Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 302
Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 302 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
2f(x)=log_a(bx+c) grafiğinden a+b-c değerini hesaplama
Çözüm Yolu
Asimptot x=-1 olduğundan bx+c=0 için x=-1, c=b. Grafik (0,0)'dan geçer: log_a(c)=0, c=1, b=1. (9,1) noktası: log_a(10)=1, a=10. Sonuç 10+1-1=10.
- Grafikten: düşey asimptot x=-1, grafik (0,0) ve (9,1) noktalarından geçiyor. İstenen: a+b-c.
- Asimptotta bx+c=0 olur; x=-1 için -b+c=0, yani c=b.
- (0,0) noktası: loga(c)=0 olduğundan c=1, dolayısıyla b=1.
- (9,1) noktası: loga(9+1)=1 olduğundan a=10.
- Bulunan değerler yerine yazılırsa a+b-c = 10+1-1 = 10 elde edilir.
- Düşey asimptotu doğrudan c=-1 sanmak — asimptot logaritma içini sıfırlayan bx+c=0 kökünden (x=-1) bulunur.
- Son adımda a+b+c hesaplamak — soruda a+b-c istendiğinden çıkarma işaretine dikkat edilmelidir.
Kendini kontrol et: f(x)=log_10(x+1) fonksiyonunda x=-1 asimptotunu, f(0)=0 ve f(9)=1 eşitliklerini kontrol et.
3log_5 2=m ve log_5 3=n iken log_5 288'i m ve n türünden yazma
Çözüm Yolu
288=2⁵·3² olduğundan log_5 288 = 5·log_5 2 + 2·log_5 3 = 5m+2n.
- Verilen: log5 2=m, log5 3=n. İstenen: log5 288.
- 288'i asal çarpanlarına ayırırız: 288=2⁵·3².
- Çarpım ve üs kuralıyla log5 288=5·log5 2+2·log5 3 yazılır.
- log5 2=m ve log5 3=n eşitlikleri yerine yazılırsa sonuç 5m+2n bulunur.
- 288 sayısını asal çarpanlarına yanlış ayırmak — 32·9=288 olduğundan 2⁵·3² biçiminde yazılmalıdır.
- Çarpımın logaritmasını çarpım olarak dağıtmak — log5(2⁵·3²) ifadesi çarpıma değil toplama dönüşür.
Kendini kontrol et: 5^(5m+2n) = (5^m)⁵·(5^n)² = 2⁵·3² = 32·9 = 288 eşitliği sağlanıyor mu?
4Taban zincirleme logaritma çarpımının 2'ye eşitliğinden n'yi bulma
Çözüm Yolu
Çarpım taban değiştirme kuralıyla sadeleşir: log_6 (n+3)=2. Buradan n+3=36 ve n=33; n=3k koşulunu sağlar (k=11).
- Verilen: log6 9·log9 12·log12 15·…·logn(n+3)=2, n=3k. İstenen: n.
- Taban değiştirme kuralıyla ardışık çarpımda ara terimler sadeleşir; çarpım log6(n+3) olur.
- log6(n+3)=2 ise n+3=6²=36 bulunur.
- n=33 olur; 33=3·11 olduğundan n=3k koşulu sağlanır.
- Sadeleştirme sonunda log6(n)=2 yazmak — son çarpanın içi n+3 olduğundan geriye log6(n+3) kalır.
- log6(n+3)=2 denkleminde n+3=12 almak — üstel biçime geçerken 6·2 değil 6²=36 hesaplanmalıdır.
Kendini kontrol et: n=33 için sadeleşen çarpım log6(36)=2 sonucunu veriyor ve 33 sayısı 3'ün tam katı oluyor mu?
5f(x)=2·log_5(x-1) grafiği için I, II, III, IV ifadelerinden doğru olanları bulma
Çözüm Yolu
I: tanım kümesi (1,∞) doğru. II: taban 5>1 olduğundan f artan, yanlış. III: 2log_5(m-1)=4 ise m=26, doğru. IV: f(6/5)=-2, f⁻¹(2)=6, toplam 4, doğru.
- I. öncül: Logaritmanın içi pozitif olmalıdır; x-1>0 eşitsizliğinden tanım kümesi (1,∞) bulunur (Doğru).
- II. öncül: Taban 5>1 ve katsayı 2>0 olduğundan (grafikte de görüldüğü gibi) f artandır (Yanlış).
- III. öncül: Grafikteki (m,4) noktasından 2·log_5(m-1)=4, log_5(m-1)=2, m-1=25 ve m=26 bulunur (Doğru).
- IV. öncül: f(6/5)=2·log_5(1/5)=-2 ve grafikteki (6,2) noktasından f⁻¹(2)=6 olup toplam -2+6=4 olur (Doğru).
- Sonuç olarak I, III ve IV numaralı ifadeler doğrudur.
- III. öncülde 2 katsayısını unutup log_5(m-1)=4 çözmek — önce iki taraf 2'ye bölünüp log_5(m-1)=2 yazılmalıdır.
- f⁻¹(2) değerini bulurken x yerine 2 yazmak — ters fonksiyonda f(x)=2 yapan x=6 değeri aranır.
Kendini kontrol et: m=26 için f(26)=2·log_5(25)=4 ve x=6 için f(6)=2·log_5(5)=2 eşitlikleri grafikteki noktaları sağlıyor mu?
6Kenarları log8 ve log243 olan kartonu log√2 ve log√3 kenarlı etiketlerle kaplamak için gereken etiket sayısı
Çözüm Yolu
log8=3log2, log√2=(1/2)log2: boyda 6 etiket. log243=5log3, log√3=(1/2)log3: enine 10 etiket. Toplam 6·10=60.
- Verilen: karton log8 × log243, etiket log√2 × log√3. İstenen: etiket sayısı.
- log8=3·log2 ve log√2=(1/2)·log2 olduğundan bir kenara 3÷(1/2)=6 etiket sığar.
- log243=5·log3 ve log√3=(1/2)·log3 olduğundan diğer kenara 5÷(1/2)=10 etiket sığar.
- Toplam etiket sayısı 6·10=60 adettir.
- log√2 ifadesini 2·log2 olarak yazmak — √2=2^(1/2) olduğundan üs başa 1/2 çarpanı olarak gelir.
- log8 / log√2 oranını log(8/√2) sanmak — iki logaritmanın oranı bölmenin logaritmasına eşit değildir, üs kuralıyla sadeleştirilir.
Kendini kontrol et: 6·log√2 = log((√2)⁶) = log8 ve 10·log√3 = log((√3)¹⁰) = log243 eşitlikleriyle kenarlar tam doluyor mu?