Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 297
Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 297 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
8.ag(x)=log2(mx+n) fonksiyonunun tanım kümesinin (-n/m, sonsuz) olduğunu ispatlama
Çözüm Yolu
Logaritmanın tabanı pozitif olduğundan argüman pozitif olmalıdır. mx+n>0 ve m>0 olduğundan x>-n/m bulunur; tanım kümesi (-n/m, ∞) olur.
- Verilen: g(x)=log2(mx+n), m>0. İspatlanacak: tanım kümesi (-n/m, ∞).
- Logaritmanın tanımlı olması için içindeki ifade pozitif olmalıdır: mx+n>0.
- Eşitsizlikten mx>-n elde edilir.
- m pozitif olduğundan iki tarafı m'ye bölünce yön değişmez: x>-n/m.
- Böylece g fonksiyonunun tanım kümesi (-n/m, ∞) açık aralığı olarak ispatlanır.
- mx+n≥0 alıp uç noktayı kümeye dâhil etmek — logaritma sıfırda tanımsız olduğundan aralık (-n/m, ∞) açık olmalıdır.
- n'yi karşıya geçirirken işareti değiştirmeyip x>n/m bulmak — mx+n>0 eşitsizliğinde +n karşıya -n olarak geçer.
Kendini kontrol et: x=-n/m değerini mx+n ifadesinde yerine koyduğunda sıfır çıktığını ve daha büyük x değerleri için ifadenin pozitif olduğunu doğrula.
8.bg(x)=log2(mx+n) fonksiyonunun tersinin (2^x-n)/m olduğunu doğrulama
Çözüm Yolu
y=log2(mx+n) denkleminde 2^y=mx+n olur, buradan x=(2^y-n)/m bulunur. x ile y yer değiştirince ters fonksiyon elde edilir; grafikler y=x'e göre simetriktir.
- Verilen: g(x)=log2(mx+n), m≠0. Amaç: tersinin (2^x-n)/m olduğunu göstermek.
- y=log2(mx+n) yazıp logaritmayı üstel biçime çeviririz: 2^y=mx+n.
- x'i yalnız bırakırız: mx=2^y-n, buradan x=(2^y-n)/m.
- x ile y'nin yerini değiştiririz: g⁻¹(x)=(2^x-n)/m.
- Kontrol: g, g⁻¹ ve y=x birlikte çizilince g ile g⁻¹ grafikleri y=x doğrusuna göre simetrik görünür.
- m≠0 ve n sürgüleri değiştirildiğinde de y=x doğrusuna göre simetrinin korunduğu gözlemlenir.
- 2^x-n ifadesinde yalnız 2^x terimini m'ye bölmek — mx=2^y-n eşitliğinde tüm sağ taraf m'ye bölünerek (2^x-n)/m yazılmalıdır.
- Simetri eksenini x veya y ekseni sanmak — bir fonksiyon ile tersinin grafiği daima y=x doğrusuna göre simetriktir.
Kendini kontrol et: Bileşke kontrolüyle g(g⁻¹(x))=log2(m·((2^x-n)/m)+n)=log2(2^x)=x eşitliğinin sağlandığını doğrula.
8.b.5Sürgülerle m ve n değerlerini değiştirerek grafikteki değişimleri gözlemleme
Bu madde dinleme, deney veya kişisel yorum etkinliğidir. Tek bir doğru cevabı yoktur; cevabı kitaptaki yönergeye göre kendiniz oluşturursunuz.
9g(x)=log2(3x-6) modeline göre cihazın tepki vereceği uyarı şiddeti aralığını bulma
Çözüm Yolu
Model ancak argüman pozitifken tanımlıdır. 3x-6>0 olduğundan x>2 bulunur. Cihaz 2 volttan büyük uyarılara tepki verir.
- Verilen: g(x)=log2(3x-6), x uyarı şiddeti (volt). İstenen: g'nin tanımlı olduğu x aralığı.
- Logaritma yalnız pozitif sayılar için tanımlıdır, bu yüzden 3x-6>0 olmalıdır.
- 3x>6 eşitsizliğinden x>2 bulunur.
- Dolayısıyla cihazın tepki vereceği uyarı şiddeti aralığı (2, ∞) volt olur.
- 3x-6≥0 yazarak 2 volt değerini aralığa katmak — x=2 için log2(0) tanımsız olduğundan 2 açık uç olmalıdır.
Kendini kontrol et: x=2 için iç ifadenin 0, x=3 gibi 2'den büyük bir değer için 3·3-6=3>0 olduğunu kontrol et.