Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 156
Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 156 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
7Arkadaşların çözüm yolları eleştirel incelenip kendi yolla karşılaştırılır, çözüme ulaşmayan stratejiler değiştirilir.
Bu madde dinleme, deney veya kişisel yorum etkinliğidir. Tek bir doğru cevabı yoktur; cevabı kitaptaki yönergeye göre kendiniz oluşturursunuz.
8Çözüme ulaştıran stratejilerin başka hangi problemlerde kullanılabileceğine ilişkin çıkarım gerekçelendirilir.
Çözüm Yolu
Bu stratejide karmaşık şekil, alanı hesaplanabilen düzgün çokgenlere ayrılır; benzer parçalı alan sorularında da aynı yöntem geçerlidir.
- 17. Uygulama'da kullanılan temel stratejiyi belirleyin: karmaşık zemini eş çokgenlere ve üçgenlere ayırarak kenar-açı ilişkisiyle alan hesaplamak.
- Düzgün çokgenlerin tekrarlı dizildiği günlük yaşam durumlarını düşünün: zemin döşeme, peyzaj düzenleme, bal peteği ve mimari süslemeler.
- Seçtiğiniz problem türlerinde bütünü bilinen çokgen parçalara bölmenin boşluk ve toplam alanı bulmayı nasıl kolaylaştırdığını gerekçelendirin.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Kumaş kesimi, mozaik sanatı, parke döşeme veya cam vitray tasarımlarında malzeme ve fire hesabı problemleri. (Bütünü bilinen çokgenlere bölme ve açı-kenar ilişkisiyle alan hesaplama gerekçesi açıklandığında geçerlidir.)
- Yalnızca uygulama alanını yazıp gerekçe belirtmemek — stratejinin o problemde neden işe yaradığı parçalama ve açı-kenar ilişkisiyle açıklanmalıdır.
Kendini kontrol et: Önerdiğiniz problem örneğinde şekil, alanı hesaplanabilen düzgün çokgen veya üçgen parçalara ayrılabiliyor mu?
9Uzun kenarı kısa kenarın √3 katı, alanı 192√3 olan dikdörtgen zemin düzgün altıgen fayansla kaplanırsa maliyet sorulur.
Çözüm Yolu
Kısa kenar s: s·s√3 = 192√3, s = 8√3, uzun kenar 24. Model 2 deseninde 6×4 = 24 altıgen vardır; 12a = 24 ile a = 2, yükseklik 4√3·2 = 8√3 uyar. 24·300 = 7200 TL.
- Kısa kenar s olsun: s·s√3 = 192√3, s² = 192, s = 8√3; uzun kenar 8√3·√3 = 24.
- Model 2'de 6 sütun ve 4 sıra, toplam 24 altıgen fayans var.
- Kenarı a olan altıgenle genişlik 6·2a = 12a = 24, buradan a = 2.
- Kontrol: yükseklik 4·a√3 = 8√3, kısa kenarla uyuşuyor; fayanslar kesilmeden sığar.
- Maliyet = 24·300 = 7200 TL.
- Altıgenin yatay genişliğini a veya a√3 almak — köşeden köşeye en uzun köşegen 2a olduğundan 6 sütunun genişliği 12a olur.
- Tüm dikdörtgen alanını bir altıgenin alanına bölmek — aralarda boşluk kaldığından zemin alanı 192√3 doğrudan 6√3'e bölünerek fayans sayısı bulunamaz.
Kendini kontrol et: a = 2 için 24 altıgenin alanı 24·6√3 = 144√3 birimkare olup zemin alanı 192√3 birimkareden küçük mü?
10Kenarı 4 m olan kare tabana yerleştirilebilecek en büyük düzgün sekizgenin alanı sorulur.
Çözüm Yolu
Karenin köşeleri kesilir; sekizgen kenarı x için x(1+√2) = 4, x = 4(√2−1). Alan = 16 − 4·(köşe üçgeni) = 32√2 − 32.
- Kenarı 4 m olan karenin köşelerinden eş ikizkenar dik üçgenler kesilerek en büyük düzgün sekizgen elde edilir; sekizgen kenarı x olsun.
- Kesilen üçgenin dik kenarı x/√2'dir; karenin kenarı x + 2·x/√2 = x(1 + √2) = 4.
- x = 4/(1 + √2) = 4(√2 − 1); dik kenar = 4 − 2√2.
- Bir üçgenin alanı (4 − 2√2)²/2 = 12 − 8√2; dört üçgen 48 − 32√2.
- Sekizgenin alanı = 16 − (48 − 32√2) = 32√2 − 32 = 32(√2 − 1) ≈ 13,25 m².
- Karenin kenarını 3 eşit parçaya bölüp x = 4/3 almak — köşedeki dik üçgenin hipotenüsü x olduğundan dik kenarı x değil x/√2 olur.
- Karenin alanından tek bir köşe üçgenini çıkarmak — dört köşeden de eş dik üçgen kesildiği için üçgen alanı 4 ile çarpılmalıdır.
Kendini kontrol et: Bulduğunuz 32(√2 − 1) ≈ 13,25 m² değeri, karenin alanı 16 m²'den küçük ve iç teğet daireye yakın mı?
1110. problemdeki verilerin stratejiyi değiştirip değiştirmeyeceğine ilişkin fikir paylaşımı ve çıkarımların değerlendirilmesi istenir.
Çözüm Yolu
Kare tabanlı sekizgen için köşe üçgenleri kesilir; başka tabanlarda da aynı yöntemle parçalar hesaplanır. Çıkarımın geçerliliği örneklerle denenerek kontrol edilir.
- 10. problemde kullanılan yolu inceleyin: kare zeminden köşelerdeki ikizkenar dik üçgenlerin alanını çıkararak düzgün sekizgenin alanını bulduk.
- Kenar uzunluğu veya çokgen türü değiştiğinde ana stratejinin değişip değişmediğini sorgulayın: bilinen şekillere ayırma ve açı-kenar ilişkisi aynen korunur.
- Farklı kenar uzunlukları veya eşkenar üçgen, düzgün altıgen gibi örnekler üzerinde deneyerek yalnızca sayısal ölçülerin değiştiğini doğrulayın.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Sekizgeni merkezden 8 eş ikizkenar üçgene veya dikdörtgen ve yamuklara bölerek alan bulma stratejisinin de veriler değişse bile korunacağı görüşü. (Seçilen parçalama stratejisinin farklı ölçülerde de geçerli olduğu matematiksel gerekçeyle açıklandığında kabul edilir.)
- Sayılar değişince stratejinin de tamamen değişeceğini düşünmek — kenar ve açılar değişse de bütünü bilinen parçalara ayırma yöntemi aynı kalır.
Kendini kontrol et: Karenin kenarını 4 m yerine başka bir değer aldığınızda aynı adımlarla sekizgenin alanına ulaşabiliyor musunuz?