Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 250
Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 250 Cevapları
Yapay zekâ ile hazırlandı ve kontrol edildi
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
2.bg fonksiyonunun ilk 5 saniyedeki bakteri sayısı ve grafiği
Çözüm Yolu
g(t)=4^t ifadesinde t=1,...,5 yazılır. Noktalar (0,1),(1,4),(2,16),(3,64),... işaretlenip birleştirilir; eğri f'den daha dik yükselir.
- Başlangıçta 1 bakteri var ve her saniyede sayı 4 katına çıkıyor; bu yüzden g(t)=4^t olur.
- t=1 için g(1)=4, t=2 için g(2)=4·4=16 bulunur.
- t=3 için g(3)=64, t=4 için g(4)=256, t=5 için g(5)=1024 bakteri olur.
- (0,1), (1,4), (2,16), (3,64), (4,256), (5,1024) noktaları koordinat düzlemine işaretlenir.
- Noktalar birleştirilince hızla yükselen, artan üstel bir eğri elde edilir; f(t)=2^t eğrisinden daha diktir.
- 4'ün kuvvetlerini toplama gibi hesaplayıp 4³=12 veya 4⁵=20 bulmak — her adımda önceki sonuç 4 ile çarpılmalıdır.
- Başlangıç noktası olan (0,1)'i grafikte atlamak — t=0 anında ortamda 1 bakteri bulunduğu unutulmamalıdır.
Kendini kontrol et: Bulduğun ardışık saniye değerlerinin her biri bir öncekinin tam 4 katı mı (1, 4, 16, 64, 256, 1024)?
31. ve 2. sorudaki grafik ve cebirsel temsilleri karşılaştırıp benzerlik ve farkları yorumlama
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar
f(t)=2^t ve g(t)=4^t aynı biçimdedir (a^t, a>1). Taban büyüdükçe artış hızlanır; t>0 için g(t)>f(t).
- Cebirsel temsilleri f(t)=2^t ve g(t)=4^t olarak yan yana yazıp tabanlarının 1'den büyük sabitler olduğunu belirle.
- t=0 için f(0)=1 ve g(0)=1 olduğundan iki grafiğin de (0,1) noktasından geçtiğini ve pozitif değerli kaldığını gözlemle.
- Her iki fonksiyonun da artan olduğunu ortak özellik olarak kaydet.
- Tabanları karşılaştır: 4>2 olduğundan t>0 için g(t)>f(t) olur ve g'nin grafiği f'ninkinden daha dik yükselir.
Kabul edilebilir başka cevaplar: İkisi de bire bir ve pozitif değerli üstel fonksiyondur; g(t)=2^(2t) olduğundan g, f'nin yatayda daraltılmış hâli gibi daha hızlı büyür. (Cebirsel ve grafiksel açıdan doğru en az bir ortak özellik ve taban farkından kaynaklanan artış hızı farkı açıklandığında geçerlidir.)
- İki grafiğin y eksenini farklı noktalarda kestiğini sanmak — 2⁰=1 ve 4⁰=1 olduğundan ikisi de (0,1)'den geçer.
- Her t değeri için g(t)>f(t) demek — t=0 noktasında iki fonksiyon birbirine eşittir (g(0)=f(0)=1).
Kendini kontrol et: t=0'da eşitliği ve t>0 için tabanı büyük olan g(t)=4^t fonksiyonunun daha hızlı arttığını belirttin mi?
4.aYarılanma süresi 5 yıl olan 256 kg radyoaktif maddenin kalan miktarını Tablo 2'de doldurma
Çözüm Yolu
Her 5 yılda miktar yarıya iner: 128'den sonra 64, 32, 16, 8, 4 olur.
- Verilen: başlangıç miktarı 256 kg, yarılanma süresi 5 yıl; her 5 yılda kalan miktar yarıya iner.
- 5. yılda 256 : 2 = 128 kg kalır (tablodaki örnek).
- 10. yıl: 128 : 2 = 64 kg; 15. yıl: 64 : 2 = 32 kg.
- 20. yıl: 32 : 2 = 16 kg; 25. yıl: 16 : 2 = 8 kg.
- 30. yıl: 8 : 2 = 4 kg. Kontrol: 256·(1/2)⁶ = 4 kg.
- Her 5 yılda sabit bir miktar (örneğin 128 kg) çıkarmak — yarılanmada çıkarma yapılmaz, kalan miktar 2'ye bölünür.
- Yarılanma süresini göz ardı edip her yıl yarıya bölmek — bölme işlemi yalnızca her 5 yıllık periyotta gerçekleşir.
Kendini kontrol et: Tablodaki her sütun değeri bir önceki 5 yıllık sütundaki değerin tam yarısına eşit mi (128, 64, 32, 16, 8, 4)?
4.bKalan madde miktarını veren h fonksiyonunun cebirsel temsili ve grafiği
Çözüm Yolu
Her 5 yılda miktar 1/2 ile çarpılır; t yılda t/5 kez yarılanma olur. Eğri azalır ve t ekseninin üstünde kalarak ona yaklaşır.
