Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 190
Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 190 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
2b-T1-2.bölge x<3π/4Tablo 1, 2. bölge, x<3π/4 satırı
Çözüm Yolu
π/2'den 3π/4'e sin 1'den √2/2'ye iner, cos 0'dan -√2/2'ye iner.
- İstenen: π/2 < x < 3π/4 aralığında sinüs ve kosinüsün değişimi.
- x = π/2'de nokta (0, 1)'dir: sin = 1, cos = 0.
- x = 3π/4'te nokta (-√2/2, √2/2)'dir.
- Ordinat 1'den √2/2'ye, apsis 0'dan -√2/2'ye iner.
- Dolayısıyla x arttıkça hem sinüs hem de kosinüs değerleri azalır.
- Kosinüs 0'dan -√2/2'ye giderken mutlak değeri büyüdüğü için artar sanmak — negatif yönde küçüldüğünden kosinüs değeri azalır.
Kendini kontrol et: Aralıktaki 2π/3 noktasında sin(2π/3)=√3/2 < 1 ve cos(2π/3)=-1/2 < 0 eşitsizlikleri azalışı doğruluyor mu?
2b-T1-2.bölge x=3π/4Tablo 1, 2. bölge, x=3π/4 satırı
Çözüm Yolu
sin(3π/4)=√2/2, cos(3π/4)=-√2/2.
- İstenen: x = 3π/4 için sinüs ve kosinüs değerlerini karşılaştırmak.
- 3π/4 = π - π/4 olduğundan nokta 2. bölgededir; referans açısı π/4'tür.
- 2. bölgede ordinat pozitif, apsis negatiftir: sin(3π/4) = √2/2, cos(3π/4) = -√2/2.
- Değerler mutlak değerce eşit ve zıt işaretli olduğundan sinüs değeri kosinüsün toplamsal tersidir (sin x = -cos x).
- 1. bölgedeki x=π/4 örneğine bakıp değerler eşittir yazmak — 2. bölgede kosinüs negatif, sinüs pozitif olduğundan zıt işaretlidirler.
Kendini kontrol et: sin(3π/4) + cos(3π/4) = √2/2 + (-√2/2) = 0 toplamı iki değerin toplamsal ters olduğunu doğruluyor mu?
2b-T1-2.bölge x>3π/4Tablo 1, 2. bölge, x>3π/4 satırı
Çözüm Yolu
3π/4'ten π'ye sin √2/2'den 0'a, cos -√2/2'den -1'e iner.
- İstenen: 3π/4 < x < π aralığında sinüs ve kosinüsün değişimi.
- x = 3π/4'te nokta (-√2/2, √2/2)'dir.
- x = π'de nokta (-1, 0)'dır.
- Ordinat √2/2'den 0'a, apsis -√2/2'den -1'e iner.
- Dolayısıyla bu aralıkta x arttıkça sinüs ve kosinüs değerleri azalır.
- -√2/2'den -1'e geçişi artış sanmak — sayı doğrusunda -1 < -√2/2 olduğundan kosinüs değeri azalmaktadır.
Kendini kontrol et: Aralıktaki 5π/6 noktasında sin(5π/6)=1/2 < √2/2 ve cos(5π/6)=-√3/2 < -√2/2 oluyor mu?
2b-T2-3.bölge x<5π/4Tablo 2, 3. bölge, x<5π/4 satırı
Çözüm Yolu
π'den 5π/4'e sin 0'dan -√2/2'ye iner, cos -1'den -√2/2'ye çıkar.
- İstenen: π < x < 5π/4 aralığında x büyüdükçe sinüs ve kosinüsün nasıl değiştiği.
- x = π'de nokta (-1, 0)'dır: sin π = 0, cos π = -1.
- x = 5π/4'te nokta (-√2/2, -√2/2)'dir.
- Ordinat 0'dan -√2/2'ye iner; apsis -1'den -√2/2'ye çıkar.
- Dolayısıyla x arttıkça sinüs değerleri azalır, kosinüs değerleri artar.
- Kosinüs -1'den -√2/2'ye giderken azaldığını düşünmek — sayı doğrusunda -√2/2 > -1 olduğundan kosinüs artar.
Kendini kontrol et: Aralıktaki 7π/6 noktasında sin(7π/6)=-1/2 < 0 ve cos(7π/6)=-√3/2 > -1 eşitsizlikleri sağlanıyor mu?
2b-T2-3.bölge x=5π/4Tablo 2, 3. bölge, x=5π/4 satırı
Çözüm Yolu
5π/4 noktasında koordinatlar eşittir.
- İstenen: x = 5π/4 için birim çemberdeki noktanın sinüs (ordinat) ve kosinüs (apsis) değerlerini karşılaştırmak.
- 5π/4 = π + π/4 olduğundan nokta 3. bölgededir; referans açısı π/4'tür.
- 3. bölgede hem apsis hem ordinat negatiftir: sin(5π/4) = -√2/2, cos(5π/4) = -√2/2.
