Kitavuz

Hızlı Sayfa Bul

Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 315

Sayfa 315 7 Çözümlü Madde

Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 315 Cevapları

← Sayfa 314Tüm SayfalarSayfa 316 →
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok

Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?

Tüm cevaplar ve mevcut çözüm rehberleri ücretsiz. Önce dene; sonra ilk adımı, cevabı ve çözüm yolunu aç.

4Maliyeti yılda %10 azaltan şirketin maliyeti 729 TL'nin altına düşüreceği en az yıl

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
4 yıl
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

Maliyet 1000·0,9^n. n=3'te tam 729 olur, altına düşmesi için n=4 gerekir.

  1. Maliyet her yıl %10 azaldığından her yıl 0,9 ile çarpılır; n yıl sonra 1000·0,9^n TL olur.
  2. n = 1: 900, n = 2: 810, n = 3: 729 TL bulunur.
  3. 3 yıl sonra maliyet tam 729 TL olur, altına düşmez.
  4. n = 4 için 1000·0,9⁴ = 656,1 TL < 729; en az 4 yıl gerekir.
Sık yapılan hatalar
  • 1000·(0,9)³=729 eşitliğini görüp 3 yıl almak — 729 TL'nin altına düşmesi istendiğinden sıkı eşitsizlik (<729) gerekir.
  • Her yıl sabit 100 TL çıkararak doğrusal azaltmak — %10 indirim her yıl bir önceki yılın maliyeti üzerinden uygulanır.

Kendini kontrol et: 3. yıl sonunda maliyetin tam 729 TL olduğunu, 729'un altına ilk kez 4. yılda (656,1 TL) indiğini kontrol et.

5a(2/3)^(3x-1) < (9/4)^(x+3) eşitsizliğinin çözüm kümesi

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
(-1, ∞)
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

9/4=(2/3)^(-2). Taban 1'den küçük olduğundan eşitsizlik yön değiştirir.

  1. Tabanları eşitle: 9/4 = (2/3)^(−2), yani sağ taraf (2/3)^(−2x−6) olur.
  2. Eşitsizlik (2/3)^(3x−1) < (2/3)^(−2x−6) biçimine gelir.
  3. Taban 2/3 < 1 olduğundan fonksiyon azalandır; üsler karşılaştırılırken eşitsizlik yön değiştirir: 3x − 1 > −2x − 6.
  4. 5x > −5, buradan x > −1 bulunur.
  5. Çözüm kümesi (−1, ∞) olur. Kontrol: x = 0 için (2/3)^(−1) = 1,5 < (9/4)³ doğrudur.
Sık yapılan hatalar
  • Taban 2/3 < 1 olduğu hâlde eşitsizliğin yönünü değiştirmemek — taban 0 ile 1 arasındaysa üsler karşılaştırılırken yön ters çevrilir.
  • -2 ile (x+3) çarpılırken dağılma özelliğini eksik uygulayıp -2x+3 yazmak — parantezin tamamı -2 ile çarpılarak -2x-6 bulunmalıdır.

Kendini kontrol et: Çözüm kümesinden x=0 seçip (2/3)^(-1)=3/2 ile (9/4)³=729/64 değerlerini karşılaştırarak eşitsizliğin sağlandığını doğrula.

5blog3(log2(x-1)) < 1 eşitsizliğinin çözüm kümesi

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
(2, 9)
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

İç ifade pozitif olmalı ve 3'ten küçük olmalı: 0<log2(x-1)<3.

  1. Dış logaritma için log_2(x - 1) > 0 olmalı; taban 2 > 1 olduğundan x - 1 > 1, yani x > 2.
  2. Taban 3 > 1 olduğundan log_3(log_2(x - 1)) < 1 ise log_2(x - 1) < 3 olur.
  3. log_2(x - 1) < 3 ise x - 1 < 8, yani x < 9.
  4. İki koşul birlikte 2 < x < 9; çözüm kümesi (2, 9).
Sık yapılan hatalar
  • Yalnızca x-1>0 koşulunu alıp alt sınırı 1 bulmak — dış logaritmanın içi olan log_2(x-1) de pozitif olmalı, yani x>2 sağlanmalıdır.
  • log_3(...)<1 ifadesini çözerken sağ tarafı 3¹ yerine 1 almak — log_a(u)<1 eşitsizliğinde u<a¹ yazılır.

Kendini kontrol et: Aralıktan x=3 seçerek log_3(log_2 2)=log_3 1=0<1 olduğunu ve x=2 için dış logaritmanın tanımsız kaldığını kontrol et.

6|AB|=3, |AC|=6, |BC|=2^x olan üçgende x'in tam sayı değerlerinin toplamı

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
5
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

Üçgen eşitsizliği: 6-3<2^x<6+3, yani 3<2^x<9. x, log2 3≈1,58 ile log2 9≈3,17 arasında; tam sayılar 2 ve 3.

