Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 291
Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 291 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
2-satır2Tablo 5, 2 kat dikey sıkıştırma ve x ekseni boyunca 3 birim pozitif öteleme satırı: cebirsel ve grafik temsil
Çözüm Yolu
2 kat dikey sıkıştırma fonksiyonu 1/2 ile çarpar, sağa 3 öteleme x yerine x-3 yazdırır. Tanım kümesi (3,∞) olur.
- Başlangıç f(x)=log₂x; 2 kat dikey sıkıştırmada fonksiyon değeri 1/2 ile çarpılır: (1/2)·log₂x.
- x ekseni boyunca pozitif yönde 3 birim ötelemede x yerine x-3 yazılır: h(x)=(1/2)·log₂(x-3).
- Tanım için x-3>0, yani x>3; düşey asimptot x=3.
- Noktalar: h(4)=(1/2)·0=0, h(5)=(1/2)·1=1/2, h(7)=(1/2)·2=1.
- Grafik x=3'ün sağında (4,0), (5,1/2), (7,1) noktalarından geçerek çizilir.
- 2 kat dikey sıkıştırmada fonksiyonu 2 ile çarpmak — sıkıştırmada y değerleri yarıya indiği için 1/2 ile çarpılmalıdır.
- Pozitif yönde 3 birim ötelemede x+3 yazmak — sağa ötelemede x yerine x-3 yazılmalıdır.
Kendini kontrol et: h(4)=(1/2)·log₂1=0 ve h(7)=(1/2)·log₂4=1 değerleri grafikteki noktaları sağlıyor mu?
3-Tablo6-artanTablo 6, h fonksiyonunun artanlığı veya azalanlığı
Çözüm Yolu
Taban 2>1 ve katsayı 2>0 olduğundan x büyüdükçe h(x) büyür.
- h(x)=1+2·log₂x incelenir; tabanı 2>1 olan log₂x tanım kümesinde artandır.
- log₂x değeri pozitif 2 ile çarpılınca artma yönü korunur, 1 eklemek de yönü değiştirmez.
- Örnek kontrol: h(1)=1, h(2)=3; x arttıkça h(x) artmıştır.
- 0<x<1 aralığında log₂x negatif olduğu için fonksiyonu azalan sanmak — negatif değer almakla azalan olmak farklıdır, x büyüdükçe h(x) artar.
Kendini kontrol et: x₁=1/2 ve x₂=1 için h(1/2)=-1 < h(1)=1 eşitsizliği artanlığı doğruluyor mu?
3-Tablo6-tek-çiftTablo 6, h fonksiyonunun tek veya çift olması
Çözüm Yolu
Tanım kümesi (0,∞) orijine göre simetrik olmadığından tek ya da çift fonksiyon olamaz.
- h(x)=1+2·log₂x fonksiyonunun tanım kümesi (0,∞) aralığıdır.
- Tek ya da çift olmak için her x ile birlikte -x de tanım kümesinde olmalıdır.
- Örneğin x=1 tanımlı ama x=-1 tanımlı değildir; tanım kümesi orijine göre simetrik değildir.
- Katsayısı 2 olduğu için fonksiyonu çift sanmak — tanım kümesi (0,∞) orijine göre simetrik olmadığından h(-x) tanımlı bile değildir.
Kendini kontrol et: x=2 tanım kümesindeyken -x=-2 için h(-2) hesaplanabiliyor mu?
2-satır3Tablo 5, y eksenine göre yansıma ve x ekseni boyunca 3 birim negatif öteleme satırı: cebirsel ve grafik temsil
Çözüm Yolu
Yansıma x yerine -x yazdırır, sonra sola 3 öteleme x yerine x+3 yazdırır: log₂(-(x+3)). Grafik x=-3'ün solunda yer alır.
- Başlangıç f(x)=log₂x; y eksenine göre yansımada x yerine -x yazılır: log₂(-x).
- x ekseni boyunca negatif yönde 3 birim ötelemede x yerine x+3 yazılır: h(x)=log₂(-(x+3))=log₂(-x-3).
- Tanım için -x-3>0, yani x<-3 olmalı; tanım kümesi (-∞,-3), düşey asimptot x=-3.
- Noktalar: h(-4)=log₂1=0, h(-5)=log₂2=1, h(-7)=log₂4=2.
- Grafik x=-3 doğrusunun solunda, (-4,0), (-5,1), (-7,2) noktalarından geçerek çizilir.
- Sola 3 birim ötelemede parantez kullanmadan log₂(-x+3) yazmak — x yerine (x+3) konulduğundan ifade log₂(-(x+3))=log₂(-x-3) olur.
- Tanım kümesini (-3,∞) almak — -x-3>0 eşitsizliği çözüldüğünde x<-3 yani (-∞,-3) bulunur.
Kendini kontrol et: x=-4 yazıldığında h(-4)=log₂(4-3)=log₂1=0 eşitliği sağlanıyor mu?
3-Tablo6-tanımTablo 6, h(x)=1+2·log₂x için tanım kümesi
Çözüm Yolu
Logaritma yalnız pozitif sayılarda tanımlıdır, dönüşümler tanım kümesini değiştirmez.
- h(x)=1+2·log₂x ifadesinde logaritmanın içi x'tir.
- Logaritma yalnız pozitif sayılar için tanımlıdır, bu yüzden x>0 olmalıdır.
- 2 ile çarpmak ve 1 eklemek tanım koşulunu değiştirmez.
- 1+2·log₂x>0 eşitsizliğini çözerek tanım kümesi aramak — pozitiflik şartı tüm fonksiyona değil yalnızca logaritmanın içindeki x'e uygulanır.
