Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 195
Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 195 Cevapları
Yapay zekâ ile hazırlandı
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
1.bTablolardaki bilgilerle f, g, h, r fonksiyonlarının [0, 2π] aralığındaki grafiklerini çizme
Çözüm Yolu
Çizim sorusu; tablodaki (x, y) çiftleri koordinat düzleminde işaretlenip düzgün eğriyle birleştirilir. Tan ve cot tanımsız noktalarda asimptot verir.
- Tablo 1 ve Tablo 2'deki (x, y) sıralı ikililerini [0, 2π] aralığında her fonksiyon için dik koordinat düzleminde işaretleyin.
- f(x) = sin x için (0,0), (π/2,1), (π,0), (3π/2,−1), (2π,0) ve ara noktaları düzgün dalga eğrisiyle birleştirin.
- g(x) = cos x için (0,1), (π/2,0), (π,−1), (3π/2,0), (2π,1) ve ara noktaları birleştirerek kosinüs eğrisini çizin.
- tan x için x = π/2, 3π/2'de; cot x için x = 0, π, 2π'de dikey asimptot çizip her aralıktaki kolları birleştirin.
- Noktaları doğru parçalarıyla köşeli birleştirmek — trigonometrik fonksiyonların grafikleri kırık çizgi değil pürüzsüz eğridir.
- tan x ve cot x grafiklerini tanımsız olduğu dikey asimptot doğrularından geçirmek — grafik asimptota yaklaşır ama onu kesmez.
Kendini kontrol et: Çizdiğiniz grafikler eksenleri tablodaki sıfır noktalarında kesiyor ve tanımsız x değerlerinde asimptot gösteriyor mu?
2.aMatematik yazılımında f(x)=sin x girip g, h, r grafiklerini de çizme
Çözüm Yolu
1. adımdaki işlem sin x için gösterilmiştir; 2. adımda aynı işlem g, h ve r için tekrarlanır. g, h, r fonksiyonları bir önceki sayfada cos x, tan x ve cot x olarak tanımlıdır.
- Matematik yazılımını aç
- Giriş'e f(x) = sin x yaz, Enter
- Aynı işlemi g(x) = cos x, h(x) = tan x, r(x) = cot x için yap
2.bYazılımla elde edilen grafikleri elle çizilenlerle karşılaştırıp farklılıkları yazma
Çözüm Yolu
Açık uçlu etkinlik (Yazılımla elde edilen grafikleri elle çizilenlerle karşılaştırıp farklılıkları yazma). Öğrenci kendi gözlem, deneyim ve düşüncelerinden yararlanarak bu örnek cevabı kendi cümleleriyle zenginleştirebilir.
3.aAynı y değerini veren farklı x açı ölçülerinin olup olmadığı ve tekrar durumu
Çözüm Yolu
Örneğin sin(π/6)=sin(5π/6)=1/2; ayrıca sin(x+2π)=sin x. tan(x+π)=tan x, cot(x+π)=cot x.
- Grafiklere yatay doğrular çizildiğinde grafiğin birden çok noktada kesildiğini, yani farklı x değerlerinin aynı y değerini verdiğini görün.
- f(x) = sin x ve g(x) = cos x grafiklerinde aynı y değerlerinin her 2π aralığında tekrar ettiğini belirleyin.
- h(x) = tan x ve r(x) = cot x grafiklerinde ise y değerlerinin her π aralığında kendini tekrarladığını yorumlayın.
- tan x ve cot x'in de 2π'de bir tekrar ettiğini sanmak — bu iki fonksiyon her π radyanlık aralıkta tekrar eder.
Kendini kontrol et: Tablolardan sin(π/6) = sin(5π/6) = 1/2 ve tan(π/6) = tan(7π/6) = √3/3 eşitliklerini kontrol ettiniz mi?
3.bDeğer kümesindeki her gerçek sayıya karşılık gelen bir x değeri olup olmadığını açıklama
Çözüm Yolu
Grafik, değer kümesindeki her yatay doğruyu en az bir noktada keser; periyodik olduğundan aslında sonsuz sayıda x bulunur.
- Sayfa 194'teki tanımlardan değer kümelerini belirleyin: sin x ve cos x için [−1,1], tan x ve cot x için R.
- sin x ve cos x grafiklerinin [−1,1] aralığındaki her yatay doğruyu en az bir noktada kestiğini görün.
- tan x ve cot x kollarının dikey yönde sınırsız uzanarak R'deki her sayıya karşılık en az bir x verdiğini açıklayın.
- sin x ve cos x'in değer kümesini R sanıp 'hayır' demek — referans tanımında değer kümesi [−1,1] verilmiştir.
Kendini kontrol et: Değer kümesinden seçilen her y₀ için y = y₀ yatay doğrusu ilgili fonksiyonun grafiğini kesiyor mu?
3.cFonksiyonların sıfırlarını bulup pozitif ve negatif aralıkları belirtme
Çözüm Yolu
Sıfırlar grafiğin x eksenini kestiği noktalardır; eksenin üstü pozitif, altı negatiftir. Genel sıfırlar sin, tan için kπ; cos, cot için π/2+kπ.
