Kitavuz

Hızlı Sayfa Bul

Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 261

Sayfa 261 4 Çözümlü Madde

Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 261 Cevapları

← Sayfa 260Tüm SayfalarSayfa 263 →
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok

Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?

Tüm cevaplar ve mevcut çözüm rehberleri ücretsiz. Önce dene; sonra ilk adımı, cevabı ve çözüm yolunu aç.

5Nitel özelliklerden yola çıkarak g(x)=k·a^(mx+r)+s türü üstel fonksiyonlar için genelleme oluşturma

Örnek Cevap (Ücretsiz)
a>1 ise g, k>0 iken m>0 için artan, m<0 için azalandır; 0<a<1 ise tersi. Yatay asimptot y=s, görüntü kümesi k>0 için (s,∞), k<0 için (−∞,s).
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

k dikey germe/yansıma, m yatay sıkışma/yansıma, r yatay öteleme (−r/m), s dikey ötelemedir. Fonksiyon bire birdir, tek veya çift değildir (genelde).

  1. Tanım kümesini inceleriz: mx+r her gerçek sayı için tanımlı olduğundan g fonksiyonu tüm R'de tanımlı ve bire birdir.
  2. Görüntü kümesini belirleriz: a^(mx+r)>0 olduğundan yatay asimptot y=s olur; görüntü kümesi k>0 için (s,∞), k<0 için (−∞,s) bulunur.
  3. Artanlık-azalanlığı inceleriz: a>1 iken k·m>0 ise fonksiyon artan, k·m<0 ise azalandır; 0<a<1 iken durum tersine döner.
  4. Diğer nitel özellikleri ekleriz: −s/k>0 ise tek sıfırı vardır; ekstremum noktası yoktur ve fonksiyon tek veya çift değildir.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Tanım kümesi R, bire bir, ekstremumu yok, tek/çift değil; −s/k>0 iken tek sıfırlı, a>1 için k·m>0 ise artandır. (Tablo 7'deki nitel özelliklerin tamamını veya temel kısmını doğru kapsayan genellemeler geçerlidir.)

Sık yapılan hatalar
  • Görüntü kümesini daima (s,∞) sanmak — k<0 olduğunda grafik x eksenine göre yansıdığından görüntü kümesi (−∞,s) olur.
  • Artanlığı yalnız a tabanına bağlamak — k ve m katsayılarının işaretleri de artanlık-azalanlık yönünü doğrudan belirler.

Kendini kontrol et: Genellemeni Tablo 8'deki n(x)=2^(3x)−1 ve Tablo 9'daki p(x)=−2^(−x)+8 fonksiyonlarının sonuçlarıyla karşılaştırarak test et.

6Varsayımlarla genellemeleri karşılaştırıp f referans fonksiyonundan g türetme önermesini sözel/cebirsel ifade etme

Örnek Cevap (Ücretsiz)
f(x)=a^x grafiğine sırasıyla x'te 1/|m| kat yatay sıkıştırma, −r/m öteleme, |k| kat dikey germe ve s kadar dikey öteleme uygulanarak g(x)=k·a^(mx+r)+s elde edilir.
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

g(x)=k·f(mx+r)+s biçiminde yazılır; iç kısım yatay, dış kısım dikey dönüşümleri verir. Genellemelerle uyumludur.

  1. Tablo 7'deki varsayımlarla 5. sorudaki genellemeleri karşılaştırıp g(x)=k·f(mx+r)+s cebirsel ilişkisini yazarız.
  2. mx+r=m(x+r/m) yazarak yatayda 1/|m| oranında ölçekleme (m<0 ise yansıma) ve −r/m birim öteleme olduğunu belirleriz.
  3. Dıştaki k ve s katsayılarının dikeyde |k| kat ölçekleme (k<0 ise yansıma) ve s birim öteleme yaptığını ifade ederiz.
  4. Bu dönüşümlerle f(x)=a^x referans fonksiyonundan g fonksiyonunun ve nitel özelliklerinin elde edildiğini önerme olarak yazarız.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Her x∈R için g(x)=k·a^(mx+r)+s bire birdir; görüntü kümesi k>0 ise (s,∞), k<0 ise (−∞,s) olur. (Nitel özelliklere dayalı cebirsel veya sözel doğru bir önerme kurulduğunda geçerlidir.)

