Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 175 Cevapları

Tanım kümeleri fonksiyon gösteriminde verilmiştir.

1. Tanım kümesi, fonksiyon gösteriminde okun solundaki kümedir.
2. f: ℝ, g: (−2,∞), h: ℝ, k: (−∞,6) olarak tablodan okunur.

Kendini kontrol et: Yazdığın her küme, tablodaki fonksiyon gösteriminde okun solundaki kümeyle bire bir aynı mı?

f için 3x−6>0 ise x>2. g, h ve k tanım kümelerinin tamamında pozitiftir.

1. Pozitif olduğu aralık için fonksiyon değerinin 0'dan büyük olduğu x'ler aranır.
2. f(x)=3x−6>0 ise x>2; aralık (2,∞).
3. g(x)>0 tüm (−2,∞)'da; h(x)≥5 tüm ℝ'de; k(x)>3 tüm (−∞,6)'da pozitiftir.

Kendini kontrol et: f için bulduğun (2,∞) aralığından x=3 seçtiğinde f(3)=3>0 eşitsizliği sağlanıyor mu?

Yalnızca f, x<2 için negatiftir; diğerleri her yerde pozitiftir.

1. Negatif olduğu aralık için fonksiyon değerinin 0'dan küçük olduğu x'ler aranır.
2. f(x)=3x−6<0 eşitsizliğinden x<2 bulunur; aralık (−∞,2).
3. g(x)=√(x+2)>0, h(x)=(x+1)²+5≥5 ve k(x)>3 olduğundan bu üçü hiç negatif olmaz.

Kendini kontrol et: Her fonksiyon için pozitif olduğu aralık, negatif olduğu aralık ve sıfırlarının birleşimi tanım kümesini tam olarak veriyor mu?

Düşey asimptot x=3 → b=−3; yatay asimptot y=4 → c=4. A(1,3) için a/(−2)+4=3 → a=2. Sonuç 2·(−3)−4=−10.

1. Verilen: g(x)=a/(x+b)+c grafiği, düşey asimptot x=3, yatay asimptot y=4 ve A(1,3) noktası. İstenen: a·b−c.
2. Düşey asimptot paydayı sıfır yapan değerdir: x+b=0 ve x=3 olduğundan b=−3.
3. Yatay asimptot c değerini verir: c=4.
4. A(1,3) noktasını yerine koyalım: a/(1−3)+4=3, yani a/(−2)=−1, buradan a=2.
5. a·b−c=2·(−3)−4=−6−4=−10 bulunur.

Kendini kontrol et: Elde ettiğin g(x)=2/(x−3)+4 kuralında x=1 verdiğinde A(1,3) noktasını ve x>3 için g(x)>4 durumunu sağlıyor mu?

g için √(x+2)>0; h(x)=(x+1)²+5≥5; k için 1/(6−x)>0 olduğundan değerler 3'ten büyüktür.

1. Görüntü kümesi, fonksiyonun gerçekten aldığı değerlerin kümesidir.
2. f(x)=3x−6 doğrusal olduğundan her gerçek sayıyı alır: ℝ.
3. x>−2 için x+2>0, karekök pozitif ve her pozitif değeri alır: g için (0,∞).
4. h(x)=(x+1)²+5≥5 olur: [5,∞). x<6 iken 1/(6−x)>0, k için (3,∞).

Kendini kontrol et: Her fonksiyonun görüntü kümesi, tabloda verilen değer kümesinin bir alt kümesi oldu mu?

h parabol olduğundan x=−1'e göre simetrik noktalar aynı değeri alır. Diğerleri kesin monoton olduğu için bire birdir.

1. Bire birlik için farklı x değerlerinin farklı görüntü verip vermediğine bakılır.
2. f(x)=3x−6 doğrusal ve eğimi sıfırdan farklı; farklı x'ler farklı değer verir, bire birdir.
3. g(x)=√(x+2) ve k(x)=1/(6−x)+3 tanım kümelerinde sürekli artandır; bu yüzden bire birdir.
4. h(x)=(x+1)²+5 parabolüdür; örneğin h(0)=h(−2)=6 olduğundan bire bir değildir.

Kendini kontrol et: Bire bir değil dediğin h fonksiyonunda aynı görüntüyü veren iki farklı x değeri (örneğin 0 ve −2) bulabiliyor musun?

f, g, h için görüntü kümesi değer kümesine eşittir. k'nin görüntü kümesi (3,∞) olup değer kümesi ℝ'nin tamamı değildir.