- İki bileşen de -√2/2 olduğundan sinüs değeri kosinüs değerine eşittir.
- 3. bölgede işaretlerin zıt olduğunu sanmak — 3. bölgede hem apsis hem ordinat negatif olduğundan iki değer birbirine eşittir.
Kendini kontrol et: E(-√2/2, -√2/2) noktası y = x doğrusu üzerinde yer alıp sin(5π/4) = cos(5π/4) eşitliğini sağlıyor mu?
2b-T2-3.bölge x>5π/4Tablo 2, 3. bölge, x>5π/4 satırı
Çözüm Yolu
5π/4'ten 3π/2'ye sin -√2/2'den -1'e iner, cos -√2/2'den 0'a çıkar.
- İstenen: 5π/4 < x < 3π/2 aralığında sinüs ve kosinüsün değişimi.
- x = 5π/4'te nokta (-√2/2, -√2/2)'dir.
- x = 3π/2'de nokta (0, -1)'dir.
- Ordinat -√2/2'den -1'e iner; apsis -√2/2'den 0'a çıkar.
- Dolayısıyla bu aralıkta x arttıkça sinüs değerleri azalır, kosinüs değerleri artar.
- Sinüs -√2/2'den -1'e giderken artar sanmak — -1 sayısı -√2/2'den daha küçük olduğundan sinüs azalır.
Kendini kontrol et: Aralıktaki 4π/3 noktasında sin(4π/3)=-√3/2 < -√2/2 ve cos(4π/3)=-1/2 > -√2/2 oluyor mu?
2b-T2-4.bölge x<7π/4Tablo 2, 4. bölge, x<7π/4 satırı
Çözüm Yolu
3π/2'den 7π/4'e sin -1'den -√2/2'ye, cos 0'dan √2/2'ye çıkar.
- İstenen: 3π/2 < x < 7π/4 aralığında sinüs ve kosinüsün değişimi.
- x = 3π/2'de nokta (0, -1)'dir: sin = -1, cos = 0.
- x = 7π/4'te nokta (√2/2, -√2/2)'dir.
- Ordinat -1'den -√2/2'ye, apsis 0'dan √2/2'ye çıkar.
- Dolayısıyla x arttıkça hem sinüs hem de kosinüs değerleri artar.
- Sinüs negatif olduğu için azaldığını sanmak — ordinat -1'den -√2/2'ye yani 0'a yaklaştığından sinüs değeri artar.
Kendini kontrol et: Aralıktaki 5π/3 noktasında sin(5π/3)=-√3/2 > -1 ve cos(5π/3)=1/2 > 0 eşitsizlikleri artışı doğruluyor mu?
2b-T2-4.bölge x=7π/4Tablo 2, 4. bölge, x=7π/4 satırı
Çözüm Yolu
sin(7π/4)=-√2/2, cos(7π/4)=√2/2.
- İstenen: x = 7π/4 için sinüs ve kosinüs değerlerini karşılaştırmak.
- 7π/4 = 2π - π/4 olduğundan nokta 4. bölgededir; referans açısı π/4'tür.
- 4. bölgede apsis pozitif, ordinat negatiftir: sin(7π/4) = -√2/2, cos(7π/4) = √2/2.
- Değerler büyüklükçe eşit, işaretçe zıttır.
- Bu nedenle sinüs değeri kosinüs değerinin toplamsal tersine eşittir (sin x = -cos x).
- Büyüklükleri √2/2 olduğu için sinüs ve kosinüs eşittir demek — 4. bölgede sinüs negatif, kosinüs pozitif olduğundan toplamları sıfırdır.
Kendini kontrol et: sin(7π/4) + cos(7π/4) = -√2/2 + √2/2 = 0 eşitliği toplamsal ters ilişkisini doğruluyor mu?
2b-T2-4.bölge x>7π/4Tablo 2, 4. bölge, x>7π/4 satırı
Çözüm Yolu
7π/4'ten 2π'ye sin -√2/2'den 0'a, cos √2/2'den 1'e çıkar.
- İstenen: 7π/4 < x < 2π aralığında sinüs ve kosinüsün değişimi.
- x = 7π/4'te nokta (√2/2, -√2/2)'dir.
- x = 2π'de nokta (1, 0)'a gelir: sin 2π = 0, cos 2π = 1.
- Ordinat -√2/2'den 0'a, apsis √2/2'den 1'e çıkar.
- Dolayısıyla bu aralıkta x arttıkça sinüs ve kosinüs değerleri artar.
- Sinüs 0'a yaklaştığı için azaldığını düşünmek — negatif bir sayı olan -√2/2'den 0'a çıkmak değerin artması demektir.
Kendini kontrol et: Aralıktaki 11π/6 noktasında sin(11π/6)=-1/2 > -√2/2 ve cos(11π/6)=√3/2 > √2/2 oluyor mu?