Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 260
Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 260 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
4.b p-grafikTablo 9, p(x)=−2^(−x)+8 grafiğini çizme
Çözüm Yolu
2^x grafiği y eksenine ve x eksenine göre yansıtılıp 8 birim yukarı ötelenir.
- x büyüdükçe 2^(−x)→0 olduğundan yatay asimptot y=8 doğrusudur; bu doğruyu kesikli çizgiyle belirtiriz.
- Bazı x değerleri için görüntüleri hesaplarız: p(−3)=0, p(−1)=6, p(0)=7 ve p(1)=7,5.
- Koordinat düzleminde (−3,0), (−1,6), (0,7) ve (1,7,5) noktalarını işaretleriz.
- Soldan sağa doğru artarak yükselen ve y=8 doğrusuna alttan yaklaşan kesintisiz eğriyi çizeriz.
- −2^(−x) ifadesini (−2)^(−x) sanmak — eksi işareti tabana dahil değildir; önce 2^(−x) hesaplanıp önüne eksi konur.
- Öndeki eksiden dolayı grafiği azalan çizmek — hem üstte hem önde eksi olduğundan iki yansıma eğriyi artan yapar.
Kendini kontrol et: Eğrinin x eksenini (−3,0), y eksenini (0,7) noktasında kesip y=8 doğrusunun altında kaldığını kontrol et.
4.b p-grafik sıfırTablo 9, p fonksiyonunun grafikten sıfırı
Çözüm Yolu
Eğri (−3,0) noktasından geçer.
- Verilen: p(x)=−2^(−x)+8; istenen: sıfırı, yani grafiğin x eksenini kestiği nokta.
- p(x)=0 yazılır: −2^(−x)+8=0, buradan 2^(−x)=8=2³.
- Üsler eşitlenir: −x=3, yani x=−3.
- Grafikte eğrinin x eksenini (−3,0) noktasında kestiği görülür; dolayısıyla p fonksiyonunun sıfırı x=−3'tür.
- y eksenini kestiği y=7 değerini sıfır almak — fonksiyonun sıfırı, grafiğin x eksenini kestiği noktanın apsisidir.
Kendini kontrol et: Grafikte (−3,0) noktasının x ekseni üzerinde olduğunu ve p(−3)=0 eşitliğini sağladığını kontrol et.
4.b p-grafik artan-azalanTablo 9, p fonksiyonunun grafikten artan/azalan aralıkları
Çözüm Yolu
Grafik soldan sağa yükselir.
- Verilen: p(x)=−2^(−x)+8; istenen: artan/azalan olduğu aralıklar.
- 2^(−x)=(1/2)^x tabanı 1'den küçük olduğu için azalandır.
- Başına eksi gelince −2^(−x) artan olur; 8 eklemek bunu değiştirmez.
- Grafikte de eğri soldan sağa sürekli yükselir.
- Dolayısıyla p fonksiyonu tüm x∈R için artandır.
- Artan olduğu aralığı (−∞,8) yazmak — artanlık aralığı y değerleriyle değil, x eksenindeki tanım aralığıyla ifade edilir.
Kendini kontrol et: Grafik üzerinde soldan sağa giderken y değerlerinin daima büyüyüp büyümediğini iki nokta seçerek kontrol et.
4.b p-cebirsel sıfırTablo 9, p için cebirsel yolla sıfırı bulma
Çözüm Yolu
−2^(−x)+8=0 ise 2^(−x)=8=2³, buradan −x=3 ve x=−3.
- Sıfır için p(x)=0 yazılır: -2^(-x)+8=0.
- Buradan 2^(-x)=8 elde edilir.
- 8=2³ olduğundan 2^(-x)=2³, yani -x=3 olur.
- p fonksiyonunun sıfırı x=-3'tür. Kontrol: p(-3)=-2³+8=0.
- −x=3 eşitliğinden x=3 bulmak — her iki taraf −1 ile çarpılırken işaret değiştirmeye dikkat edilmelidir.
- −2^(−x)+8=0 denkleminde −2^(−x)=8 yazmak — 8 karşıya −8 olarak geçer ve eksiler sadeleşir.
Kendini kontrol et: Bulduğun x=−3 değerini p(x) kuralında yerine yazıp sonucun 0 çıktığını doğrula: −2³+8=0.
4.b p-cebirsel artan-azalanTablo 9, p için cebirsel yolla artan/azalan olma gerekçesi
Çözüm Yolu
p(x)=−(1/2)^x+8; taban 1/2 olduğundan (1/2)^x azalandır, önündeki eksi işaretiyle p artan olur (k·m>0, a>1).
- 2^(-x)=(1/2)^x olduğundan p(x)=-(1/2)^x+8 yazılır.
- Taban 1/2, 0 ile 1 arasında olduğu için (1/2)^x her x için azalandır.
- Önündeki eksi işareti azalan ifadeyi artana çevirir; +8 ise yalnız öteleme yapar.
- Bu nedenle p fonksiyonu her x∈R için artandır.
- Yalnız tabanın 1/2 olmasına bakıp azalan demek — öndeki negatif katsayı eşitsizlik yönünü ters çevirerek fonksiyonu artan yapar.
Kendini kontrol et: x1<x2 olacak şekilde x1=−1 ve x2=0 seçip p(−1)=6<p(0)=7 olduğunu görerek artanlığı doğrula.