Kendini kontrol et: x≤0 için log₂x tanımlı mıdır, x>0 için her zaman hesaplanabilir mi?
3-Tablo6-görüntüTablo 6, h fonksiyonunun görüntü kümesi
Çözüm Yolu
log₂x tüm reel sayıları alır; 2 ile çarpmak ve 1 eklemek değer kümesini değiştirmez.
- log₂x fonksiyonu (0,∞) üzerinde tüm reel değerleri alır.
- Her y için 1+2·log₂x=y denklemi x=2^((y-1)/2) pozitif çözümünü verir.
- Demek ki her reel sayı bir görüntüdür.
- Tanım kümesi ℝ⁺ olduğu için görüntü kümesini de (0,∞) sanmak — x sıfıra yaklaşırken log₂x negatif değerler de alır.
Kendini kontrol et: Negatif bir sonuç için örneğin x=1/4 koyduğunda h(1/4)=1+2·(-2)=-3 elde ediliyor mu?
3-Tablo6-örtenlikTablo 6, h: ℝ⁺→ℝ fonksiyonunun örtenliği
Çözüm Yolu
Görüntü kümesi ℝ, değer kümesine eşit olduğundan fonksiyon örtendir.
- h fonksiyonunun değer kümesi ℝ olarak verilmiştir.
- Görüntü kümesi de ℝ bulunmuştu; her reel y için x=2^((y-1)/2) vardır.
- Görüntü kümesi değer kümesine eşit olduğundan fonksiyon örtendir.
- Tanım kümesi ℝ⁺ olduğu için örten olmadığını düşünmek — örtenlik tanım kümesine değil görüntü ve değer kümelerinin eşitliğine bağlıdır.
Kendini kontrol et: Değer kümesi olan ℝ ile bulduğun görüntü kümesi birbirine eşit mi?
3-Tablo6-periyotTablo 6, h fonksiyonunun periyodu
Çözüm Yolu
Bire bir ve sürekli artan olduğundan değerleri tekrar etmez, periyodu yoktur.
- Periyodik olması için her x için h(x+T)=h(x) olacak pozitif bir T gerekir.
- h(x)=1+2·log₂x bire bir olduğundan farklı x değerleri farklı sonuçlar verir.
- x+T≠x olduğundan h(x+T)=h(x) eşitliği hiçbir T>0 için sağlanmaz.
- Her sürekli fonksiyonun bir periyodu olduğunu sanmak — sürekli artan ve bire bir fonksiyonlar aynı değeri tekrar alamaz.
Kendini kontrol et: Bire bir olan h fonksiyonunda T>0 için h(x+T)=h(x) eşitliği sağlanabilir mi?
3-Tablo6-sıfırTablo 6, h fonksiyonunun sıfırı
Çözüm Yolu
1+2·log₂x=0 ise log₂x=-1/2 olur, buradan x=2^(-1/2)=√2/2 bulunur.
- h(x) = 1 + 2·log_2 x fonksiyonunun sıfırı için h(x) = 0 yazılır.
- 1 + 2·log_2 x = 0 ise log_2 x = −1/2 olur.
- Logaritma tanımından x = 2^(−1/2) = 1/√2 bulunur.
- Paydayı rasyonel yapınca x = √2/2; bu değer pozitif olduğundan tanım kümesindedir.
- Fonksiyonun sıfırını bulmak için log₂x=0 alıp x=1 demek — sıfır için log₂x değil h(x)=1+2·log₂x ifadesi 0'a eşitlenmelidir.
- 2^(-1/2) ifadesini -1 veya -1/2 hesaplamak — negatif üs işareti değiştirmez, 1/2^(1/2)=√2/2 verir.
Kendini kontrol et: x=2^(-1/2) değerini yerine koyduğunda 1+2·log₂(2^(-1/2))=1+2·(-1/2)=0 çıkıyor mu?
3-Tablo6-işaretTablo 6, h fonksiyonunun işareti
Çözüm Yolu
Fonksiyon artan ve sıfırı √2/2 olduğundan sıfırın sağında pozitif, solunda negatiftir.
- Önce sıfır bulunur: 1+2·log₂x=0 ise log₂x=-1/2, x=2^(-1/2)=√2/2.
- h artan olduğundan √2/2'nin sağında değerler 0'dan büyüktür.
- √2/2'nin solunda (0<x<√2/2) değerler 0'dan küçüktür.
- Kontrol: h(1)=1>0. Sonuç: x>√2/2 için pozitif, 0<x<√2/2 için negatif.
- Negatif bölgeyi (-∞,√2/2) olarak yazmak — tanım kümesi (0,∞) olduğundan x≤0 değerleri işaret tablosuna dahil edilmez.
Kendini kontrol et: 0<x<√2/2 aralığından x=1/2 seçtiğinde h(1/2)=1+2·(-1)=-1<0 çıkıyor mu?
3-Tablo6-maksminTablo 6, h fonksiyonunun maksimum ve minimum noktası ile değeri
Çözüm Yolu
Görüntü kümesi ℝ olduğundan değerler alttan ve üstten sınırsızdır.
- h(x)=1+2·log₂x fonksiyonunun görüntü kümesi tüm reel sayılardır.
- h artan olduğundan x büyüdükçe değer sınırsız artar, x sıfıra yaklaştıkça sınırsız azalır.
- En büyük ya da en küçük değer alınan bir nokta bulunmaz.
- x=0 noktasında minimum olduğunu söylemek — x=0 tanım kümesinde değildir ve x sıfıra yaklaşırken h(x) sınırsız küçülür.
Kendini kontrol et: x değerini sürekli büyüttüğünde veya 0'a yaklaştırdığında h(x) bir sınırda duruyor mu?