Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 326
Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 326 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
6aFidanların 20. gündeki boy uzunluğu
Çözüm Yolu
x=20 için açı π/3 + 3π/2 = 11π/6, sin(11π/6) = −1/2. f(20) = 30·(−1/2) + 70 = 55.
- f(x)=30·sin(πx/60+3π/2)+70 modelinde x=20 yazılır.
- Açı: π·20/60+3π/2=π/3+3π/2=11π/6.
- sin(11π/6)=−sin(π/6)=−1/2.
- f(20)=30·(−1/2)+70=−15+70=55; boy 55 cm olur.
- sin(11π/6) değerini +1/2 almak — 11π/6 açısı 4. bölgededir ve 4. bölgede sinüs negatiftir (−1/2).
- π·20/60+3π/2 toplamasında payda eşitlemeden açıyı yanlış bulmak — π/3+3π/2=2π/6+9π/6=11π/6 olmalıdır.
Kendini kontrol et: Bulduğun 55 cm değeri, sinüsün [−1, 1] aralığına göre olası boy aralığı olan [40, 100] cm içinde kalıyor mu?
6bFidanların boy uzunluklarının değiştiği aralık
Çözüm Yolu
x∈[0,60] için açı 3π/2'den 5π/2'ye gider, sin −1'den 1'e değişir. En küçük 30·(−1)+70 = 40, en büyük 30·1+70 = 100.
- f(x)=30·sin(πx/60+3π/2)+70 ve x, 0 ile 60 gün arasında değişiyor.
- x=0 için açı 3π/2, x=60 için açı π+3π/2=5π/2 olur.
- Açı 3π/2'den 5π/2'ye giderken sinüs −1'den 1'e kadar tüm değerleri alır.
- En küçük boy 30·(−1)+70=40 cm, en büyük boy 30·1+70=100 cm.
- Boy uzunlukları [40, 100] cm aralığında değişir.
- Sinüsün en küçük değerini 0 alıp alt sınırı 70 cm bulmak — açı 3π/2 olduğunda sin(3π/2)=−1 değerini alır.
- +70 sabitini eklemeyi unutup [−30, 30] yazmak — 30·sin(...) ifadesine modeldeki +70 eklenerek [40, 100] bulunmalıdır.
Kendini kontrol et: x=0 ve x=60 uç günlerini modelde yerine koyduğunda sırasıyla 40 cm ve 100 cm sınırlarını elde ediyor musun?
7ag ve h fonksiyonlarının cebirsel temsilleri (üstel fonksiyon ötelemeleri)
Çözüm Yolu
Sağa 2 birim öteleme x yerine x−2 yazmaktır; aşağı 2 birim öteleme ifadeden 2 çıkarmaktır.
- f(x)=3ˣ; g sağa 2 birim, h aşağı 2 birim öteleme ile elde ediliyor.
- Sağa 2 birim ötelemede x yerine x−2 yazılır: g(x)=3^(x−2).
- Aşağı 2 birim ötelemede fonksiyondan 2 çıkarılır: h(x)=3ˣ−2.
- Sağa 2 birim ötelemede 3^(x+2) yazmak — x ekseninde pozitif yönde ötelemede üste x−2 yazılır.
- h fonksiyonunu g'yi öteleyerek 3^(x−2)−2 bulmak — soruda h'nin doğrudan f(x)=3ˣ grafiği ötelenerek elde edildiği belirtilmiştir.
Kendini kontrol et: f(0)=1 noktasının sağa 2 birim ötelenince g(2)=1, aşağı 2 birim ötelenince h(0)=−1 verdiğini doğruladın mı?
7bg⁻¹ ve h⁻¹ tanım kümelerinin kesişimi A ∩ B
Çözüm Yolu
Ters fonksiyonun tanım kümesi asıl fonksiyonun görüntü kümesidir. g'nin görüntüsü (0,∞) → A=(0,∞); h'nin görüntüsü (−2,∞) → B=(−2,∞).
- g(x)=3^(x−2), h(x)=3ˣ−2; ters fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun görüntü kümesidir.
- 3^(x−2) her zaman pozitiftir; g'nin görüntü kümesi (0,∞), yani A=(0,∞).
- 3ˣ>0 olduğundan 3ˣ−2>−2; h'nin görüntü kümesi (−2,∞), yani B=(−2,∞).
- Kesişim: A∩B=(0,∞)=ℝ⁺.
- g(x)=3^(x−2) sağa ötelendiği için görüntü kümesinin de kaydığını sanmak — yatay öteleme yatay asimptotu değiştirmez, A=(0, ∞) kalır.
- Sınır değerleri 0 ve −2'yi kümeye dâhil edip [0, ∞) yazmak — 3ˣ hiçbir zaman 0 olamayacağından aralık açık olmalıdır.
Kendini kontrol et: (0, ∞) ve (−2, ∞) aralıklarını sayı doğrusunda çizdiğinde ortak bölgenin (0, ∞) olduğunu görüyor musun?