Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 211
Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 211 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
1g(x)=1+2cos3x fonksiyonunun [-4,4] üzerinde bire bir ve örten olup olmadığının incelenmesi
Çözüm Yolu
Periyodik olduğundan farklı x değerleri aynı y değerini verir, örneğin g(0)=g(2π/3)=3. Görüntü kümesi [-1,3].
- Verilen: g(x)=1+2cos3x, [-4,4]. İstenen: bire bir ve örtenlik.
- g(0)=3 ve g(2π/3)=1+2cos2π=3; farklı x'ler aynı değeri verir, bire bir değildir.
- -1≤cos3x≤1 olduğundan -1≤g(x)≤3; görüntü kümesi [-1,3].
- Değer kümesi [-1,3] alınırsa örtendir; ℝ alınırsa örten değildir.
- Görüntü kümesini [-2,2] bulmak — 2cos3x ifadesine 1 eklendiğinden uç değerler -2+1=-1 ve 2+1=3 olur.
- Sınırlı [-4,4] aralığında fonksiyonu bire bir sanmak — aralık bir periyottan (2π/3≈2,09) geniştir ve yatay doğrular grafiği birden çok keser.
Kendini kontrol et: y=3 yatay doğrusunu çizdiğinde [-4,4] aralığında grafiği birden fazla noktada kestiğini görüyor musun?
2g fonksiyonunun pozitif ve negatif olduğu aralıklar
Çözüm Yolu
g>0 için cos3x>-1/2; sıfırlar ±2π/9, ±4π/9, ±8π/9, ±10π/9. İşaret bu noktalarda değişir; x=0'da g=3>0.
- Verilen: g(x)=1+2cos3x, [-4,4]. İstenen: g'nin pozitif ve negatif olduğu aralıklar.
- g=0 için cos3x=-1/2; 3x=±2π/3+2kπ, yani x=±2π/9+2kπ/3.
- Aralıktaki sıfırlar: ±2π/9, ±4π/9, ±8π/9, ±10π/9 (14π/9≈4,89 dışarıda kalır).
- x=0'da g=3>0; işaret her sıfırda değişir.
- Pozitif: [-4,-10π/9), (-8π/9,-4π/9), (-2π/9,2π/9), (4π/9,8π/9), (10π/9,4].
- Negatif: (-10π/9,-8π/9), (-4π/9,-2π/9), (2π/9,4π/9), (8π/9,10π/9).
- Sıfır noktalarını köşeli parantezle aralığa dâhil etmek — sıfır noktalarında g(x)=0 olduğundan fonksiyon ne pozitif ne negatiftir.
- Uç noktalar x=-4 ve x=4'ü açık bırakmak — g(±4)=1+2cos12>0 olduğundan ±4 uçları pozitif aralığa dâhildir.
Kendini kontrol et: Her alt aralıktan x=0 ve x=π/3 gibi birer test noktası seçtiğinde g(x)'in işareti bulduğun aralıklarla uyuşuyor mu?
3g fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıklar
Çözüm Yolu
cos3x, x=2kπ/3'te maksimum, π/3+2kπ/3'te minimumdur. Maksimumdan minimuma azalan, minimumdan maksimuma artandır.
- Verilen: g(x)=1+2cos3x, tanım aralığı [-4,4]. İstenen: artan ve azalan aralıklar.
- Maksimumlar cos3x=1 iken: x=2kπ/3; aralıkta -2π/3, 0, 2π/3.
- Minimumlar cos3x=-1 iken: x=π/3+2kπ/3; aralıkta -π, -π/3, π/3, π.
- Maksimumdan minimuma azalır: [-4,-π], [-2π/3,-π/3], [0,π/3], [2π/3,π].
- Minimumdan maksimuma artar: [-π,-2π/3], [-π/3,0], [π/3,2π/3], [π,4].
- cosx'in [0,π] azalan aralığını doğrudan kullanmak — cos3x olduğundan uç noktalar 3'e bölünür ve ilk azalan pozitif aralık [0,π/3] olur.
- 4π/3≈4,19 noktasını aralığa katmak — tanım kümesi [-4,4] ile sınırlı olduğundan uç noktalar -4 ve 4'te kesilir.
Kendini kontrol et: Bulduğun tüm artan ve azalan alt aralıkların birleşimi [-4,4] tanım kümesini boşluksuz kaplıyor mu?
4maksimum ve minimum noktaları ile değerleri
Çözüm Yolu
cos3x=1 iken g=3, cos3x=-1 iken g=1-2=-1. [-4,4] aralığındaki x değerleri alınır.
