Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 296
Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 296 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
5g(x)=k·log_a(mx+r)+s için nitel özelliklerle ilgili genelleme yazma
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
k·m>0 ve a>1 ise artan, k·m>0 ve 0<a<1 ise azalan; k·m<0 durumunda tersi geçerlidir. Çift ya da tek değildir (genel durumda).
- Logaritmanın içinin pozitif olma şartından mx+r > 0 eşitsizliğini yazıp m'nin işaretine göre tanım kümesini belirleyin.
- k ≠ 0 ve m ≠ 0 olduğundan logaritmik dönüşümlerin görüntü kümesini değiştirmediğini kullanarak görüntü kümesini ℝ olarak yazın.
- g(x) = 0 denklemini log_a(mx+r) = −s/k biçimine getirip fonksiyonun sıfırını x = (a^(−s/k)−r)/m olarak bulun.
- a tabanının (a > 1 veya 0 < a < 1) ve k·m çarpımının işaretine göre artan-azalanlığı ve işaret aralıklarını inceleyin.
- Fonksiyonun tanım kümesinde sürekli artan veya azalan olmasından yararlanarak bire bir olduğunu ve maksimum-minimum değeri bulunmadığını belirtin.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Tanım kümesi mx+r > 0, görüntü kümesi ℝ, bire bir; a ve k·m'ye göre kesin monoton, ekstremumu olmayan fonksiyondur. (Logaritmik fonksiyonun temel nitel özelliklerini matematiksel olarak doğru özetleyen eşdeğer sözel veya cebirsel genellemeler geçerlidir.)
- mx+r > 0 eşitsizliğinde m < 0 iken yön değiştirmeyi unutmak — negatif m'ye bölündüğünde tanım kümesi x < −r/m olur.
- s ötelemesinin görüntü kümesini değiştirdiğini sanmak — logaritmanın görüntü kümesi ℝ olduğundan sabit eklemek görüntü kümesini değiştirmez.
Kendini kontrol et: Yazdığınız genellemeleri h(x) = 2·log_3 x ve n(x) = 4·ln x + 1 örneklerinde denediğinizde aynı nitel özellikleri veriyor mu?
6Varsayımlarla genellemeleri karşılaştırıp g fonksiyonu için önerme oluşturma
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Kendi varsayımlarınız bununla uyuşuyorsa doğrulayın; farklıysa düzeltin. Örneğin tanım kümesi ötelemeye ve m'nin işaretine bağlıdır; s görüntü kümesini değiştirmez.
- Önceki etkinlikte kurduğunuz başlangıç varsayımlarını 5. soruda ulaştığınız genellemelerle tek tek karşılaştırarak tutarlı olanları belirleyin.
- m, r, k ve s katsayılarının tanım kümesini nasıl etkilediğini, görüntü kümesi ile bire birliği ise koruduğunu netleştirin.
- Doğrulanan nitel özellikleri koşullarıyla birlikte sözel veya sembolik mantık dilinde açık bir matematiksel önerme olarak ifade edin.
Kabul edilebilir başka cevaplar: ∀x₁, x₂ ∈ {x ∈ ℝ | mx+r > 0}, x₁ ≠ x₂ ⇒ k·log_a(mx₁+r)+s ≠ k·log_a(mx₂+r)+s ve g(T) = ℝ. (Önermenin sözel ifade yerine niceleyicilerle cebirsel/sembolik olarak doğru yazıldığı durumlarda geçerlidir.)
- k ≠ 0 ve m ≠ 0 koşulunu önermede atlamak — katsayılar sıfır olursa fonksiyon sabit olur ve bire birliğini yitirir.
Kendini kontrol et: Kurduğunuz önerme a, k, m, r, s parametrelerinin izin verilen her değeri için karşı örnek çıkmadan doğrulanıyor mu?
7aEn fazla 63 birimden bırakılan cismin inebileceği derinlik aralığı
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
k(h)=log_2(h+1) artandır; h=63 için k=log_2 64=6. h>0 olduğundan k>0. Derinlik 0 ile 6 birim arasındadır.
- Verilen: k(h) = log_2(h + 1), yükseklik 0 < h ≤ 63. İstenen: derinlik k'nin değer aralığı.
- Taban 2 > 1 olduğundan k fonksiyonu artandır; en büyük derinlik en büyük h'de olur.
- h = 63 için k = log_2 64 = 6 birim.
- h > 0 olduğundan h + 1 > 1, dolayısıyla k > 0 olur.
- Alt ve üst sınırları birleştirerek derinliğin değer aralığını (0, 6] yani 0 < k ≤ 6 olarak yazın.
- Modeldeki +1 terimini unutarak log_2 63 hesaplamaya çalışmak — h = 63 yerine konulduğunda log_2(63+1) = log_2 64 = 6 bulunur.
- 63 sınırında aralığı açık bırakıp (0, 6) yazmak — 'en fazla 63 birim' ifadesi h = 63 değerini kapsadığından 6 aralığa dâhildir.
Kendini kontrol et: Bulduğunuz en büyük derinlik olan 6 birim kabın 10 birimlik toplam derinliğinden küçük ve 2⁶ − 1 = 63 değerine eşit mi?
7b5 birim derinliğe inen cismin bırakıldığı h1 yüksekliği
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
log_2(h1+1)=5 ise h1+1=2⁵=32, dolayısıyla h1=31.
- Verilen: k(h₁) = 5 birim, model k(h) = log_2(h + 1). İstenen: h₁.
- log_2(h₁ + 1) = 5 denklemini yazarız.
- Logaritma tanımından h₁ + 1 = 2⁵ = 32 olur.
- h₁ = 32 − 1 = 31 birim. Kontrol: log_2 32 = 5.
- 5 sayısını h yerine yazıp log_2(5+1) hesaplamak — 5 bırakılma yüksekliği değil inilen derinlik k(h₁) değeridir.
- log_2(h₁+1) = 5 denkleminde 2⁵ yerine 5² = 25 yazmak — taban 2 olduğundan üstel biçim 2⁵ = 32 olmalıdır.
Kendini kontrol et: Bulduğunuz h₁ = 31 değerini k(h) = log_2(h+1) modelinde yerine yazdığınızda log_2(31+1) = log_2 32 = 5 çıkıyor mu?