dikey ölçülerine tam bölünüp bölünmediğini kontrol et; tam bölünürse kesme gerekmez.

Kendini kontrol et: Zemin eni ÷ fayans genişliği ve zemin boyu ÷ fayans yüksekliği tam sayı çıkıyor mu?

Her modelde fayansların kapladığı alan ile dolgu gereken boş alan ayrı bulunur, fiyatlarla çarpılıp toplanır; işçilik aynı olduğundan karşılaştırmada hesaba katılmaz.

1. Bir modelde kullanılan 24 fayansın kapladığı toplam alanı fayansların metrekare birim fiyatıyla çarparak fayans tutarını bul.
2. Zemin alanından toplam fayans alanını çıkararak dolgu malzemesi kullanılacak boşluk alanını hesapla.
3. Dolgu malzemesinin metrekare fiyatı fayansın iki katı olduğundan boşluk alanını (2 × fayans birim fiyatı) ile çarp.
4. Fayans tutarı ile dolgu tutarını topla; işçilik ücreti her iki modelde eşit olduğundan karşılaştırmayı bu toplam üzerinden yap.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Toplam maliyet = fayans alanı × p + boşluk alanı × 2p + işçilik ücreti (p: fayans metrekare fiyatı). (Karşılaştırma dışındaki tam fatura tutarı yazılırken sabit işçilik ücreti de denkleme eklendiğinde geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Fayans alanı ile boşluk alanının toplamı dikdörtgen mutfak zemininin tüm alanına eşit oluyor mu?

Fayans alanı, boş alan ve fiyatlar arasındaki ilişki yazılır. Düzgün altıgenin alanı hücrenin 3/4'ünü kapladığı için dolgu payı azdır. Oranlar şekilden yaklaşık alınmıştır.

1. Zemin alanını A, fayans metrekare fiyatını p, dolgu metrekare fiyatını 2p, fayans alanını F ve boşluk alanını A − F olarak tanımla.
2. Maliyet bağıntısını M = p·F + 2p·(A − F) biçiminde kur; iki modelde de zemin 6×4 = 24 eş dikdörtgen hücreye ayrılır.
3. Model 1'de eşkenar dörtgen kendi hücresinin 1/2'sini kapladığından F1 = A/2 ve M1 = p·(A/2) + 2p·(A/2) = 1,5p·A olur.
4. Model 2'de kenarı b olan düzgün altıgen (3√3/2)b² alanla 2√3b²'lik hücrenin 3/4'ünü kaplar; F₂ = 3A/4 ve M2 = 1,25p·A bulunur.
5. 1,25p·A < 1,5p·A olduğundan boşluk alanı daha az olan Model 2 daha ekonomiktir.

Kabul edilebilir başka cevaplar: İşçilik ücreti İ eklendiğinde M1 = 1,5p·A + İ ve M2 = 1,25p·A + İ olur; M2 < M1 olduğundan Model 2 ekonomiktir. (Sabit işçilik ücreti de toplam maliyet fonksiyonuna açıkça eklendiğinde geçerlidir.)

Kendini kontrol et: M = 2p·A − p·F bağıntısında F1 = A/2 ve F₂ = 3A/4 yazıldığında M1 = 1,5p·A ve M2 = 1,25p·A çıkıyor mu?

Birleşme noktalarında açıların toplamı 360° olmalıdır; altıgenin iç açısı 120° olduğundan boşluklar 60° açılı eşkenar üçgenlerden oluşur.

Zemin alanı = en × boy; fayans alanı = bir fayansın alanı × adet; dolgu alanı = zemin alanı − fayans alanı. Düzgün çokgen alanları üçgenlere bölünerek bulunur.

1. Dikdörtgen mutfak zemininin en ve boy uzunluklarını çarparak toplam zemin alanını hesapla.
2. Eşkenar dörtgen veya düzgün altıgen biçimindeki tek bir fayansın alanını eş üçgenlere ayırarak veya alan formülüyle bul.
3. Bir fayansın alanını kullanılan toplam fayans sayısıyla (24 adet) çarparak kaplanan toplam fayans alanını elde et.
4. Boşluklardaki parçaları tek tek hesaplamak yerine toplam zemin alanından toplam fayans alanını çıkararak dolgu alanını bul.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Zemini 24 eş dikdörtgen hücreye bölüp bir hücredeki fayans ve boşluk alanını bularak her ikisini 24 ile çarpmak. (Desenin tekrar eden birim hücre simetrisi kullanıldığında geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Birim dikdörtgen hücredeki fayans ve boşluk alanları toplamının 24 katı, tüm mutfak zemin alanını veriyor mu?

Gerçek boyutlar kitapta verilmediğinden sayısal sonuç öğrenciye bırakılmıştır; yöntem iki modeli aynı zemin üzerinde birim alan maliyetiyle karşılaştırmaktır.

1. Düzgün altıgenin 120° iç açısını kullanarak merkezden 6 eşkenar üçgene ayır ve bir altıgenin alanını 6·(b²√3/4) = (3√3/2)b² bul.
2. Pisagor bağıntısıyla eşkenar üçgen yüksekliğini b√3/2, altıgenin sığdığı birim hücreyi 2b × b√3 (alanı 2√3b²) olarak hesapla.
3. 24 hücrelik tüm zemin alanı A = 48√3b² iken Model 2'de fayans alanı 3A/4, dolgu alanı A/4 ve maliyet 1,25p·A olur.
4. Model 1'de eşkenar dörtgenin dik kesişen köşegenlerinden alan formülüyle fayans alanını A/2, dolgu alanını A/2 ve maliyeti 1,5p·A bul.
5. 1,25p·A < 1,5p·A olduğundan Model 2'nin daha uygun maliyetli olduğu sonucuna ulaş.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Altıgen kenarına ve birim fiyata uygun sayısal değerler vererek (ör. b = 1 m, p = 100 TL) somut maliyetleri hesaplayıp Model 2'yi seçmek. (Ölçüler metinde sabitlenmediğinden orantıyı koruyan somut değer atamasıyla çözüldüğünde geçerlidir.)

Kendini kontrol et: b = 1 ve p = 1 seçildiğinde A = 48√3 için M2 = 60√3 değerinin M1 = 72√3 değerinden küçük olduğu doğrulanıyor mu?