Sık yapılan hatalar
  • mx+r ifadesinde yatay ötelemeyi −r almak — mx+r=m(x+r/m) olduğundan yatay öteleme miktarı −r değil −r/m kadardır.
  • k veya m negatifken eksenlere göre yansımaları atlamak — negatif işaretler görüntü kümesini ve artanlığı değiştirir.

Kendini kontrol et: Önermeni p(x)=−2^(−x)+8 örneğinde k=−1, m=−1, r=0, s=8 değerlerini yerine koyarak doğrula.

7aPlan A ve Plan B kâr hesaplamalarının fonksiyon olarak cebirsel gösterimi

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
Plan A: A(t)=50000·(1,04)^t. Plan B: B(t)=50000·(1,03)^t (t=1,2); 3. yılda B(3)=50000·(1,03)³+0,2·[50000·(1,03)³−50000].
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

Bileşik kârda her yıl ana para (1+oran) ile çarpılır. Plan B'de 3. yıl sonunda toplam kârın %20'si ek verilir.

  1. Başlangıç parası 50000 TL; bileşik kârda her yıl para (1+oran) ile çarpılır.
  2. Plan A'da oran %4 olduğundan A(t)=50000·(1,04)^t, t=1,2,3.
  3. Plan B'de oran %3 olduğundan ilk iki yıl B(t)=50000·(1,03)^t olur.
  4. 3. yıl sonunda toplam kâr 50000·(1,03)³−50000 olup bunun %20'si bonus olarak eklenir.
  5. B(3)=50000·(1,03)³+0,2·[50000·(1,03)³−50000] şeklinde yazılır.
Sık yapılan hatalar
  • Bileşik kâr yerine basit kâr kullanıp 50000·(1+0,04·t) yazmak — birikimli kârda oran her yıl yeni tutara uygulanır.
  • %20 bonusu tüm birikime uygulamak — bonus toplam paranın değil, 50000 TL üzerindeki toplam kârın %20'sidir.

Kendini kontrol et: t=1 için A(1)=52000 TL ve B(1)=51500 TL değerlerini bularak formüllerin ilk yıl kâr oranlarını verdiğini doğrula.

7bİki plandan elde edilecek geliri ayrı hesaplama ve daha kazançlı planı belirleme

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
Plan A: 3 yıl sonunda yaklaşık 56 243,20 TL (kâr 6 243,20 TL). Plan B: yaklaşık 55 563,62 TL (kâr 5 563,62 TL). Plan A yaklaşık 679,58 TL daha kazançlıdır.
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

1,04³=1,124864 olduğundan A=56243,20. 1,03³=1,092727 ile B kâr=4636,35, bonus 927,27, toplam kâr 5563,62.

  1. Plan A: 1,04³=1,124864; 50000·1,124864=56243,20 TL, kâr 6243,20 TL.
  2. Plan B: 1,03³=1,092727; 50000·1,092727≈54636,35 TL, kâr 4636,35 TL.
  3. Bonus: 4636,35·0,2≈927,27 TL; Plan B toplam kâr 5563,62 TL, gelir 55563,62 TL.
  4. Fark: 56243,20−55563,62=679,58 TL; Plan A yaklaşık 679,58 TL daha kazançlıdır.
Sık yapılan hatalar
  • 1,04³ ve 1,03³ kuvvetlerini erken yuvarlamak — 50000 ile çarpıldığında belirgin lira ve kuruş farklarına yol açar.
  • Plan B'de %3+%20 hesabıyla kârı daha yüksek sanmak — %20 bonus anaparaya değil yalnızca 4636,35 TL'lik kâra eklenir.

Kendini kontrol et: Basit faizle bile Plan A kârı 6000 TL, Plan B bonuslu kârı 5400 TL olduğundan Plan A'nın üstünlüğünü doğrula.