1. Örtenlik için görüntü kümesi değer kümesine eşit mi diye bakılır.
2. f'nin görüntü kümesi ℝ, değer kümesi ℝ; g'nin görüntüsü (0,∞)=ℝ⁺, değer kümesi ℝ⁺; ikisi de örtendir.
3. h'nin görüntüsü [5,∞), değer kümesi de [5,∞); h örtendir.
4. k'nin görüntüsü (3,∞), değer kümesi ℝ; eşit olmadığından k örten değildir.

Kendini kontrol et: Bir önceki satırda bulduğun görüntü kümelerini, tablodaki okun sağındaki değer kümeleriyle tek tek karşılaştırdın mı?

f(−x)=−3x−6, h(−x)=x²−2x+6 olup ne f(x) ne −f(x)'e eşittir. g ve k'nin tanım kümeleri orijine göre simetrik değildir.

1. Tek/çift olmak için tanım kümesi orijine göre simetrik olmalı, f(−x) ile f(x) karşılaştırılmalıdır.
2. f(−x)=−3x−6; bu ne f(x)=3x−6'ya ne de −f(x)=−3x+6'ya eşittir.
3. h(−x)=x²−2x+6; bu ne h(x)'e ne de −h(x)'e eşittir.
4. g'nin (−2,∞) ve k'nin (−∞,6) tanım kümeleri simetrik değildir; dördü de tek ya da çift değildir.

Kendini kontrol et: f(1) ile f(−1) ve h(1) ile h(−1) değerlerini hesapladığında ne eşit ne de zıt işaretli çıktığını görüyor musun?

Dördü de üstten sınırsızdır; bu nedenle maksimum değer yoktur.

1. Maksimum için fonksiyonun ulaştığı en büyük değer var mı diye bakılır.
2. f(x)=3x−6 ve g(x)=√(x+2) x büyüdükçe sınırsız artar.
3. h(x)=(x+1)²+5 parabolü yukarı açılır, üstten sınırsızdır.
4. k(x)'te x 6'ya soldan yaklaşınca 1/(6−x) sınırsız büyür; dolayısıyla dördünün de maksimumu yoktur.

Kendini kontrol et: Görüntü kümelerinin dördünün de üst ucunun +∞ olması maksimum değer bulunmadığını doğruluyor mu?

h(x)=(x+1)²+5 olduğundan tepe noktası (−1,5). g'nin alt sınırı 0 ve k'nin 3 olup ulaşılmaz.

1. Minimum için fonksiyonun ulaştığı en küçük değer aranır.
2. f(x)=3x−6 alttan sınırsızdır; minimumu yoktur.
3. g değerleri 0'a yaklaşır ama x=−2 tanımda olmadığından 0'a ulaşmaz; k de 3'e ulaşmaz.
4. h(x)=(x+1)²+5 en küçük değerini x=−1'de alır; minimum değer 5'tir.

Kendini kontrol et: Minimum var dediğin h fonksiyonunda x=−1 tanım kümesinde yer alıyor ve h(x)≥5 eşitsizliği her x için sağlanıyor mu?

k(x)=1/(6−x)+3'te x arttıkça 6−x azalır, dolayısıyla değer artar.

1. Her fonksiyonda x arttıkça değerin nasıl değiştiği incelenir.
2. f'nin eğimi 3>0 olduğundan f, ℝ'de artandır; g'de x+2 büyüdükçe karekök büyür, (−2,∞)'da artandır.
3. h(x)=(x+1)²+5'in tepe noktası x=−1'dir; (−∞,−1)'de azalan, (−1,∞)'da artandır.
4. k'de x arttıkça 6−x küçülür, 1/(6−x) büyür; k, (−∞,6)'da artandır.

Kendini kontrol et: k fonksiyonunda x=0 ve x=5 değerlerini deneyerek k(0)=19/6 < k(5)=4 olduğunu doğruladın mı?

3x−6=0 ise x=2. g>0 ve h≥5. k için 6−x=−1/3 gerekir; x=19/3 tanım kümesi dışındadır.

1. Sıfır, fonksiyon değerini 0 yapan x değeridir.
2. 3x−6=0 ise x=2; f'nin sıfırı x=2.
3. √(x+2)=0 için x=−2 gerekir ama tanımda yok; h≥5 olduğundan sıfırı yok.
4. k(x)=0 için 6−x=−1/3, x=19/3 olur; bu 6'dan büyük, tanımda yok.

Kendini kontrol et: Görüntü kümelerinde 0 sayısını içeren tek fonksiyonun f olması, yalnızca f'nin sıfırı bulunduğunu doğruluyor mu?