Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 253
Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 253 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
Sıra Sizde 1f(x)=(-m²-2m+8)^x üstel referans fonksiyon ise m'nin tam sayı değerlerinin toplamı
Çözüm Yolu
Taban pozitif ve 1'den farklı olmalı. -m²-2m+8>0 ise -4<m<2. Tabanın 1 olması m=-1±2√2 verir, tam sayı değil. Tam sayılar -3,-2,-1,0,1; toplam -5.
- Üstel referans fonksiyonda taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.
- -m²-2m+8>0 ise m²+2m-8<0, yani (m+4)(m-2)<0; buradan -4<m<2 bulunur.
- Taban 1 olursa m²+2m-7=0 olur; kökler m=-1±2√2 tam sayı değildir, dışlanacak tam sayı yok.
- Uygun tam sayılar -3, -2, -1, 0, 1'dir.
- Toplam: -3+(-2)+(-1)+0+1=-5.
- Tabanın 1 olamayacağı koşulunu kontrol etmemek — tam sayı kök gelseydi toplamdan çıkarılması gerekirdi.
- Uç noktalar olan -4 ve 2'yi aralığa dâhil etmek — taban 0 olamayacağından eşitsizlik kesindir.
Kendini kontrol et: Bulduğun tam sayıları -m²-2m+8 ifadesinde yerine yazarak hepsinin 0'dan büyük ve 1'den farklı olduğunu doğrula.
2. Uygulama 1f(x)=e^x ve g(x)=(1/4)^x fonksiyonlarının tanım ve görüntü kümeleri
Çözüm Yolu
Üstel referans fonksiyonlar tüm reel sayılarda tanımlıdır ve yalnızca pozitif değer alır; grafikler x eksenine yaklaşır ama kesmez.
- Fonksiyon tanımlarından ve grafiklerin yatay uzanımından f ve g'nin her gerçek sayı için tanımlı olduğunu görerek tanım kümesini R bul.
- Grafiklerin x eksenini kesmeden eksenin daima üstünde kaldığını ve tüm pozitif y değerlerini taradığını incele.
- Buradan her iki fonksiyonun da görüntü kümesinin R+ = (0, ∞) olduğunu yaz.
- Görüntü kümesine 0'ı dâhil edip [0, ∞) yazmak — üstel referans fonksiyonlar x eksenine yaklaşır ama hiçbir zaman 0 olmaz.
Kendini kontrol et: x=0 ve çok büyük/küçük x değerleri vererek sonuçların daima pozitif gerçek sayılar olduğunu kontrol et.
2. Uygulama 2f ve g'nin bire bir ve örten olup olmadığının incelenmesi
Çözüm Yolu
Yatay doğrular grafiği en çok bir noktada keser, bire birdir. Görüntü kümesi R+ ile eş olduğundan R'den R+'ya örtendir.
- Grafik 1 ve Grafik 2'de x eksenine paralel çizilen yatay doğruların grafikleri en çok bir noktada kestiğini kontrol et.
- Her farklı x değerine farklı bir görüntü karşılık geldiğinden f ve g'nin bire bir olduğunu belirle.
- Değer kümesi R+ ile görüntü kümesi (0, ∞) birbirine eşit olduğundan her iki fonksiyonun da örten olduğu sonucuna ulaş.
- Değer kümesini R sanıp örten olmadığını söylemek — soruda fonksiyonlar R'den R+'ya tanımlandığından örtendir.
Kendini kontrol et: Pozitif her y sayısı için grafik üzerinde tam bir karşılık noktası bulunup bulunmadığını yatay doğru testiyle doğrula.
2. Uygulama 3Sıfırlar ve pozitif-negatif olduğu aralıkların belirlenmesi
Çözüm Yolu
e^x ve (1/4)^x hiçbir x için 0 olmaz; grafikler x ekseninin üstünde kalır, yani her x için değerler pozitiftir.
- Grafik 1 ve Grafik 2'nin x eksenini kesip kesmediğine bakarak f(x)=0 veya g(x)=0 yapan gerçek sayı olmadığını belirle; sıfır yoktur.
- Her iki grafiğin tüm gerçek sayılar boyunca x ekseninin üst tarafında kaldığını gözlemle.
