Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 325 Cevapları

Grafik sağa 3 birim ötelenirse x yerine x − 3 yazılır.

1. f(x)=x² grafiği x ekseni boyunca pozitif yönde (sağa) 3 birim ötelenerek g elde ediliyor.
2. Sağa k birim ötelemede f(x) ifadesinde x yerine x−k yazılır.
3. k=3 için g(x)=f(x−3)=(x−3)² bulunur; tepe noktası (0,0)'dan (3,0)'a kayar.

Kendini kontrol et: g(x)=(x−3)² fonksiyonunu sıfıra eşitlediğinde yeni tepe noktasının apsisini x=3 olarak buluyor musun?

h(−x)=h(x) olduğundan çift. f(−x)=4+2x, ne f(x) ne −f(x). g ve k'nin tanım kümesi orijine göre simetrik değil.

1. Tek-çift incelemesi için tanım kümesinin orijine göre simetrik olması ve f(−x)'in f(x) veya −f(x) çıkması gerekir.
2. f(−x)=4+2x bulunur; bu ne 4−2x'e ne de −4+2x'e eşit olduğundan f ne tek ne çifttir.
3. h(−x)=(−x)²+25=x²+25=h(x) olduğundan h çift fonksiyondur.
4. g'nin tanım kümesi [9,24), k'nin tanım kümesi [0,∞); orijine göre simetrik olmadıklarından ikisi de ne tek ne çifttir.

Kendini kontrol et: Çift bulduğun h fonksiyonunda h(−x)=h(x) eşitliğinin ve tanım kümesinin orijine göre simetrisinin sağlandığını kontrol ettin mi?

f'nin eğimi −2'dir. g'de 3x+9 arttıkça kök artar. h'nin tepe noktası x=0'dadır. k'de x büyüdükçe −18/(x+4) artar.

4−2x=0 → x=2. g ≥ 6 ve h ≥ 25 olduğundan sıfır yok. k için −18/(x+4)=−3 → x+4=6 → x=2.

1. Sıfırlar, fonksiyonun değerinin 0 olduğu x değerleridir; her fonksiyon için ifadeyi 0'a eşitliyoruz.
2. f: 4−2x=0 ⇒ x=2.
3. g'nin görüntüleri [6,9) aralığında, h'nin görüntüleri en az 25 olduğundan ikisi de 0 değerini almaz; sıfırları yok.
4. k: −18/(x+4)+3=0 ⇒ −18/(x+4)=−3 ⇒ x+4=6 ⇒ x=2 (tanım kümesinde).

Kendini kontrol et: Bulduğun x=2 değerini f(2) ve k(2) ifadelerinde yerine yazdığında ikisinin de 0 çıktığını ve tanım kümesinde olduğunu doğruladın mı?

4−2x>0 ise x<2. g ve h tanım kümelerinin her yerinde pozitiftir. k(x)>0 ise 3(x+4)>18, yani x>2.

f x>2'de negatif. g ve h hiçbir zaman negatif değil. k(0)=−3/2 ve x=2'de sıfır olduğundan [0,2)'de negatif.

1. Tablonun İşareti (−) satırı için her fonksiyonun hangi x değerlerinde negatif değer aldığını arıyoruz.
2. f(x)=4−2x < 0 eşitsizliğinden 2x > 4, yani x > 2 bulunur.
3. g(x)=√(3x+9) karekök olduğundan hiç negatif olmaz; h(x)=x²+25 ≥ 25 olduğundan h de negatif olmaz.
4. k artandır: k(0)=−18/4+3=−3/2 negatif, k(2)=−18/6+3=0. Bu yüzden k, 0 ≤ x < 2 aralığında negatiftir.

Kendini kontrol et: Negatif bulduğun aralıklardan x=3 (f için) ve x=0 (k için) seçip yerine koyduğunda sonuçların sıfırdan küçük çıktığını gördün mü?

Doğru (0,4) ve (2,0) noktalarından geçer. Eğim = (0−4)/(2−0) = −2, y kesim noktası 4.

1. Grafikten doğrunun eksenleri kestiği noktaları oku: (0, 4) ve (2, 0).
2. Eğimi hesapla: m = (0 − 4)/(2 − 0) = −2.
3. y eksenini kestiği nokta 4 olduğundan doğru g(x) = mx + 4 biçimindedir.
4. Bulunan m = −2 eğimi yerine yazılırsa g(x) = −2x + 4 elde edilir.

Kendini kontrol et: Bulduğun g(x)=−2x+4 denkleminde x=0 için 4 ve x=2 için 0 değerlerini elde ediyor musun?

g(3) = −2. g⁻¹(5) için −2x+4=5 → x=−1/2. Toplam −2 − 1/2 = −5/2.

1. g doğrusu grafikte (0,4) ve (2,0) noktalarından geçiyor.
2. Eğim (0−4)/(2−0)=−2, y-kesişimi 4 olduğundan g(x)=−2x+4.
3. g(3)=−2·3+4=−2 bulunur.
4. g⁻¹(5) için g(x)=5 çözülür: −2x+4=5 ⇒ x=−1/2.
5. Toplam: g(3)+g⁻¹(5)=−2+(−1/2)=−5/2.