- Verilen: g(x)=1+2cos3x, [-4,4]. İstenen: maksimum ve minimum noktaları ile değerleri.
- cos3x=1 iken g=1+2=3 olur; x=2kπ/3'ten aralıkta -2π/3, 0, 2π/3.
- cos3x=-1 iken g=1-2=-1 olur; x=π/3+2kπ/3'ten aralıkta -π, -π/3, π/3, π.
- Maksimum noktalar (-2π/3,3), (0,3), (2π/3,3); minimum noktalar (-π,-1), (-π/3,-1), (π/3,-1), (π,-1) olarak yazılır.
- ±4π/3 noktalarını da maksimuma eklemek — 4π/3≈4,19 değeri [-4,4] tanım kümesinin dışındadır.
- Minimum değeri 1-2cos3x sanıp 0 veya -2 bulmak — cos3x en az -1 olduğundan minimum değer 1+2·(-1)=-1 olur.
Kendini kontrol et: Bulduğun apsislerden x=2π/3 ve x=π değerlerini g(x) kuralında yerine yazdığında sırasıyla 3 ve -1 buluyor musun?
5g fonksiyonunun sıfırları
Çözüm Yolu
1+2cos3x=0 ise cos3x=-1/2; 3x=2π/3+2kπ veya 4π/3+2kπ. [-4,4] içinde 8 sıfır vardır.
- Verilen: g(x)=1+2cos3x, [-4,4]. İstenen: sıfırlar.
- 1+2cos3x=0 yazılır; cos3x=-1/2 bulunur.
- 3x=2π/3+2kπ veya 3x=4π/3+2kπ; buradan x=2π/9+2kπ/3 veya x=4π/9+2kπ/3.
- [-4,4] içinde kalanlar: x=±2π/9, ±4π/9, ±8π/9, ±10π/9 (toplam 8 sıfır).
- cos3x=-1/2 denkleminde yalnızca 3x=2π/3+2kπ dalını çözmek — 3. bölgedeki 3x=4π/3+2kπ çözüm dalı unutulursa sıfırların yarısı eksik kalır.
- 2kπ terimini 3'e bölmeyi unutup periyodu 2kπ bırakmak — eşitliğin iki tarafı 3'e bölündüğünde eklenen terim 2kπ/3 olur.
Kendini kontrol et: Grafiğin [-4,4] aralığında x eksenini kestiği noktaları saydığında cebirsel olarak bulduğun 8 sıfırla eşleşiyor mu?
6g fonksiyonunun periyodu
Çözüm Yolu
cos(ax+b) için periyot 2π/|a|; burada a=3, dolayısıyla 2π/3.
- Verilen: g(x)=1+2cos3x. İstenen: periyot.
- cos(mx) biçimli fonksiyonda periyot 2π/|m| formülüyle bulunur; burada m=3.
- T=2π/3 bulunur; 1 eklemek ve 2 ile çarpmak periyodu değiştirmez.
- Kosinüsün önündeki 2 katsayısını bölen alıp T=2π/2=π bulmak — periyodu yalnızca x'in katsayısı olan 3 etkiler.
Kendini kontrol et: g(x+2π/3)=1+2cos(3x+2π) ifadesini sadeleştirdiğinde yeniden g(x) fonksiyonunu elde ediyor musun?
7g fonksiyonunun tek ya da çift olup olmadığının incelenmesi
Çözüm Yolu
g(-x)=1+2cos(-3x)=1+2cos3x=g(x). Tanım aralığı [-4,4] simetriktir; grafik y eksenine göre simetrik.
- Verilen: g(x)=1+2cos3x, tanım aralığı [-4,4] sıfıra göre simetrik.
- g(-x)=1+2cos(-3x) hesaplanır.
- Kosinüs çift olduğundan cos(-3x)=cos3x, yani g(-x)=g(x).
- Tanım kümesi simetrik ve her x için g(-x)=g(x) olduğundan g çift fonksiyondur.
- +1 sabit teriminin çiftliği bozduğunu sanmak — sabit fonksiyon çift olduğundan çift fonksiyona sabit eklemek çiftliği bozmaz.
- Tanım kümesinin sıfıra göre simetrikliğini kontrol etmeyi atlamak — tek veya çiftlik için önce tanım aralığı [-a,a] biçiminde simetrik olmalıdır.
Kendini kontrol et: Çizdiğin grafiğin y ekseninin sağındaki ve solundaki parçaları y eksenine göre birbirinin ayna görüntüsü mü?