Kitavuz

Hızlı Sayfa Bul

Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 181

Sayfa 181 8 Çözümlü Madde

Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 181 Cevapları

← Sayfa 180Tüm SayfalarSayfa 183 →
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok

Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?

Tüm cevaplar ve mevcut çözüm rehberleri ücretsiz. Önce dene; sonra ilk adımı, cevabı ve çözüm yolunu aç.

2Birim çemberde çeyrek ve yarım çemberin yay uzunluğu ile çevreye oranı

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
Çeyrek: π/2 birim, yarım: π birim; oranlar 1/4 ve 1/2
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

Birim çemberin çevresi 2π'dir. Çeyrek çember çevrenin dörtte biri, yarım çember yarısıdır.

  1. Birim çemberin çevresi 2π birimdir.
  2. Çeyrek çember çevrenin dörtte biridir: 2π/4=π/2 birim.
  3. Yarım çember çevrenin yarısıdır: 2π/2=π birim.
  4. Oranlar: (π/2)/(2π)=1/4 ve π/(2π)=1/2 bulunur.
Sık yapılan hatalar
  • Bölme işleminde (π/2)/(2π) oranını 1/4 yerine 1 bulmak — ters çevirip çarparken (π/2)·(1/2π)=1/4 olduğuna dikkat edilmelidir.
  • Yalnız yay uzunluklarını bulup çevreye oranı atlamak — soruda hem yay uzunlukları hem de çevreye oranları istenmektedir.

Kendini kontrol et: Bulduğun π/2 ve π yay uzunluklarını 4 ve 2 ile çarptığında birim çemberin çevresi 2π'yi veriyor mu?

3Aynı oranı yarıçapı 2 ve 5 birim olan merkezli çemberler için hesaplama

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
r=2: π ve 2π birim; r=5: 5π/2 ve 5π birim; oranlar yine 1/4 ve 1/2
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

Yay uzunluğu yarıçapla orantılı büyür, çevre de aynı oranda büyür; bu yüzden oran değişmez.

  1. r=2 için çevre 2π·2=4π; çeyrek çember 4π/4=π, yarım çember 4π/2=2π birim.
  2. r=5 için çevre 2π·5=10π; çeyrek çember 10π/4=5π/2, yarım çember 10π/2=5π birim.
  3. Oranlar: π/4π=1/4, 2π/4π=1/2 ve (5π/2)/10π=1/4, 5π/10π=1/2.
  4. Yay uzunluğu ve çevre aynı oranda büyüdüğünden oranlar yarıçapa bağlı değildir: yine 1/4 ve 1/2.
Sık yapılan hatalar
  • Yarıçap büyüdüğünde yay/çevre oranının da büyüyeceğini sanmak — hem yay hem çevre aynı katta büyüdüğünden oran sabit kalır.
  • Çevre formülünde 2 çarpanını unutup πr kullanmak — r=2 için çevre 4π, r=5 için 10π alınmalıdır.

Kendini kontrol et: Her iki grupta da yay uzunluğunu çember çevresine böldüğünde yarıçaplar sadeleşip 1/4 ve 1/2 kalıyor mu?

4 (30°)Tablo, 30° sütunu: iki grup için yay uzunluğu ve çevreye oranı

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
1. grup (r=2): π/3 birim, oran 1/12; 2. grup (r=5): 5π/6 birim, oran 1/12
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

Yay = 2πr·α/360. 30/360 = 1/12 olduğundan oran her iki grupta 1/12'dir.

  1. Yay uzunluğu = 2πr·α/360°. Çevreler 4π (r=2) ve 10π (r=5) birimdir.
  2. 30/360=1/12 sadeleştirilir.
  3. 1. grup: 4π/12=π/3 birim; 2. grup: 10π/12=5π/6 birim.
  4. Her iki grupta yay/çevre oranı 1/12'dir.
Sık yapılan hatalar
  • 30°/360° kesrini 1/12 yerine 1/6 olarak sadeleştirmek — 360 sayısı 30'un 12 katıdır.
  • 10π/12 kesrini sadeleştirirken pay ve paydayı 2'ye bölmeyi atlamak — en sade biçimi 5π/6 birimdir.

Kendini kontrol et: Bulduğun π/3 ve 5π/6 yay uzunluklarını 12 ile çarptığında 4π ve 10π çevrelerini elde ediyor musun?

4 (120°)Tablo, 120° sütunu: iki grup için yay uzunluğu ve oran

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
1. grup: 4π/3 birim, oran 1/3; 2. grup: 10π/3 birim, oran 1/3
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

120/360 = 1/3 olduğundan yay, çevrenin üçte biridir.

  1. Yay uzunluğu = çevre·α/360°. Çevreler 4π (r=2) ve 10π (r=5) birimdir.
  2. 120/360=1/3 sadeleştirilir.
  3. 1. grup: 4π/3 birim; 2. grup: 10π/3 birim.
  4. Her iki grupta yay/çevre oranı 1/3'tür.
Sık yapılan hatalar
  • Yay formülünde 2 çarpanını unutup πr·α/360° kullanmak — tam çevre 2πr olduğundan sonuçlar 4π/3 ve 10π/3 birimdir.

