Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 280 Cevapları

Dosya boyutu x>1 ve doğal sayı olduğundan f'nin grafiği yalnız bu noktalardır. Noktalar birleştirilmez; (1,0) ve y eksenine yaklaşma tanım kümesi dışında kalır.

Tanım kümesi R+ orijine göre simetrik olmadığından teklik ya da çiftlik söz konusu değildir.

1. Tablo 2'de teklik-çiftlik için f(-x) ifadesinin tanımlı olup olmadığına bakılır.
2. Tanım kümesi R+ olduğundan x pozitifken -x tanım kümesinde değildir; küme orijine göre simetrik değildir.
3. Bu nedenle f ve g fonksiyonlarının ikisi de ne tek ne çifttir.

Kendini kontrol et: Grafiklerin ne y eksenine göre (çiftlik) ne de orijine göre (teklik) simetrik olmadığını görsel olarak doğrula.

f tabanı 2>1 artan; g tabanı 1/3 0 ile 1 arasında olduğundan azalandır.

1. Tablo 2'de artanlık-azalanlık satırı için f(x) = log_2 x ve g(x) = log_(1/3) x tabanlarına bakılır.
2. Taban 1'den büyükse logaritma fonksiyonu artan, 0 ile 1 arasındaysa azalandır.
3. f'nin tabanı 2 > 1 olduğundan f artan; g'nin tabanı 1/3 olduğundan g azalandır.

Kendini kontrol et: 1<3 için f(1)=0<f(3) iken g(1)=0>g(3)=-1 olduğunu hesaplayarak yönleri doğrula.

log_a 1=0 olduğundan sıfır x=1'dir.

1. Tablo 2'de sıfır satırı için f(x) = 0 ve g(x) = 0 denklemleri çözülür.
2. Her taban için a⁰ = 1 olduğundan log_a 1 = 0 olur.
3. Dolayısıyla her iki fonksiyonun da sıfırı (x eksenini kestiği noktanın apsisi) x=1'dir.

Kendini kontrol et: Her iki grafiğin de x eksenini (1, 0) noktasında kestiğini kontrol et.

f artan olduğundan 1'den sonra pozitiftir; g azalan olduğundan 1'den önce pozitiftir.

1. Tablo 2'de işaret (+) satırı için sıfırın x = 1 olduğu ve monotonluk kullanılır.
2. f artan olduğundan x > 1 için f(x) > f(1) = 0, yani pozitiftir.
3. g azalan olduğundan 0 < x < 1 için g(x) > g(1) = 0, yani pozitiftir.

Kendini kontrol et: f(2)=1>0 ve g(1/3)=1>0 test değerleriyle bulduğun aralıkların pozitif sonuç verdiğini doğrula.

f için 0<x<1 negatif; g azalan olduğundan x>1 için negatiftir.

1. Tablo 2'de işaret (-) satırı için sıfırın x = 1 olduğu ve monotonluk kullanılır.
2. f artan olduğundan x = 1'in solunda, yani 0 < x < 1'de negatiftir.
3. g azalan olduğundan x = 1'in sağında, yani x > 1'de negatiftir.

Kendini kontrol et: f(1/2)=-1<0 ve g(3)=-1<0 değerlerini yerine koyarak negatif işaret aralıklarını kontrol et.

log_2 4=2 rasyonel iken log_2 3 gibi değerler rasyonel değildir (irrasyoneldir). Grafikteki noktaların çoğu rasyonel olmayan değerlere sahiptir.

1. Tabanın rasyonel kuvveti olan girdiler incelenir: örneğin log_2 4=2 ve log₁/₃ 3=-1 değerleri rasyoneldir.
2. Tabanın rasyonel kuvveti olmayan girdiler incelenir: örneğin log_2 3 ve log₁/₃ 2 değerleri irrasyoneldir.
3. Grafikler tüm gerçek değerleri aldığından logaritmik referans fonksiyonların değerleri her zaman rasyonel değildir; irrasyonel değerler de alır.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Logaritmik referans fonksiyonların görüntü kümesi tüm gerçek sayılar olduğundan hem rasyonel hem irrasyonel değerler alır. (Hem rasyonel hem irrasyonel değerler alınabildiğini örneklerle veya görüntü kümesiyle açıklayan çıkarımlar geçerlidir.)

