Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 192
Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 192 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
4b-T3-2.bölge x<3π/4Tablo 3, 2. bölge, x<3π/4 satırı
Çözüm Yolu
π/2'den 3π/4'e tan -∞'dan -1'e çıkar, cot 0'dan -1'e iner.
- İstenen: π/2 < x < 3π/4 aralığında tanjant ve kotanjantın değişimi.
- x, π/2'ye sağdan yaklaşırken cos x → 0⁻, sin x → 1; tan x → -∞, cot x → 0 olur.
- x = 3π/4'te tan = cot = -1'dir.
- Tanjant -∞'dan -1'e çıkar; kotanjant 0'dan -1'e iner.
- Mutlak değere bakıp -∞'dan -1'e geçişi azalma sanmak — negatif sayılarda sıfıra yaklaştıkça değer büyür, dolayısıyla tanjant artar.
- Kotanjantın 0'dan -1'e gidişini artma sanmak — -1 sayısı 0'dan küçük olduğundan kotanjant bu aralıkta azalır.
Kendini kontrol et: Aralıktan x=2π/3 seçip tan(2π/3)=-√3 < -1 ve cot(2π/3)=-√3/3 > -1 eşitsizlikleriyle x=3π/4'e giderken yönü doğrula.
4b-T3-2.bölge x=3π/4Tablo 3, 2. bölge, x=3π/4 satırı
Çözüm Yolu
sin ve cos büyüklükçe eşit, işaretleri zıttır; oran -1 olur.
- İstenen: x = 3π/4'te tanjant ve kotanjantı karşılaştırmak.
- sin(3π/4) = √2/2, cos(3π/4) = -√2/2'dir; büyüklükleri eşit, işaretleri zıt.
- tan = sin/cos = -1; cot = cos/sin = -1 bulunur.
- Sinüs ve kosinüsün mutlak değerleri eşit diye oranı +1 bulmak — 2. bölgede apsis negatif, ordinat pozitif olduğundan oran -1'dir.
Kendini kontrol et: 2. bölgede Ç(3π/4) noktasının koordinatlarını (-√2/2, √2/2) yazıp her iki oranın da -1 çıktığını kontrol et.
4b-T3-2.bölge x>3π/4Tablo 3, 2. bölge, x>3π/4 satırı
Çözüm Yolu
3π/4'ten π'ye tan -1'den 0'a çıkar, cot -1'den -∞'a iner.
- İstenen: 3π/4 < x < π aralığında tanjant ve kotanjantın değişimi.
- x = 3π/4'te tan = cot = -1'dir.
- x, π'ye yaklaşırken sin x → 0⁺, cos x → -1; tan x → 0, cot x → -∞ olur.
- Böylece x arttıkça tanjant -1'den 0'a artar, kotanjant ise -1'den -∞'a azalır.
- Tanjantın -1'den 0'a gidişini mutlak değeri küçüldüğü için azalma sanmak — sayı doğrusunda -1'den 0'a geçiş artıştır.
- x, π'ye yaklaşırken kotanjantın da 0'a yaklaştığını düşünmek — paydadaki sin x sıfıra giderken cot x = cos x/sin x değeri -∞'a iner.
Kendini kontrol et: Aralıktan x=5π/6 seçip tan(5π/6)=-√3/3 > -1 ve cot(5π/6)=-√3 < -1 değerleriyle değişim yönünü doğrula.
4b-T4-3.bölge x<5π/4Tablo 4, 3. bölge, x<5π/4 satırı
Çözüm Yolu
π'den 5π/4'e tan 0'dan 1'e çıkar, cot +∞'dan 1'e iner.
- İstenen: π < x < 5π/4 aralığında tanjant ve kotanjantın değişimi.
- x, π'ye sağdan yaklaşırken sin x → 0⁻, cos x → -1; tan x → 0, cot x → +∞ olur.
- x = 5π/4'te tan = cot = 1'dir.
- Tanjant 0'dan 1'e çıkar; kotanjant +∞'dan 1'e iner.
- 3. bölgede koordinatlar negatif olduğu için tanjant ve kotanjantı negatif sanmak — iki negatif sayının oranı pozitiftir.
- x, π'yi geçerken kotanjantın -∞'dan başladığını düşünmek — π'nin sağında hem sin x hem cos x negatif olduğundan cot x → +∞ olur.
Kendini kontrol et: Aralıktan x=7π/6 seçip tan(7π/6)=√3/3 < 1 ve cot(7π/6)=√3 > 1 değerleriyle x=5π/4'e giderken değişimi doğrula.
4b-T4-3.bölge x=5π/4Tablo 4, 3. bölge, x=5π/4 satırı
Çözüm Yolu
sin(5π/4)=cos(5π/4) olduğundan oran 1'dir.
- İstenen: x = 5π/4'te tanjant ve kotanjantı karşılaştırmak.
