Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 316
Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 316 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
1aGerçek parlaklığı 1000 lümen olan yıldızın görünen parlaklığı
Çözüm Yolu
B=3logA-2'de A=1000 yazılır.
- Verilen: A = 1000 lümen ve B = 3logA − 2. İstenen: B.
- log1000 = log10³ = 3 olarak bulunur.
- B = 3·3 − 2 = 9 − 2 = 7 hesaplanır.
- Yıldızın görünen parlaklığı 7 lümendir.
- A yerine B'ye 1000 yazmak — A gerçek parlaklık, B ise görünen parlaklıktır; verilen 1000 lümen A yerine yazılmalıdır.
- log1000 değerini 4 veya 10 almak — 1000 = 10³ olduğundan 10 tabanında log1000 = 3'tür.
Kendini kontrol et: B = 7 için 3logA − 2 = 7 denkleminden logA = 3 ve A = 10³ = 1000 çıkıyor mu kontrol et.
1bGerçek parlaklığı 810 lümen olan yıldızın yaklaşık görünen parlaklığı
Çözüm Yolu
log810=log81+log10=4log3+1≈1,88+1=2,88; B=3·2,88-2.
- Verilen: A = 810 lümen, B = 3logA − 2 ve log3 ≈ 0,47. İstenen: B.
- 810 = 81·10 = 3⁴·10 olduğundan log810 = 4log3 + log10 yazılır.
- log810 ≈ 4·0,47 + 1 = 1,88 + 1 = 2,88 bulunur.
- B = 3·2,88 − 2 = 8,64 − 2 = 6,64 hesaplanır.
- Yıldızın görünen parlaklığı yaklaşık 6,64 lümendir.
- log810 = 4log3 yazıp +1 terimini unutmak — 810 = 3⁴·10 olduğundan çarpımın logaritmasından log10 = 1 eklenmelidir.
- B = 3(logA − 2) şeklinde parantezli hesaplamak — işlem önceliği gereği 3 yalnızca logA ile çarpılır.
Kendini kontrol et: 810 sayısı 100 ile 1000 arasında olduğundan log810 değerinin 2 ile 3 arasında (2,88) çıktığını doğrula.
1cGörünen parlaklığı 2,5 lümen olan yıldızın gerçek parlaklığı
Çözüm Yolu
2,5=3logA-2 denkleminden logA=1,5.
- Verilen: B = 2,5 lümen ve B = 3logA − 2. İstenen: A.
- Denklem kurulur: 2,5 = 3logA − 2, yani 3logA = 4,5.
- logA = 1,5 bulunur.
- A = 10¹,5 = 10√10 ≈ 31,6 lümendir.
- 2,5 değerini B yerine A'ya yazmak — soruda görünen parlaklık verildiği için B = 2,5 alınmalı ve A bulunmalıdır.
- logA = 1,5 eşitliğinden A = 15 bulmak — onluk logaritma tanımı gereği A = 10^(1,5) = 10√10 olur.
Kendini kontrol et: A = 10^(1,5) değerini bağıntıda yerine yazıp 3·1,5 − 2 = 2,5 elde edildiğini kontrol et.
2aYarılanma süresi 6 yıl, başlangıç 32 kg; 24 yıl sonra kalan miktar
Çözüm Yolu
A=32·(1/2)^(24/6)=32·(1/2)⁴.
- Verilen: A₀ = 32 kg, h = 6 yıl, t = 24 yıl. İstenen: A(24).
- Üs hesaplanır: t/h = 24/6 = 4.
- A(24) = 32·(1/2)⁴ = 32/16 bulunur.
- 24 yıl sonra 2 kg madde kalır. Kontrol: 32 → 16 → 8 → 4 → 2.
- Üssü h/t = 6/24 almak — formülde üs geçen sürenin yarılanma süresine oranıdır (t/h = 24/6 = 4).
- (1/2)⁴ değerini 1/8 hesaplamak — 2⁴ = 16 olduğundan (1/2)⁴ = 1/16 olur ve 32/16 = 2 bulunur.
Kendini kontrol et: Her 6 yılda miktarı yarıya indirerek 4 yarılanma uygula: 32 → 16 → 8 → 4 → 2 kg.
2bYarılanma süresi 5 yıl, 40 kg'dan 30 kg kalması için geçen yaklaşık süre
Çözüm Yolu
30=40·(1/2)^(t/5) ise (1/2)^(t/5)=3/4; t/5=log2(4/3)=2-log2 3≈0,42.
- Verilen: A₀ = 40 kg, h = 5 yıl, A(t) = 30 kg, log₂3 ≈ 1,58. İstenen: t.
- Formül: 30 = 40·(1/2)^(t/5), buradan (1/2)^(t/5) = 3/4 olur.
- Eşdeğer olarak 2^(t/5) = 4/3, yani t/5 = log₂(4/3) = 2 − log₂3.
- t/5 ≈ 2 − 1,58 = 0,42 bulunur.
- t ≈ 5·0,42 = 2,1; yaklaşık 2,1 yıl sonra 30 kg kalır.
- Tabanı 1/2 iken t/5 = log₂(3/4) yazmak — (1/2)^(t/5) = 3/4 eşitliği 2^(t/5) = 4/3 olduğundan log₂(4/3) alınmalıdır.
- t/5 ≈ 0,42 bulduktan sonra 5 ile çarpmayı unutmak — bulunan 0,42 değeri t/5 oranıdır; t ≈ 2,1 yıldır.
Kendini kontrol et: 5 yılda madde 20 kg'a düşeceğinden 30 kg kalma süresinin 0 ile 5 yıl arasında (2,1 yıl) olduğunu doğrula.
2c200 kg'dan 16 yılda 50 kg kalan maddenin yarılanma süresi
Çözüm Yolu
50=200·(1/2)^(16/h) ise (1/2)^(16/h)=1/4=(1/2)².
- Verilen: A₀ = 200 kg, t = 16 yıl, A(16) = 50 kg. İstenen: yarılanma süresi h.
- Formüle yazalım: 50 = 200·(1/2)^(16/h).
- Her iki tarafı 200'e bölünce (1/2)^(16/h) = 1/4 = (1/2)² olur.
- Üsler eşitlenir: 16/h = 2, buradan h = 8 bulunur.
- Yarılanma süresi 8 yıldır. Kontrol: 200 → 100 → 50 kg, iki yarılanma 16 yıl.
- Azalan miktar olan 150 kg'ı A(t) yerine yazmak — formüldeki A(t) bozunan değil, kalan madde miktarıdır (50 kg).
- 200'den 50'ye inerken 4 yarılanma olduğunu sanmak — 200 → 100 → 50 geçişinde yalnızca 2 yarılanma vardır.
Kendini kontrol et: Yarılanma süresi 8 yıl alındığında 16 yılda 2 yarılanmayla 200 → 100 → 50 kg elde edildiğini kontrol et.