- [0, 2π]'de grafiklerin x eksenini kestiği noktalar sıfırlardır; eksenin üstü pozitif, altı negatiftir.
- sin x: sıfırlar 0, π, 2π; (0,π)'de pozitif, (π,2π)'de negatif.
- cos x: sıfırlar π/2, 3π/2; (0,π/2) ve (3π/2,2π)'de pozitif, (π/2,3π/2)'de negatif.
- tan x: sıfırlar 0, π, 2π; (0,π/2) ve (π,3π/2)'de pozitif, (π/2,π) ve (3π/2,2π)'de negatif.
- cot x: sıfırlar π/2, 3π/2; cot = 1/tan olduğundan işaretleri tan ile aynı aralıklarda aynıdır.
- Asimptot noktalarını (ör. tan x için π/2) sıfır saymak veya işaret aralığına katmak — bu noktalarda fonksiyon tanımsızdır.
- Sıfır noktalarını pozitif ya da negatif aralığa köşeli parantezle dahil etmek — sıfır ne pozitif ne negatiftir.
Kendini kontrol et: Bulduğunuz her aralıktan bir test açısı seçtiğinizde birim çemberdeki bölge işaretiyle uyuşuyor mu?
3.çTanımlı oldukları aralıklarda artanlık ve azalanlık durumlarını yorumlama
Çözüm Yolu
Grafikte soldan sağa yükselen kısımlar artan, alçalan kısımlar azalandır.
- [0, 2π] aralığındaki grafiklere soldan sağa bakıyoruz; yükselen kısım artan, alçalan kısım azalandır.
- sin x 0'dan 1'e çıkar (π/2'ye kadar), −1'e iner (3π/2'ye kadar), sonra yeniden çıkar: [0,π/2] ve [3π/2,2π] artan, [π/2,3π/2] azalan.
- cos x 1'den −1'e iner, sonra 1'e çıkar: [0,π] azalan, [π,2π] artan.
- tan x her tanımlı aralıkta sürekli yükselir: artan; cot x her tanımlı aralıkta sürekli alçalır: azalan.
- tan x'in tüm tanım kümesinde tek parça artan olduğunu söylemek — asimptotlar arasında ayrı ayrı her aralıkta artandır.
- Negatif değerli bölgede fonksiyonun hep azaldığını sanmak — örneğin sin x, [3π/2,2π] aralığında negatifken −1'den 0'a artar.
Kendini kontrol et: Aralıkta x₁ < x₂ iken artan kısımda f(x₁) < f(x₂), azalan kısımda f(x₁) > f(x₂) sağlanıyor mu?
3.dGrafiklerin maksimum ve minimum noktalarını yorumlama
Çözüm Yolu
Sin ve cos değerleri [−1,1] aralığında kaldığı için uç değerlere ulaşır; tan ve cot sınırsız artıp azalır.
- Grafiklerde en yüksek ve en alçak noktaları arıyoruz.
- sin x en çok 1 değerini x = π/2 + 2kπ'de, en az −1 değerini x = 3π/2 + 2kπ'de alır.
- cos x en çok 1 değerini x = 2kπ'de, en az −1 değerini x = π + 2kπ'de alır.
- tan x ve cot x grafikleri asimptotlara yaklaşırken sınırsız büyüyüp küçülür; görüntü kümesi R olduğundan maksimum ve minimumları yoktur.
- sin x ve cos x'in maksimum noktalarını yalnız kπ ekleyerek yazmak — aynı tepe noktası 2π periyotla tekrarlanır.
- tan x ve cot x için tablodaki √3 ve −√3'ü maksimum-minimum sanmak — asimptot yakınında değerler sınırsız büyür ve küçülür.
Kendini kontrol et: Bulduğunuz x değerlerini fonksiyonda yerine koyduğunuzda sin ve cos için 1 ile −1 elde ediliyor mu?
3.eTek ya da çift fonksiyon olma durumlarını gerekçeleriyle açıklama
Çözüm Yolu
Birim çemberde −x açısında apsis aynı, ordinat ters işaretlidir; bu yüzden sin(−x)=−sin x, cos(−x)=cos x, tan ve cot işaret değiştirir.
- Grafiklerin y eksenine göre simetrik (çift fonksiyon) mi yoksa orijine göre simetrik (tek fonksiyon) mi olduğunu inceleyin.
- g(x) = cos x grafiği y eksenine göre simetrik olduğundan ve cos(−x) = cos x sağlandığından çift fonksiyondur.
- sin x, tan x ve cot x grafikleri orijine göre simetrik olduğundan ve f(−x) = −f(x) sağlandığından tek fonksiyondur.
- Orijinden geçmediği için cot x'i tek fonksiyon saymamak — tanım kümesi simetrik ve cot(−x) = −cot x olduğundan tektir.
- sin x ile cos x'in simetri türünü karıştırmak — cos 0 = 1 tepe noktası y ekseni üzerindedir.
Kendini kontrol et: x = π/6 ve x = −π/6 koyduğunuzda cos işaret korurken sin, tan ve cot işaret değiştiriyor mu?