Kitavuz

Hızlı Sayfa Bul

Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 191

Sayfa 191 3 Çözümlü Madde

Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 191 Cevapları

← Sayfa 190Tüm SayfalarSayfa 192 →
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok

Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?

Tüm cevaplar ve mevcut çözüm rehberleri ücretsiz. Önce dene; sonra ilk adımı, cevabı ve çözüm yolunu aç.

3aGrafikteki noktaların eksenlerdeki karşılıklarının yay uzunluklarıyla ilişkisi ve düşünceniz

Örnek Cevap (Ücretsiz)
Sinüs grafiğinde y değeri noktanın ordinatına, kosinüs grafiğinde y değeri apsisine eşittir; x ekseni yay uzunluğunu gösterir.
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar

Çözüm Yolu

Yay uzunluğu x'e karşılık sin x birim çemberdeki ordinatı, cos x apsisi verir. Yay uzunluğu 2π artınca nokta başa döner, bu yüzden grafikler dönemlidir ve -1 ile 1 arasında kalır.

  1. Grafiklerde x ekseni birim çemberdeki pozitif yönlü yay uzunluğunu, y ekseni noktanın koordinatını gösterir.
  2. Sinüs eğrisinde R noktalarının y değeri P noktalarının ordinatıdır: örneğin x = π/6 için y = 1/2, x = 7π/6 için y = -1/2.
  3. Kosinüs eğrisinde S noktalarının y değeri P noktalarının apsisidir: örneğin x = π/6 için y = √3/2, x = 2π/3 için y = -1/2.
  4. Yay uzunluğu 2π artınca nokta aynı yere döner; bu yüzden değerler tekrar eder ve hep -1 ile 1 arasında kalır.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Yay uzunluğu x ekseninde artarken sinüs ordinatı, kosinüs apsisi verir; her 2π artışta değerler [-1,1] aralığında tekrarlanır. (Eksen karşılıklarını doğru belirtip periyodikliği veya [-1,1] değer aralığını vurgulayan açıklamalar geçerlidir.)

Sık yapılan hatalar
  • Sinüs ile kosinüsün eksen karşılıklarını karıştırmak — sinüs birim çemberdeki ordinatı (y), kosinüs ise apsisi (x) verir.
  • Grafikteki yatay ekseni birim çemberin apsisi sanmak — grafikte x ekseni yay uzunluğunu, y ekseni koordinat değerini gösterir.

Kendini kontrol et: Grafikte x=π/6 için R₁(π/6, 1/2) ve S₁(π/6, √3/2) noktalarının P₁ noktasının ordinat ve apsisiyle eşleştiğini kontrol et.

3bYay uzunlukları negatif yönde oluşturulursa grafiklerdeki değişimler

Örnek Cevap (Ücretsiz)
Sinüs grafiği orijine göre simetrik yansır (sin(-x)=-sin x); kosinüs grafiği y eksenine göre simetrik kalır (cos(-x)=cos x).
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar

Çözüm Yolu

Negatif yönde nokta x eksenine göre simetriğine gider: ordinat işaret değiştirir, apsis aynı kalır. Grafikler x<0 tarafına aynı dönemli biçimde devam eder.

  1. Birim çemberde A(1,0) noktasından negatif yönde x kadar ilerleyince oluşan noktanın pozitif yönlü noktaya göre x eksenine simetrik olduğunu belirle.
  2. Bu simetride noktanın apsisinin değişmediğini (cos(-x)=cos x), ordinatının ise işaret değiştirdiğini (sin(-x)=-sin x) gör.
  3. Sinüs grafiğinin negatif x bölgesine orijine göre simetrik uzandığını, kosinüs grafiğinin ise y eksenine göre simetrik kaldığını yaz.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Negatif x tarafına geçildiğinde sinüs değerleri zıt işaretli olurken kosinüs değerleri aynı kalır; her iki eğri periyodik biçimde sürer. (Negatif yönde ordinatın işaret değiştirdiğini ve apsisin korunduğunu doğru açıklayan ifadeler geçerlidir.)

Sık yapılan hatalar
  • Negatif yönde ilerleyince hem sinüsün hem kosinüsün işaret değiştirdiğini sanmak — 4. bölgede apsis pozitif kaldığından cos(-x)=cos x olur.
  • Kosinüs grafiğinin de orijine göre simetrik olduğunu düşünmek — cos(-x)=cos x eşitliği grafiğin y eksenine göre simetrik olmasını sağlar.

Kendini kontrol et: x=-π/6 için birim çemberdeki (√3/2, -1/2) noktasından sin(-π/6)=-1/2 ve cos(-π/6)=√3/2 değerlerini bularak simetriyi doğrula.

4aA, B, C, Ç, D, E, F, G ve P noktalarına karşılık gelen yay uzunluklarının tanjant ve kotanjant değerleri

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
A(0): tan 0, cot tanımsız; P1(π/6): √3/3, √3; B(π/4): 1, 1; P2(π/3): √3, √3/3; C(π/2): tanımsız, 0; P3(2π/3): -√3, -√3/3; Ç(3π/4): -1, -1; P₄(5π/6): -√3/3, -√3; D(π): 0, tanımsız; P5(7π/6): √3/3, √3; E(5π/4): 1, 1; P6(4π/3): √3, √3/3; F(3π/2): tanımsız, 0; P7(5π/3): -√3, -√3/3; G(7π/4): -1, -1; P8(11π/6): -√3/3, -√3.
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

tan x = sin x / cos x ve cot x = cos x / sin x formülleri 2. sorudaki koordinatlara uygulanır; payda 0 olunca değer tanımsızdır. A için tan 0 değeri 0'dır.

  1. 2. sorudaki her noktanın koordinatı (cos x, sin x) olarak alınır; tan x = sin x / cos x, cot x = cos x / sin x hesaplanır.
  2. A(1,0) ve D(-1,0) için sin x = 0 olduğundan tan değeri 0, cot tanımsızdır.
  3. C(0,1) ve F(0,-1) için cos x = 0 olduğundan tan tanımsız, cot değeri 0'dır.
  4. B, Ç, E, G noktalarında |sin x| = |cos x| = √2/2; işaretler aynıysa tan = cot = 1, farklıysa -1 olur.
  5. P noktalarında koordinatlar √3/2 ve 1/2'dir; oran √3 veya √3/3 çıkar, işaret bölgeye göre belirlenir.
Sık yapılan hatalar
  • Paydası sıfır olan oranlara 0 yazmak — cos x=0 iken tan x, sin x=0 iken cot x sıfıra bölme nedeniyle tanımsızdır.
  • Oranlarda pay ve paydayı karıştırmak — tan x=sin x/cos x (ordinat/apsis), cot x=cos x/sin x (apsis/ordinat) olarak hesaplanmalıdır.
  • 3. bölgedeki P5, E, P6 noktalarında sonucu negatif bulmak — bu bölgede sinüs ve kosinüsün ikisi de negatif olduğundan oranları pozitiftir.

Kendini kontrol et: Tanımlı her noktada bulduğun tanjant ve kotanjant değerlerinin çarpımının tan x·cot x = 1 eşitliğini sağladığını kontrol et.