- Başlangıç miktarı 256 kg, yarılanma süresi 5 yıl; her 5 yılda miktar yarıya iner.
- Tablo: 5 yılda 128, 10 yılda 64, 15 yılda 32, 20 yılda 16, 25 yılda 8, 30 yılda 4 kg.
- t yılda t/5 kez yarılanma olduğundan miktar 256 ile (1/2)^(t/5) çarpılır.
- Cebirsel temsil: h(t)=256·(1/2)^(t/5) olur.
- (0,256), (5,128), (10,64), (15,32)... noktaları birleştirilir; eğri azalır, t eksenine yaklaşır ama onu kesmez.
- Üsse t/5 yerine t yazmak — yarılanma her yılda değil her 5 yılda bir olduğundan üs t/5 olmalıdır.
- Grafiği yatay ekseni kesecek şekilde çizmek — kalan madde miktarı yarılanarak küçülür ancak sıfır veya negatif olmaz.
Kendini kontrol et: Yazdığın h(t) kuralında t=0 ve t=10 yazdığında sırasıyla 256 ve 64 değerlerini elde ediyor musun?
51. ve 4. sorudaki grafik ve cebirsel temsilleri karşılaştırıp benzerlik ve farkların nedenlerini yorumlama
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar
Çoğalmada miktar her adımda katlanır, yarılanmada her adımda yarıya iner. Bu yüzden taban 1'den büyük ya da küçük olur; ayrıca h'de başlangıç 256 ve üs t/5'tir.
- 1. sorudaki f(t)=2^t ve 4. sorudaki h(t)=256·(1/2)^(t/5) fonksiyonlarını ve grafiklerini birlikte incele.
- İkisinin de eşit zaman aralıklarında sabit bir oranda değişen, grafiği yatay eksenin üstünde kalan üstel fonksiyonlar olduğunu belirle.
- Tabanları karşılaştır: f'de taban 2>1 olduğu için çoğalma (artan grafik), h'de taban 0<1/2<1 olduğu için azalma gözlenir.
- Başlangıç değerleri (1 ve 256) ile değişim sürelerinin (1 sn ve 5 yıl) katsayı ve üs farkını oluşturduğunu yorumla.
Kabul edilebilir başka cevaplar: İkisi de bire bir ve pozitif değerli üstel değişimdir; bakteride ikiye katlanma artışı, radyoaktif maddede yarılanma ise azalışı doğurur. (Üstel yapı/pozitiflik benzerliği ile taban değerinden kaynaklanan artanlık-azalanlık farkının nedeni doğru açıklandığında geçerlidir.)
- Azalan grafiğin yatay eksenin altına ineceğini düşünmek — pozitif tabanın tüm gerçek kuvvetleri pozitiftir, grafik ekseni kesmez.
- Artış ve azalış farkını başlangıç katsayısına (256) bağlamak — fonksiyonun artan veya azalan olmasını pozitif tabanın 1'e göre durumu belirler.
Kendini kontrol et: Tabanın 1'den büyük (a>1) veya 0 ile 1 arasında (0<a<1) olmasının grafiğin yönünü nasıl belirlediğini açıkladın mı?
6Üstel referans fonksiyonların x gerçek sayısına bağlı nasıl tanımlanabileceğini arkadaşlarla tartışma
Çözüm Yolu
Çalışmalardaki 2^t, 4^t ve (1/2)^t örnekleri tabanı sabit, üssü değişken olan fonksiyonlardır; bu genellenerek a^x tanımına ulaşılır. Tartışma sınıf etkinliğidir.
- Önceki sorulardaki 2^t, 4^t ve (1/2)^t ifadelerinin tabanı sabit, üssü değişken yapıda olduğunu gözlemle.
- Bağımsız değişkeni x gerçek sayısı ve sabit tabanı a olarak seçip genel kuralı f(x)=a^x biçiminde yaz.
- Her gerçek x için ifadenin tanımlı olması amacıyla a>0, sabit fonksiyon olmaması için a≠1 koşulunu belirle.
- Tabana göre davranışı özetle: a>1 iken fonksiyon artan, 0<a<1 iken fonksiyon azalandır.
Kabul edilebilir başka cevaplar: f: R → R^+, f(x)=a^x (a>0 ve a≠1) biçiminde tanımlanan referans fonksiyondur. (Tanım ve görüntü kümesiyle birlikte taban koşulları (a>0, a≠1) matematiksel olarak doğru ifade edildiğinde geçerlidir.)
- Tabanın negatif olabileceğini düşünmek — a<0 iken rasyonel/gerçek üslerin tümü gerçek sayı belirtmez (örneğin (-2)^(1/2) gerçek değildir).
- a=1 durumunu üstel fonksiyona dâhil etmek — 1^x=1 sabit fonksiyon olduğundan üstel değişim göstermez ve tanımdan çıkarılır.
Kendini kontrol et: Tanımında f(x)=a^x kuralıyla birlikte a>0 ve a≠1 kısıtlamalarını eksiksiz belirttin mi?