Kitavuz

Hızlı Sayfa Bul

Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 193

Sayfa 193 3 Çözümlü Madde

Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 193 Cevapları

← Sayfa 192Tüm SayfalarSayfa 194 →
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok

Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?

Tüm cevaplar ve mevcut çözüm rehberleri ücretsiz. Önce dene; sonra ilk adımı, cevabı ve çözüm yolunu aç.

5.aKotanjant grafiğindeki K1, K3, K5, K7 noktalarının x ve y değerlerini ve yay uzunlukları arasındaki ilişkiyi bulma

Örnek Cevap (Ücretsiz)
K1(π/6, √3), K3(2π/3, −1/√3), K5(7π/6, √3), K7(5π/3, −1/√3). Yay uzunlukları π kadar farklıysa kotanjant değerleri aynıdır; periyot π'dir.
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

π/6 ile 7π/6 ve 2π/3 ile 5π/3 arasındaki fark π'dir; bu yaylar aynı cot değerini verir: cot(x+π)=cot x.

  1. Grafikte x ekseni yay uzunluğunu, y ekseni cot x = apsis/ordinat oranını gösterir.
  2. K1: x = π/6, cot = (√3/2)/(1/2) = √3. K5: x = 7π/6, cot = (-√3/2)/(-1/2) = √3.
  3. K3: x = 2π/3, cot = (-1/2)/(√3/2) = -1/√3. K7: x = 5π/3, cot = (1/2)/(-√3/2) = -1/√3.
  4. 7π/6 - π/6 = π ve 5π/3 - 2π/3 = π; aynı cot değerini veren yaylar π kadar farklıdır.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Tanjantta T₁,T₅ için 1/√3 ve T₃,T₇ için -√3; kotanjantta K₁,K₅ için √3 ve K₃,K₇ için -1/√3 bulunur; π farkta değerler eşittir. (Hem tanjant hem kotanjant grafiklerindeki nokta koordinatlarını ve π periyot ilişkisini birlikte belirten yanıtlar geçerlidir.)

Sık yapılan hatalar
  • Kotanjantın periyodunu 2π sanmak — birim çemberde π kadar ilerlenince hem apsis hem ordinat işaret değiştirdiğinden oran korunur ve periyot π olur.
  • Grafikte x=π/2 ve x=3π/2 noktalarını kotanjantın tanımsız olduğu yerler sanmak — bu noktalarda cot x=0'dır; tanımsızlık x=0, π ve 2π'dedir.

Kendini kontrol et: K₁ ve K₅ noktalarının apsis farkının 7π/6 - π/6 = π olduğunu ve her ikisinde de y=√3 çıktığını grafikten doğrula.

5.bYayın negatif yönde oluşturulması durumunda grafiklerde gözlenecek değişimler hakkında fikir yazma

Örnek Cevap (Ücretsiz)
Negatif yönde yay alınırsa x yerine −x gelir; cot(−x)=−cot x olduğundan grafik orijine göre simetrik (x ile −x'in değerleri zıt işaretli) olur.
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar

Çözüm Yolu

Açı negatif yönde ölçülünce apsis aynı, ordinat ters işaretli olur; kotanjant değeri işaret değiştirir. Grafik orijine göre simetrik şekilde negatif x tarafına yansır.

  1. Birim çemberde negatif yönde x uzunluğunda yay alındığında bitim noktasının koordinatlarının (cos x, -sin x) olduğunu belirle.
  2. Apsis aynı kalıp ordinat işaret değiştirdiğinden tan(-x)=-tan x ve cot(-x)=-cot x eşitliklerini elde et.
  3. Negatif x değerlerinde oranlar zıt işaretli çıktığından eğrilerin orijine göre simetrik biçimde sol tarafa uzandığını yaz.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Negatif yönde tan(-x)=-tan x ve cot(-x)=-cot x olduğundan hem tanjant hem kotanjant grafiği orijine göre simetrik biçimde x<0 bölgesine devam eder. (Tanjant ve kotanjant eğrilerinin ikisi için de orijine göre simetriyi doğru açıklayan ifadeler geçerlidir.)

Sık yapılan hatalar
  • Payında cos x var diye kotanjantı y eksenine göre simetrik sanmak — paydadaki sin(-x)=-sin x işaret değiştirdiğinden cot(-x)=-cot x olur.
  • Negatif yönde ilerleyince periyodun değişeceğini düşünmek — grafikler x<0 tarafında da π periyoduyla tekrarlanmayı sürdürür.

Kendini kontrol et: x=-π/6 için birim çemberdeki (√3/2, -1/2) noktasından cot(-π/6)=-√3 bulup cot(π/6)=√3 ile orijin simetrisini doğrula.

6Gerçek sayılar ile açı değerleri ilişkisiyle trigonometrik fonksiyonların nasıl tanımlanabileceğini arkadaşlarla tartışma

Örnek Cevap (Ücretsiz)
Birim çemberde her gerçek sayı bir yay uzunluğuna, yani bir açıya karşılık gelir; x açısı için P noktasının ordinatı sin x, apsisi cos x, oranları tan x ve cot x olarak tanımlanır.
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

Tartışma sorusudur; birim çember üzerinde yay uzunluğu–açı eşlemesiyle fonksiyonlar R'den değerlere tanımlanır. Örnek bir görüş verilmiştir.

  1. Her x gerçek sayısını birim çemberde A(1,0) noktasından başlayan yönlü yay uzunluğu ve radyan cinsinden merkez açıyla eşleştir.
  2. Yayın bitim noktası P(a,b) olmak üzere tüm gerçek sayılarda cos x=a ve sin x=b fonksiyonlarını tanımla.
  3. Paydayı sıfır yapan açıları tanım kümesinden çıkarıp tanjantı sin x/cos x, kotanjantı ise cos x/sin x oranıyla tanımla.
  4. Sinüs ve kosinüsün [-1,1] aralığında kaldığını, tanjant ve kotanjantın ise tüm gerçek sayıları taradığını belirterek görüşünü özetle.

Kabul edilebilir başka cevaplar: sin ve cos fonksiyonları R → [-1,1] olarak P noktasının ordinat ve apsisiyle; tan ve cot ise paydası sıfır olmayan gerçek sayılardan R'ye tanımlanır. (Gerçek sayı–radyan eşlemesini ve tanım-değer kümelerini doğru kuran tüm açıklamalar geçerlidir.)

Sık yapılan hatalar
  • Tanjant ve kotanjantı tüm gerçek sayılarda tanımlı saymak — paydayı sıfır yapan x=π/2+kπ ve x=kπ değerleri tanım kümesinden çıkarılmalıdır.
  • Fonksiyonların yalnız [0,2π] aralığında tanımlanabileceğini düşünmek — birim çemberde tam turlar eklenip çıkarılarak her gerçek sayı bir noktayla eşleşir.

Kendini kontrol et: Kurduğun tanımın her gerçek sayıya sinüs ve kosinüs için tek değer atadığını, tanjant ve kotanjantta ise sıfıra bölmeyi dışladığını kontrol et.