Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 292 Cevapları

Logaritmanın içi pozitif olmalıdır. Eşitsizlik m'nin işaretine göre yön değiştirir.

1. Logaritmanın tanımlı olması için içi pozitif olmalı: mx+r>0.
2. mx>-r eşitsizliğinde m'ye bölünür; bölmede eşitsizliğin yönü m'nin işaretine bağlıdır.
3. m>0 ise x>-r/m, tanım kümesi (-r/m,∞).
4. m<0 ise yön değişir: x<-r/m, tanım kümesi (-∞,-r/m).

Kendini kontrol et: m=-2 ve r=4 seçtiğinde formülün -2x+4>0 yani (-∞,2) aralığını veriyor mu?

Logaritma tüm reel değerleri alır; k≠0 ile çarpma ve s ekleme bunu değiştirmez.

1. g(x)=k·logₐ(mx+r)+s fonksiyonu incelenir; mx+r tanım kümesinde tüm pozitif sayıları alır.
2. Bu yüzden logₐ(mx+r) tüm reel değerleri alır.
3. k≠0 ile çarpmak ve s eklemek reel sayıların tamamını yine tüm reel sayılara götürür.

Kendini kontrol et: Herhangi bir y∈ℝ için k·logₐ(mx+r)+s=y denklemi mx+r=a^((y-s)/k)>0 çözümünü veriyor mu?

Logaritma fonksiyonu bire birdir; k≠0 ve m≠0 olduğundan dönüşümler bu özelliği bozmaz.

1. logₐ fonksiyonu bire birdir: logₐu=logₐv ise u=v.
2. g(x₁)=g(x₂) ise s çıkarılıp k≠0'a bölünür: logₐ(mx₁+r)=logₐ(mx₂+r).
3. Buradan mx₁+r=mx₂+r, m≠0 olduğundan x₁=x₂ bulunur.

Kendini kontrol et: g(x₁)=g(x₂) eşitliğinden yola çıktığında k≠0 ve m≠0 sayesinde x₁=x₂ elde ediliyor mu?

Görüntü kümesi ℝ olduğundan değer kümesi ℝ alındığında örten olur.

1. g fonksiyonunun görüntü kümesinin ℝ olduğu bulunmuştu.
2. Değer kümesi ℝ alındığında görüntü kümesi değer kümesine eşit olur.
3. Görüntü kümesi ile değer kümesi birbirine eşit olduğundan fonksiyon tanım kümesinden ℝ'ye örtendir.

Kendini kontrol et: Değer kümesi ℝ'den seçilen her y için tanım kümesinde g(x)=y olan bir x bulunuyor mu?

Fonksiyon bire bir olduğundan değerler tekrarlanmaz.

1. Periyodik olsaydı bir T>0 için g(x+T)=g(x) olurdu.
2. g bire bir olduğundan bu eşitlik x+T=x gerektirir, bu da T=0 demektir.
3. T>0 bulunamadığından değerler tekrar etmez; g periyodik değildir.

Kendini kontrol et: Bire bir bir fonksiyonda iki farklı x değeri aynı görüntüyü verebilir mi?

k·logₐ(mx+r)+s=0 denkleminden logₐ(mx+r)=-s/k, mx+r=a^(-s/k) ve x çekilir.

1. g(x) = k·log_a(mx + r) + s fonksiyonunun sıfırı için g(x) = 0 yazılır.
2. k ≠ 0 olduğundan log_a(mx + r) = −s/k elde edilir.
3. Logaritma tanımından mx + r = a^(−s/k) olur.
4. m ≠ 0 olduğundan x = (a^(−s/k) − r)/m bulunur; bu noktada mx + r > 0 sağlanır.

Kendini kontrol et: x=(a^(-s/k)-r)/m değerini g(x)'te yerine yazdığında k·(-s/k)+s=0 elde ediliyor mu?

Fonksiyon bire bir ve sürekli olduğundan sıfırı tek noktadadır ve işaret orada değişir.

1. g bire bir ve sürekli olduğundan sıfırı tek bir noktadır; işaret yalnız orada değişir.
2. g artan ise sıfırın sağında değerler pozitif, solunda negatiftir.
3. g azalan ise sıfırın solunda pozitif, sağında negatiftir.
4. Hangi durumun geçerli olduğu, artan-azalan incelemesindeki gibi k, m ve a'ya bağlıdır.

Kendini kontrol et: Azalan bir örnekte, örneğin g(x)=-log₂x için sıfır x=1'in sağında g(2)=-1<0 oluyor mu?

Türevin işareti k·m/ln a gibi davranır; k, m ve ln a işaretlerinin çarpımı yönü belirler.

1. Yönü üç etken belirler: m'nin işareti (içteki ifadenin yönü), a (logaritmanın yönü), k'nin işareti.
2. logₐ, a>1 iken artan, 0<a<1 iken azalandır; negatif m veya negatif k yönü bir kez tersine çevirir.
3. k·m>0 ise yön logaritmanınkiyle aynıdır: a>1 artan, 0<a<1 azalan.
4. k·m<0 ise yön tersine döner: 0<a<1 artan, a>1 azalan; s yönü etkilemez.

Kendini kontrol et: g(x)=log₂(-x) örneğinde k·m=-1<0 ve a=2>1 iken g(-4)=2 > g(-2)=1 azalanlığı doğruluyor mu?

Tanım kümesi bir yarı doğrudur, orijine göre simetrik olmadığından tek veya çift olamaz.

1. g'nin tanım kümesi (-r/m,∞) ya da (-∞,-r/m) biçiminde bir yarı doğrudur.
2. Tek veya çift olmak için tanım kümesi orijine göre simetrik olmalıdır.
3. Bir yarı doğru, her x için -x'i içermediğinden simetrik değildir.

Kendini kontrol et: Yarı doğru biçimindeki tanım kümesinde her x için -x de tanımlı olabilir mi?