Kendini kontrol et: log_2 3=p/q (p, q ∈ Z+) olsaydı 2^p=3^q eşitliği gerekirdi; çift ve tek sayılardan bunun imkânsızlığını doğrula.

Logaritma yalnız pozitif sayılarda tanımlıdır.

1. Tablo 2'de tanım kümesi satırı için f ve g'nin logaritma fonksiyonu olduğu görülür.
2. Logaritma yalnız pozitif gerçek sayılar için tanımlıdır.
3. Dolayısıyla hem f hem de g fonksiyonunun tanım kümesi R+ yani (0, ∞) aralığıdır.

Kendini kontrol et: 2^y=0 veya (1/3)^y<0 denklemlerini sağlayan gerçek bir y olmadığını düşünerek x>0 koşulunu doğrula.

Logaritma fonksiyonları tüm gerçek değerleri alır.

1. Tablo 2'de görüntü kümesi satırı için f ve g'nin alabileceği değerler incelenir.
2. Her gerçek y için 2^y ve (1/3)^y pozitif bir x verir; yani her y değeri alınır.
3. Bu nedenle f ve g fonksiyonlarının görüntü kümesi tüm gerçek sayılar kümesi R olur.

Kendini kontrol et: f(1/2)=-1, f(1)=0 ve f(2)=1 örnekleriyle negatif, sıfır ve pozitif çıktıların alındığını kontrol et.

Taban 1'den farklı olduğundan fonksiyonlar kesin monotondur.

1. Tablo 2'de bire bir olma satırı için f ve g'nin monotonluğu incelenir.
2. f artan, g azalandır; kesin monoton fonksiyonda farklı x değerleri farklı y değerleri verir.
3. Dolayısıyla hem f hem de g bire bir fonksiyondur.

Kendini kontrol et: Grafiklere çizilen her yatay doğrunun eğrileri yalnızca birer noktada kestiğini (yatay doğru testi) kontrol et.

Görüntü kümesi R, değer kümesine eşittir.

1. Tablo 2'de örtenlik için görüntü kümesi değer kümesiyle karşılaştırılır.
2. f ve g'nin değer kümesi R, görüntü kümesi de R'dir.
3. Görüntü kümesi değer kümesine eşit olduğundan f ve g örtendir.

Kendini kontrol et: Değer kümesi R'de açıkta kalan hiçbir y elemanı bulunmadığını f(R+)=R ve g(R+)=R eşitlikleriyle doğrula.

Değerler sınırsız artar veya azalır, en büyük değer yoktur.

1. Tablo 2'de maksimum nokta satırı için fonksiyonların aldığı değerlere bakılır.
2. f, x büyüdükçe sınırsız artar; g ise x sıfıra yaklaşırken sınırsız artar.
3. En büyük değer olmadığından f ve g'nin maksimum noktası ve değeri yoktur.

Kendini kontrol et: Ne kadar büyük bir M seçilirse seçilsin f(2^M)=M ve g(3^(-M))=M eşitlikleriyle bu değerin ulaşılabildiğini ve aşılabildiğini kontrol et.

Değerler sınırsız azalır veya artar, en küçük değer yoktur.

1. Tablo 2'de minimum nokta satırı için fonksiyonların aldığı değerlere bakılır.
2. f, x sıfıra yaklaşırken sınırsız azalır; g ise x büyüdükçe sınırsız azalır.
3. En küçük değer olmadığından f ve g'nin minimum noktası ve değeri yoktur.

Kendini kontrol et: f(2^(-100))=-100 ve g(3¹⁰⁰)=-100 gibi istenildiği kadar küçük negatif değerler elde edilebildiğini doğrula.