Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 247 Cevapları

Orta çizgi y=−2, genlik 4 olduğundan değerler −6 ile 2 arasındadır. Periyot 2π/3 olduğu için [−π,π] aralığında üç tam dalga görülür.

1. Periyodu T = 2π/3 olarak bulur, [−π, π] aralığında üç tam dalga oluşacağını ve orta çizginin y = −2 olduğunu belirleriz.
2. cos 3x ∈ [−1, 1] olduğundan en büyük değeri 4·1−2 = 2, en küçük değeri 4·(−1)−2 = −6 olarak işaretleriz.
3. [0, 2π/3] periyodunda (0,2), (π/6,−2), (π/3,−6), (π/2,−2) ve (2π/3,2) kilit noktalarını koordinat düzleminde gösteririz.
4. Deseni (π,−6) noktasına kadar uzatır, çift fonksiyon simetrisiyle [−π, 0] parçasını da çizerek kosinüs eğrisini birleştiririz.

Kendini kontrol et: Çizdiğin grafikte uç noktaların (−π, −6) ve (π, −6) olduğunu ve y eksenine göre simetri sağlandığını kontrol et.

Kök içi x>−2 için pozitiftir, değerler 0'a yaklaşır ama 0 olmaz. Tanım kümesi orijine göre simetrik olmadığından ne tek ne çifttir.

1. Verilen: g:(−2,∞)→R⁻, g(x)=−√(4x+8). Tanım kümesi (−2,∞) olarak verilmiştir.
2. x>−2 için 4x+8>0, kök pozitif; önündeki eksiyle g(x)<0 olur. x büyüdükçe kök büyür, g azalır; görüntü (−∞,0).
3. Azalan olduğundan bire birdir; görüntü değer kümesi R⁻'ye eşit olduğundan örtendir. Uçlar dahil olmadığı için maksimum ve minimum yoktur.
4. Tanım kümesi orijine göre simetrik değil, bu yüzden ne tek ne çifttir.
5. g(x)=0 için x=−2 gerekir, tanım dışıdır; sıfırı yoktur. Pozitif değer yok, tüm (−2,∞) aralığında negatiftir.

Kendini kontrol et: g(−1) = −2 ve g(2) = −4 hesaplayarak fonksiyonun tüm aralıkta negatif ve azalan olduğunu kontrol et.

h(x)=(x−3)²−3 olduğundan tepe noktası (3,−3) olur. h(2)=h(4) olduğu için bire bir değildir.

1. Verilen: h:R→[−3,∞), h(x)=x²−6x+6. Kareye tamamlarız: h(x)=(x−3)²−3; tepe noktası (3,−3).
2. Kollar yukarı açık: minimum −3 (x=3), maksimum yok; görüntü [−3,∞) değer kümesine eşit, örtendir.
3. h(2)=h(4)=−2 olduğundan bire bir değildir. (−∞,3]'te azalan, [3,∞)'da artandır.
4. h(−x)=x²+6x+6 olduğundan ne tek ne çifttir.
5. (x−3)²=3 ise x=3±√3 sıfırlardır; kökler dışında pozitif, (3−√3,3+√3) aralığında negatiftir.

Kendini kontrol et: Tepe noktası h(3) = −3 < 0 ve h(0) = 6 > 0 değerlerini hesaplayarak işaret tablosunu doğrula.

x=3'te k=1/6+3=19/6; x→−3 iken değer sonsuza gider. Fonksiyon azalan olduğundan en küçük değer sağ uçtadır. Sıfır için x=−10/3 gerekir, tanım dışıdır.

1. Verilen: k:(−3,3]→R, k(x)=1/(3+x)+3. x arttıkça 3+x artar, 1/(3+x) azalır; k azalandır, dolayısıyla bire birdir.
2. Sağ uç x=3: k(3)=1/6+3=19/6 en küçük değerdir. x→−3⁺ iken k sonsuza gider; maksimum yoktur.
3. Görüntü [19/6,∞) olup R'ye eşit değil; örten değildir.
4. Tanım kümesi simetrik olmadığından ne tek ne çifttir.
5. k=0 için 3+x=−1/3, x=−10/3 tanım dışı; sıfır yok. Tüm (−3,3]'te k pozitiftir.

Kendini kontrol et: k(0) = 10/3 ve k(3) = 19/6 hesaplayarak k(0) > k(3) > 0 eşitsizliğini ve azalanlığı doğrula.

4cos3x−2=0 için cos3x=1/2 olur. 3x=±π/3+2kπ ve 3x∈[−3π,3π] aralığından altı kök gelir.

1. f(x)=0 denklemini kurarız: 4cos3x−2=0 ise cos3x=1/2.
2. x∈[−π,π] olduğundan 3x∈[−3π,3π] aralığında çözüm ararız.
3. cos=1/2 olan açılar: 3x=±π/3, ±5π/3, ±7π/3.
4. 3'e bölersek sıfırlar x=±π/9, ±5π/9, ±7π/9 (altı kök).

Kendini kontrol et: Grafikte üç dalganın x eksenini toplam 6 kez kestiğini görerek bulduğun kök sayısıyla karşılaştır.

cos(−3x)=cos3x olduğundan f(−x)=f(x) olur ve tanım kümesi [−π,π] simetriktir. Grafik y eksenine göre simetriktir.