Kendini kontrol et: 120° tam açının üçte biri olduğundan bulduğun 4π/3 ve 10π/3 değerlerinin 3 katı çevre uzunluklarını veriyor mu?

4 (210°)Tablo, 210° sütunu: iki grup için yay uzunluğu ve oran

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
1. grup: 7π/3 birim, oran 7/12; 2. grup: 35π/6 birim, oran 7/12
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

210/360 = 7/12. Yay uzunluğu çevre çarpı 7/12'dir.

  1. Yay uzunluğu = çevre·α/360°. 1. grupta çevre 2π·2=4π, 2. grupta 2π·5=10π birimdir.
  2. 210/360=7/12 sadeleştirilir.
  3. 1. grup: 4π·7/12=7π/3 birim; 2. grup: 10π·7/12=35π/6 birim.
  4. Her iki grupta yay/çevre oranı 7/12'dir.
Sık yapılan hatalar
  • 210/360 kesrini 30 ile sadeleştirirken işlem hatası yapmak — 210=30·7 ve 360=30·12 olduğundan oran 7/12'dir.
  • 10π·7/12 çarpımında sadeleştirme hatası yapmak — 10 ve 12 sayıları 2 ile sadeleştiğinden sonuç 35π/6 olur.

Kendini kontrol et: 210°=7·30° olduğundan bulduğun yay uzunlukları 30° sütunundaki π/3 ve 5π/6 değerlerinin 7 katına eşit mi?

4 (300°)Tablo, 300° sütunu: iki grup için yay uzunluğu ve oran

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
1. grup: 10π/3 birim, oran 5/6; 2. grup: 25π/3 birim, oran 5/6
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

300/360 = 5/6. Yay uzunluğu çevre çarpı 5/6'dır.

  1. Yay uzunluğu = çevre·α/360°. Çevreler 4π (r=2) ve 10π (r=5) birimdir.
  2. 300/360=5/6 sadeleştirilir.
  3. 1. grup: 4π·5/6=10π/3 birim; 2. grup: 10π·5/6=25π/3 birim.
  4. Her iki grupta yay/çevre oranı 5/6'dır.
Sık yapılan hatalar
  • 300/360 oranını 60 ile sadeleştirirken 5/6 yerine 3/4 yazmak — 300=60·5 ve 360=60·6 olduğundan oran 5/6'dır.

Kendini kontrol et: 300°+60°=360° olduğundan bulduğun 5/6 oranına 60°'lik 1/6 oranını eklediğinde tam çember oranı 1 oluyor mu?

4 (tablo notu)Tabloda her açı için iki grubun oranlarının karşılaştırılması

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
Aynı açı için iki grupta oran aynıdır
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

Oran yalnızca α/360'a bağlıdır, yarıçaptan bağımsızdır.

  1. Tablonun son satırında her açı için iki grubun oranları yan yana karşılaştırılır.
  2. 30°'de 1/12, 120°'de 1/3, 210°'de 7/12, 300°'de 5/6; her açıda iki grup eşittir.
  3. Oran = (2πr·α/360)/(2πr) = α/360 olduğundan yarıçap sadeleşir; oran yalnız açıya bağlıdır.
Sık yapılan hatalar
  • Yay uzunlukları farklı olduğu için çevreye oranlarının da farklı olacağını düşünmek — çevre de aynı katta büyüdüğünden r sadeleşir.

Kendini kontrol et: Tablonun son satırındaki tüm açı sütunlarında 1. grup ve 2. grup oranlarının birebir eşit olduğunu doğruladın mı?

5Oranları karşılaştırıp yay uzunluğuna bağlı açı ölçüsünün tanımı hakkında fikir paylaşma

Örnek Cevap (Ücretsiz)
Yay uzunluğunun yarıçapa oranı yalnızca açıya bağlıdır; açı ölçüsü yay/yarıçap oranıyla tanımlanabilir
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

Yay uzunluğu/çevre oranı yarıçaptan bağımsızdır; bu yüzden yay uzunluğunun yarıçapa oranı açının ölçüsünü verir (radyan fikri).

  1. Tablodaki yay/çevre oranının yarıçap değişse bile aynı merkez açı için sabit kaldığını gözlemle.
  2. Çevre 2πr olduğundan yay/(2πr) oranının sabitliği, yay uzunluğunun yarıçapa oranının da (yay/r) yalnız açıya bağlı olduğunu gösterir.
  3. Yarıçaptan bağımsız bu değişmez oranı kullanarak merkez açının ölçüsünü yay uzunluğu / yarıçap biçiminde tanımla.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Birim çemberde merkez açının gördüğü yay uzunluğu veya herhangi bir çemberde yarıçap uzunluğundaki yayı gören açı birim alınarak tanımlanabilir. (Birim çemberdeki yay uzunluğu veya 1 radyanlık birim açı üzerinden eşdeğer tanım kurulduğunda geçerlidir.)

Sık yapılan hatalar
  • Açı ölçüsünü doğrudan yay uzunluğuna eşitlemek — farklı yarıçaplarda yay uzunluğu değişir; değişmeyen büyüklük yayın yarıçapa oranıdır.

Kendini kontrol et: Tanımladığın yay/yarıçap oranını tablodaki 120° sütununda r=2 ve r=5 için hesapladığında ikisinde de 2π/3 buluyor musun?