  1. Üçgen eşitsizliğine göre |BC| uzunluğu 6 - 3 ile 6 + 3 arasında olmalıdır.
  2. Buna göre 3 < 2^x < 9 olur.
  3. 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16 olduğundan uygun tam sayılar x = 2 ve x = 3'tür.
  4. Tam sayı değerlerinin toplamı 2 + 3 = 5.
Sık yapılan hatalar
  • Üçgen eşitsizliğinde eşitlik alıp 3 ≤ 2^x ≤ 9 yazmak — üçgende kenar uzunluğu farktan kesin büyük, toplamdan kesin küçüktür.
  • 2^x yerine kenarın alabileceği tam sayıları (4, 5, 6, 7, 8) toplamak — soru kenarı değil x'in tam sayı değerlerini sormaktadır.

Kendini kontrol et: x=2 için kenarların (3, 4, 6) ve x=3 için (3, 8, 6) üçgen eşitsizliğini sağladığını kontrol et.

73^(log_x 8) · 2^(log_x 3) = 9 denkleminin çözüm kümesi

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
{4}
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

a^(log b)=b^(log a) özelliğiyle 3^(log_x 8)=2^(3·log_x 3). Çarpım 2^(4·log_x 3)=9 olur; çözünce x=4.

  1. Tanım için x > 0 ve x ≠ 1 olmalıdır.
  2. a^(log_x b) = b^(log_x a) özelliğiyle 3^(log_x 8) = 8^(log_x 3) = 2^(3·log_x 3) olur.
  3. Çarpım 2^(3·log_x 3)·2^(log_x 3) = 2^(4·log_x 3) = 16^(log_x 3) = 3^(log_x 16) olur.
  4. 3^(log_x 16) = 9 = 3² ise log_x 16 = 2, yani x² = 16.
  5. x > 0 olduğundan x = 4; çözüm kümesi {4}.
Sık yapılan hatalar
  • x²=16 denkleminden x=-4 değerini de çözüm kümesine katmak — logaritma tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.
  • Tabanları farklı olan 3^(log_x 8) ile 2^(log_x 3) ifadelerinin tabanlarını doğrudan çarpmak — önce taban değiştirme özelliğiyle üslü tabanlar eşitlenmelidir.

Kendini kontrol et: x=4 değerini denklemde yerine koyup 3^(3/2)·2^(log_4 3) = 3^(3/2)·3^(1/2) = 3² = 9 eşitliğini doğrula.

8f(x)=log4(x²+12x+m) her x için tanımlı ise m'nin en küçük tam sayı değeri

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
37
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

x²+12x+m>0 her x için olmalı; diskriminant negatif: 144-4m<0, m>36.

  1. f'nin her x için tanımlı olması için x² + 12x + m > 0 her x için sağlanmalıdır.
  2. Baş katsayı pozitif olduğundan bu, diskriminantın negatif olmasıyla mümkündür: 12² - 4m < 0.
  3. 144 - 4m < 0 ise m > 36 bulunur.
  4. m'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri 37'dir.
Sık yapılan hatalar
  • Δ≤0 alıp m=36 bulmak — m=36 iken x=-6 için logaritmanın içi 0 olur ve fonksiyon tanımsız kalır.
  • Diskriminantı pozitif (Δ>0) almak — ikinci dereceden ifadenin daima pozitif kalması için gerçek kökü olmamalı, yani Δ<0 olmalıdır.

Kendini kontrol et: İfadeyi tam kareye tamamlayarak (x+6)² + (m-36) biçiminde yaz ve m=37 için en küçük değerin 1>0 olduğunu doğrula.

9f(x)=log7(-4x²+4x+15) fonksiyonunun tanım aralığı

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
(-3/2, 5/2)
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

-4x²+4x+15>0 yani 4x²-4x-15<0. Kökler -3/2 ve 5/2; kökler arasında ifade pozitiftir.

  1. Logaritmanın tanımlı olması için -4x² + 4x + 15 > 0 olmalıdır.
  2. Her tarafı -1 ile çarpınca yön değişir: 4x² - 4x - 15 < 0.
  3. 4x² - 4x - 15 = (2x + 3)(2x - 5) olduğundan kökler -3/2 ve 5/2'dir.
  4. Baş katsayı pozitif olduğundan ifade kökler arasında negatiftir; tanım aralığı (-3/2, 5/2).
Sık yapılan hatalar
  • Eşitsizliği -1 ile çarparken yön değiştirmeyi unutup köklerin dışını almak — negatif sayıyla çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir.
  • Uç noktaları köşeli parantezle [-3/2, 5/2] biçiminde dahil etmek — köklerde logaritmanın içi sıfır olduğundan uç noktalar tanımsızdır.

Kendini kontrol et: Aralık içinden x=0 seçip -4(0)²+4(0)+15=15>0 sağlandığını, uç noktalarda ise ifadenin 0 olduğunu kontrol et.