Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 295
Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 295 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
4c n(x) grafikn(x)=4·ln x+1 grafiğini ızgaraya çizme
Çözüm Yolu
ln x grafiği dikey 4 kat genişletilir ve 1 birim yukarı ötelenir.
- Tanım kümesini x > 0 olarak belirleyip y eksenini (x = 0 doğrusunu) düşey asimptot kabul edin.
- x = 1 için n(1) = 4·ln 1 + 1 = 1 hesaplayarak (1,1) noktasını işaretleyin.
- 4·ln x + 1 = 0 denklemini çözüp x eksenini kestiği x = e^(−1/4) ≈ 0,78 noktasını belirleyin.
- x = e ≈ 2,72 için (e,5) noktasından geçen, y eksenine soldan değmeden sağa doğru yükselen eğriyi çizin.
- 4·ln x + 1 ifadesini 4·ln(x+1) sanarak grafiği sola ötelemek — +1 sabiti logaritmanın dışında olduğundan grafik 1 birim yukarı ötelenir.
- Eğriyi y ekseninin soluna (x ≤ 0 bölgesine) geçirmek — ln x yalnızca pozitif gerçek sayılarda tanımlıdır.
Kendini kontrol et: Çizdiğiniz grafik (1,1) noktasından geçiyor, x eksenini 0 ile 1 arasında kesiyor ve y eksenini hiç kesmiyor mu?
4c n(x) grafik-Görüntü Kümesin fonksiyonunun grafiğinden görüntü kümesi
Çözüm Yolu
Grafik aşağıda ve yukarıda sınırsız uzanır, tüm y değerlerini alır.
- Verilen: n(x) = 4·ln x + 1. İstenen: görüntü kümesi.
- ln x referans fonksiyonunun görüntü kümesi ℝ'dir.
- 4 ile çarpmak ve 1 eklemek grafiği yalnızca uzatır ve kaydırır; grafik aşağı ve yukarı sınırsız uzanır.
- Tanım kümesi (0,∞) ile görüntü kümesini karıştırıp görüntü kümesine ℝ⁺ yazmak — görüntü kümesi y eksenindeki değerlerdir ve tüm ℝ'yi kaplar.
- +1 ötelemesi yüzünden görüntü kümesinin (1,∞) olduğunu sanmak — sınırsız uzanan eğri 1 birim kaydırıldığında yine tüm gerçek sayıları alır.
Kendini kontrol et: Grafikte y ekseni boyunca seçtiğiniz herhangi bir gerçek sayıya karşılık eğri üzerinde bir nokta bulunuyor mu?
4c n(x) grafik-Bire birlikn fonksiyonunun grafiğinden bire birlik
Çözüm Yolu
Hiçbir yatay doğru grafiği birden fazla noktada kesmez.
- Verilen: n(x) = 4·ln x + 1, x > 0. İstenen: bire birlik.
- x1 ≠ x2 alınırsa ln x1 ≠ ln x2 olur; bu yüzden 4·ln x1 + 1 ≠ 4·ln x2 + 1.
- Grafikte her yatay doğru eğriyi en çok bir noktada keser (fonksiyon sürekli artandır).
- Yatay doğru testi yerine düşey doğru testi uygulamak — düşey doğru fonksiyon olma şartını, yatay doğru ise bire birliği ölçer.
Kendini kontrol et: Koordinat düzleminde çizdiğiniz herhangi bir yatay doğru grafiği birden fazla noktada kesiyor mu?
4c n(x) cebirsel-Görüntü Kümesin fonksiyonunun cebirsel olarak görüntü kümesi
Çözüm Yolu
ln x'in görüntü kümesi ℝ'dir; 4 ile çarpma ve 1 ekleme görüntü kümesini değiştirmez.
- Verilen: n(x) = 4·ln x + 1; ln x tüm x > 0 için tanımlıdır.
- Referans fonksiyon ln x tüm gerçek sayı değerlerini alır; görüntü kümesi ℝ'dir.
- 4 ile çarpmak ℝ'yi yine ℝ'ye götürür; 1 eklemek de ℝ'yi değiştirmez.
- 4 katsayısının ve +1 sabitinin görüntü kümesini daralttığını düşünmek — sıfırdan farklı çarpma ve toplama işlemleri ℝ kümesini değiştirmez.
Kendini kontrol et: Her y ∈ ℝ için 4·ln x + 1 = y denkleminden x = e^((y−1)/4) > 0 çözümü bulunabiliyor mu?
4c n(x) cebirsel-Bire birlikn fonksiyonunun cebirsel olarak bire birliği
Çözüm Yolu
x1,x2>0 için n(x1)=n(x2) ise 4ln x1+1=4ln x2+1, ln x1=ln x2, x1=x2 olur.
- Verilen: n(x) = 4·ln x + 1, tanım kümesi x > 0.
- x₁, x₂ > 0 için n(x₁) = n(x₂) olduğunu varsayarız: 4·ln x₁ + 1 = 4·ln x₂ + 1.
- Her iki taraftan 1 çıkarıp 4'e böleriz: ln x₁ = ln x₂.
- ln fonksiyonu bire bir olduğundan x₁ = x₂ bulunur.
- Farklı x değerleri farklı görüntüler verir; n fonksiyonu bire birdir.
- Sayısal iki örnek deneyerek bire birliği kanıtladığını sanmak — cebirsel kanıt tüm x₁, x₂ ∈ ℝ⁺ için yapılmalıdır.
Kendini kontrol et: n(x₁) = n(x₂) eşitliğinden yola çıktığınızda cebirsel işlemler sonucunda tek çözüm olarak x₁ = x₂ elde ediliyor mu?