1. Tanım kümesi [−π,π] orijine göre simetriktir.
2. f(−x)=4cos(−3x)−2 hesaplarız; kosinüs çift olduğundan cos(−3x)=cos3x.
3. f(−x)=f(x) olduğu için f çift fonksiyondur; grafiği y eksenine göre simetriktir.

Kendini kontrol et: f(−π/3) ve f(π/3) değerlerini hesaplayıp ikisinin de −6 çıktığını görerek simetriyi kontrol et.

cos3x=1 iken f en büyük değerini alır: 4·1−2=2. 3x=0, ±2π olduğundan x=0, ±2π/3 bulunur.

1. f(x)=4cos3x−2'nin en büyük değeri cos3x=1 iken oluşur.
2. Bu durumda f=4·1−2=2 bulunur.
3. x∈[−π,π] için 3x∈[−3π,3π]; cos3x=1 ise 3x=0, ±2π, yani x=0, ±2π/3.
4. Maksimum değer 2; noktalar (−2π/3,2), (0,2), (2π/3,2).

Kendini kontrol et: x = −2π/3, 0 ve 2π/3 değerlerini f(x)'te yerine yazıp hepsinin 2 verdiğini doğrula.

cos3x=−1 iken f en küçük değerini alır: 4·(−1)−2=−6. 3x=±π, ±3π olduğundan x=±π/3, ±π bulunur.

1. f(x)=4cos3x−2'nin en küçük değeri cos3x=−1 iken oluşur.
2. Bu durumda f=4·(−1)−2=−6 bulunur.
3. 3x∈[−3π,3π] için cos3x=−1 ise 3x=±π, ±3π; yani x=±π/3, ±π.
4. Minimum değer −6; noktalar (−π,−6), (−π/3,−6), (π/3,−6), (π,−6).

Kendini kontrol et: Bulduğun dört apsis değerini f(x) kuralında yerine koyarak hepsinde sonucun −6 çıktığını kontrol et.

Maksimum noktalarından minimuma doğru azalan, minimumdan maksimuma doğru artan olur. Aralıklar grafikteki dalgalardan okunur.

1. f(x)=4cos3x−2, [−π,π] aralığında; f, cos3x ile aynı yönde değişir (4>0).
2. cos azalır: 3x∈[0,π], [2π,3π], [−2π,−π] → x∈[0,π/3], [2π/3,π], [−2π/3,−π/3].
3. cos artar: 3x∈[−π,0], [π,2π], [−3π,−2π] → x∈[−π/3,0], [π/3,2π/3], [−π,−2π/3].
4. Kontrol: maksimumlardan (x=0, ±2π/3) minimumlara (±π/3, ±π) gidişte azalma görülür.

Kendini kontrol et: Altı alt aralığın uç uca [−π, π] tanım kümesini eksiksiz kapladığını ve her uçta yön değiştirdiğini kontrol et.

a·cos(bx)+c biçimindeki fonksiyonun periyodu 2π/|b| formülüyle bulunur. Burada b=3 olduğundan periyot 2π/3 olur.

1. f(x)=4·cos3x−2 fonksiyonu a·cos(bx)+c biçimindedir; burada b=3.
2. Kosinüsün periyodu 2π'dir; a·cos(bx)+c için periyot 2π/|b| olur.
3. Periyot = 2π/3.

Kendini kontrol et: f(x + 2π/3) = 4·cos(3x + 2π) − 2 = f(x) eşitliğinin sağlandığını kontrol et.

Tepe noktası (1,4) olduğundan r=4 ve ax+b=0 için x=1, yani b=−a. (0,2) noktasından g(x)=−2(x−1)²+4 bulunur; k·a²=−2. En sade seçim k=−2, a=1, b=−1.

1. Verilen: g(x)=k·(ax+b)²+r, tepe noktası (1,4), grafik (0,2)'den geçiyor.
2. En büyük değer tepe noktasında olduğundan r=4.
3. Tepe noktası x=1 olduğundan a·1+b=0, yani b=−a.
4. g(0)=k·b²+4=2 ise k·b²=−2, yani k·a²=−2.
5. Örneğin a=1 seçilirse b=−1, k=−2, r=4 ve g(x)=−2(x−1)²+4 olur.

Kabul edilebilir başka cevaplar: r = 4, k = −2, a = −1, b = 1 (a = −1 seçildiğinde b = −a ve k·a² = −2 koşullarını sağlar.) · r = 4, k = −1, a = √2, b = −√2 (k = −1 seçildiğinde k·a² = −2 ve b = −a koşullarını sağlar.)

Kendini kontrol et: Bulduğun değerlerle yazılan g(x) kuralında g(1) = 4 ve g(0) = 2 eşitliklerinin sağlandığını doğrula.

Eğimi −1 olan doğrusal fonksiyondur, tüm reel sayılarda azalır. f(−x)=x+1 olduğu için ne tek ne çifttir.

1. Verilen: f:R→R, f(x)=−x+1, eğimi −1 olan doğrusal fonksiyon. Tanım ve görüntü kümesi R'dir.
2. Eğim negatif olduğundan f her yerde azalandır; bu yüzden bire birdir, görüntüsü R olduğu için örtendir, max-min yoktur.
3. f(−x)=x+1; bu ne f(x) ne de −f(x)'e eşit, dolayısıyla ne tek ne çifttir.
4. −x+1=0 ise x=1 sıfırdır. x<1 için f pozitif, x>1 için negatiftir.

Kendini kontrol et: f(0) = 1 > 0 ve f(2) = −1 < 0 hesaplayarak işaret tablosunu ve azalanlığı doğrula.