- sin(5π/4) = cos(5π/4) = -√2/2'dir.
- tan = sin/cos = 1; cot = cos/sin = 1 bulunur.
- 3. bölgede sin(5π/4) ve cos(5π/4) negatif olduğu için oranı -1 yazmak — eksi bölü eksi işleminin sonucu +1'dir.
Kendini kontrol et: E(5π/4) noktasının (-√2/2, -√2/2) koordinatlarını birbirine bölerek hem tanjantın hem kotanjantın 1 olduğunu doğrula.
4b-T4-3.bölge x>5π/4Tablo 4, 3. bölge, x>5π/4 satırı
Çözüm Yolu
5π/4'ten 3π/2'ye tan 1'den +∞'a çıkar, cot 1'den 0'a iner.
- İstenen: 5π/4 < x < 3π/2 aralığında tanjant ve kotanjantın değişimi.
- x = 5π/4'te sin = cos olduğundan tan = cot = 1'dir.
- x, 3π/2'ye yaklaşırken cos x → 0⁻, sin x → -1; tan x → +∞, cot x → 0 olur.
- Böylece x arttıkça tanjant 1'den +∞'a artar, kotanjant ise 1'den 0'a azalır.
- x, 3π/2'ye soldan yaklaşırken cos x negatif olduğu için tan x → -∞ sanmak — sin x de negatif olduğundan oran +∞'a gider.
Kendini kontrol et: Aralıktan x=4π/3 seçip tan(4π/3)=√3 > 1 ve cot(4π/3)=√3/3 < 1 değerleriyle değişim yönünü kontrol et.
4b-T4-4.bölge x<7π/4Tablo 4, 4. bölge, x<7π/4 satırı
Çözüm Yolu
3π/2'den 7π/4'e tan -∞'dan -1'e çıkar, cot 0'dan -1'e iner.
- İstenen: 3π/2 < x < 7π/4 aralığında tanjant ve kotanjantın değişimi.
- x, 3π/2'ye sağdan yaklaşırken cos x → 0⁺, sin x → -1 olur; tan x → -∞, cot x = 0'dır.
- x = 7π/4'te tan = cot = -1'dir.
- Tanjant -∞'dan -1'e çıkar; kotanjant 0'dan -1'e iner.
- -∞'dan -1'e geçişi mutlak değer küçüldüğü için azalma sanmak — negatif bölgede -1'e yaklaşmak değerin artması demektir.
- 4. bölgede kosinüs pozitif olduğu için tanjantı pozitif almak — ordinat (sin x) negatif olduğundan oran negatiftir.
Kendini kontrol et: Aralıktan x=5π/3 seçip tan(5π/3)=-√3 < -1 ve cot(5π/3)=-√3/3 > -1 değerleriyle x=7π/4'e gidişi doğrula.
4b-T4-4.bölge x=7π/4Tablo 4, 4. bölge, x=7π/4 satırı
Çözüm Yolu
sin(7π/4)=-√2/2, cos(7π/4)=√2/2; oran -1'dir.
- İstenen: x = 7π/4'te tanjant ve kotanjantı karşılaştırmak.
- sin(7π/4) = -√2/2, cos(7π/4) = √2/2'dir.
- tan = sin/cos = -1; cot = cos/sin = -1 bulunur.
- 4. bölgede apsis pozitif olduğu için eşit olan tanjant ve kotanjant değerini +1 sanmak — ordinat negatif olduğundan her ikisi de -1'dir.
Kendini kontrol et: G(7π/4) noktasının (√2/2, -√2/2) koordinatlarını oranlayarak tan(7π/4) = cot(7π/4) = -1 eşitliğini kontrol et.
4b-T4-4.bölge x>7π/4Tablo 4, 4. bölge, x>7π/4 satırı
Çözüm Yolu
7π/4'ten 2π'ye tan -1'den 0'a çıkar, cot -1'den -∞'a iner.
- İstenen: 7π/4 < x < 2π aralığında tanjant ve kotanjantın değişimi.
- x = 7π/4'te tan = cot = -1'dir.
- x, 2π'ye yaklaşırken sin x → 0⁻, cos x → 1; tan x → 0, cot x → -∞ olur.
- Böylece x arttıkça tanjant -1'den 0'a artar, kotanjant ise -1'den -∞'a azalır.
- x, 2π'ye yaklaşırken kotanjantın 0'a yaklaştığını sanmak — paydadaki sin x → 0⁻ iken cos x → 1 olduğundan cot x → -∞ olur.
- Tanjantın -1'den 0'a değişimini azalma olarak yorumlamak — -1'den 0'a geçiş sayısal olarak artıştır.
Kendini kontrol et: Aralıktan x=11π/6 seçip tan(11π/6)=-√3/3 > -1 ve cot(11π/6)=-√3 < -1 değerleriyle değişimi doğrula.