- Buna göre f ve g'nin R'de daima pozitif olduğunu, negatif değer aldığı hiçbir aralık bulunmadığını yaz.
- Grafiğin y eksenini kestiği (0,1) noktasını fonksiyonun sıfırı sanmak — sıfır, y eksenini değil x eksenini kesen noktadır.
- Negatif x değerleri için e^x ifadesinin negatif olacağını düşünmek — negatif üs işareti değiştirmez, sayıyı ters çevirir.
Kendini kontrol et: x=-2 gibi negatif bir değer seçip e^(-2)>0 ve (1/4)^(-2)=16>0 olduğunu hesaplayarak işaretin değişmediğini doğrula.
2. Uygulama 4Artan veya azalan aralıklar ve taban değeriyle ilişkilendirme
Çözüm Yolu
Taban 1'den büyükse üstel fonksiyon artan, 0 ile 1 arasındaysa azalandır. Grafiklerle uyumludur.
- Grafik 1'de x değerleri soldan sağa büyüdükçe f(x) değerlerinin arttığını görerek f'nin tüm R'de artan olduğunu belirle.
- Grafik 2'de x büyüdükçe g(x) değerlerinin küçüldüğünü görerek g'nin tüm R'de azalan olduğunu belirle.
- f(x)=e^x fonksiyonunda taban e>1 iken artanlık, g(x)=(1/4)^x fonksiyonunda taban 0<1/4<1 iken azalanlık oluştuğunu ilişkilendir.
- Taban kesirli olduğu her durumda fonksiyonu azalan sanmak — payı paydasından büyük kesirlerde taban 1'den büyüktür ve fonksiyon artandır.
Kendini kontrol et: x=0 ve x=1 için f(0)=1 < f(1)=e ve g(0)=1 > g(1)=1/4 eşitsizlikleriyle artanlık-azalanlık yönünü kontrol et.
2. Uygulama 5Maksimum ve minimum değerler ile bunları veren noktalar
Çözüm Yolu
Fonksiyonlar R'de monoton olduğundan uç değer almaz; değerler sınırsız büyür veya 0'a yaklaşır ama 0'a ulaşmaz.
- Grafiklerde her iki fonksiyonun da bir yönde sınırsız büyüdüğünü inceleyerek en büyük (maksimum) değerlerinin olmadığını belirle.
- Diğer yönde grafiklerin 0'a yaklaştığını fakat 0 değerine hiçbir x noktasında ulaşmadığını gözlemle.
- Görüntü kümesi (0, ∞) açık aralığında en küçük veya en büyük eleman bulunmadığından maksimum ve minimum değer olmadığını yaz.
- Grafik x eksenine yaklaştığı için minimum değeri 0 almak — fonksiyon 0 değerine hiçbir noktada ulaşamadığından minimumu yoktur.
Kendini kontrol et: Minimum olduğunu düşündüğün herhangi bir pozitif değerin yarısını da fonksiyonun alıp alamayacağını sorgulayarak en küçük değer olmadığını doğrula.
2. Uygulama 6f ve g'nin tek veya çift fonksiyon olma durumları
Çözüm Yolu
f(-x)=e^(-x) hem f(x)'e hem -f(x)'e eşit değildir. g için de aynı durum geçerlidir; grafikler y eksenine ya da orijine göre simetrik değildir.
- Grafik 1 ve Grafik 2'nin y eksenine göre simetrik olmadığını görerek fonksiyonların çift olmadığını belirle.
- Grafiklerin orijine göre de simetrik olmadığını (ikinci ve üçüncü bölgeden geçmediğini) görerek tek olmadıklarını belirle.
- Cebirsel olarak f(-x)≠f(x) ve f(-x)≠-f(x) (g için de aynı) sağlandığından ikisinin de ne tek ne çift olduğunu yaz.
- f ve g grafiklerinin birbirine göre y ekseninde simetrik olmasına bakıp çift fonksiyon sanmak — simetri tek fonksiyonun kendi grafiğinde aranır.
Kendini kontrol et: x=1 ve x=-1 için f(-1)=1/e ile f(1)=e ve -f(1)=-e değerlerini karşılaştırarak eşitlik olmadığını gör.