Kendini kontrol et: Bulduğun x=−1/2 değerini g(x)=−2x+4'te yerine koyduğunda g(−1/2)=5 eşitliği sağlanıyor mu?

Aşağı 1 birim öteleme için g(x)'ten 1 çıkarılır.

1. g(x)=(x−3)² grafiği y ekseni boyunca negatif yönde (aşağı) 1 birim ötelenerek h elde ediliyor.
2. Aşağı k birim ötelemede fonksiyonun değerinden k çıkarılır: h(x)=g(x)−1.
3. g(x)=(x−3)² yerine yazılırsa h(x)=(x−3)²−1 cebirsel ifadesi elde edilir.

Kendini kontrol et: h(3) değerini hesapladığında tepe noktasının (3, 0)'dan 1 birim aşağı kayarak (3, −1) olduğunu görüyor musun?

y = x² parabolü g için sağa 3, h için ayrıca aşağı 1 birim kaydırılarak çizilir. h, g'nin 1 birim altındadır.

1. f(x)=x² referans parabolünün tepe noktası (0, 0) olup kolları yukarı bakar.
2. g(x)=(x−3)² için tepe noktasını sağa 3 birim taşıyıp (3, 0) noktasında x eksenine teğet yukarı açılan parabol çiz.
3. h(x)=(x−3)²−1 için g'yi 1 birim aşağı kaydır; tepe noktası (3, −1), eksen kesim noktaları (2, 0) ve (4, 0) olur.
4. Her iki parabolü x=3 simetri eksenine göre simetrik ve h eğrisi g'nin 1 birim altında kalacak biçimde çiz.

Kendini kontrol et: Çizdiğin h parabolü (2, 0), (3, −1) ve (4, 0) noktalarından, g parabolü ise (2, 1), (3, 0) ve (4, 1) noktalarından geçiyor mu?

Tanım kümeleri tablo başlığında verilmiştir; g'nin tanım kümesi sağdan açıktır, 24 dahil değildir.

g(9)=6 alınır, x=24 tanımlı olmadığından 9 alınmaz. h=x²+25≥25. k(0)=−3/2, k değerleri 3'e yaklaşır ama ulaşmaz.

f doğrusal, g ve k tanım kümelerinde artan olduğundan bire bir. h(−1)=h(1) olduğundan bire bir değil.

1. Bire bir olma: farklı x değerleri farklı görüntülere gitmeli; her fonksiyonu bu açıdan inceliyoruz.
2. f(x)=4−2x doğrusal ve eğimi sıfırdan farklı (−2); azalan olduğundan bire birdir.
3. g(x)=√(3x+9) ve k(x)=−18/(x+4)+3 tanım kümelerinde sürekli artan olduğundan bire birdir.
4. h(x)=x²+25 için h(−1)=h(1)=26; farklı iki x aynı görüntüyü verdiğinden h bire bir değildir.

Kendini kontrol et: Bire bir olmadığını söylediğin h fonksiyonu için tanım kümesinden aynı görüntüyü veren iki farklı x değeri gösterebiliyor musun?

Görüntü kümesi değer kümesine eşitse örtendir. h'de [25,∞) ≠ ℝ; k'de [−3/2,3) ≠ [−3/2,∞).

1. Örtenlik için her fonksiyonun görüntü kümesini bulup değer kümesiyle karşılaştırıyoruz.
2. f(x)=4−2x doğrusal olduğundan tüm gerçek sayıları alır; görüntü kümesi ℝ, değer kümesine eşit: örten.
3. g artan: g(9)=√36=6, g(24)=√81=9; görüntü kümesi [6,9) değer kümesine eşit: örten.
4. h(x)=x²+25 ≥ 25 olduğundan görüntü kümesi [25,∞) ≠ ℝ: örten değil.
5. k artan: k(0)=−3/2, x büyüdükçe k(x) 3'e yaklaşır ama ulaşmaz; görüntü [−3/2,3) ≠ [−3/2,∞): örten değil.

Kendini kontrol et: Her fonksiyon için bulduğun görüntü kümesi, tablo başlığındaki okun sağında verilen değer kümesiyle bire bir aynı mı?

g artandır fakat 24 tanım kümesinde olmadığından değerleri 9'a yaklaşır, ulaşmaz. k de 3'e ulaşmaz; f ve h yukarı sınırsızdır.

Artan g ve k'de en küçük değer x'in en küçük olduğu noktadadır. h'nin tepe noktası (0,25).

1. Her fonksiyonun aldığı en küçük değeri ve bu değeri aldığı x noktasını arıyoruz.
2. f(x)=4−2x tüm ℝ'de azalır ve alttan sınırsızdır; minimum noktası yoktur.
3. g artan ve tanım kümesi 9'u içerir: en küçük değer g(9)=√36=6, yani x=9'da 6.
4. h(x)=x²+25'te x²'nin en küçük değeri 0 olduğundan minimum x=0'da h(0)=25'tir.
5. k artan ve tanım kümesi 0'dan başlar: k(0)=−18/4+3=−3/2. Sonuç: g(9)=6, h(0)=25, k(0)=−3/2, f'de yok.

Kendini kontrol et: Minimum bulduğun x=9 ve x=0 değerlerinin ilgili fonksiyonların tanım kümelerine kapalı uç olarak dâhil olduğunu doğruladın mı?