Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 339 Cevapları

Adım sayısı ve km negatif olamayacağından iki fonksiyonun tanım kümesi sıfır ve pozitif gerçek sayılardır.

1. g'nin girdisi adım sayısı, f'nin girdisi kilometredir.
2. Bu nicelikler negatif olamaz, 0 ve pozitif değerler alır.
3. İki fonksiyonun tanım kümesi [0,∞) olur.

Kendini kontrol et: Grafiklerin başladığı x=0 noktası tanım kümesine köşeli parantezle dâhil edildi mi?

Pozitif x için 50x ve 0,5x pozitiftir.

1. Pozitif işaret için f(x)>0 ve g(x)>0 aranır.
2. 50x>0 ve 0,5x>0 eşitsizlikleri x>0 verir.
3. İki fonksiyon da (0,∞) aralığında pozitiftir.

Kendini kontrol et: Aralığın sol ucunda x=0 noktasını açık parantez ile dışarıda bıraktın mı?

Tanım kümesinde negatif sayı bulunmadığından negatif değer alınmaz.

1. Negatif işaret için f(x)<0 ve g(x)<0 aranır.
2. 50x<0 ve 0,5x<0 ancak x<0 iken olur.
3. Tanım kümesinde negatif x olmadığından negatif olduğu aralık yoktur.

Kendini kontrol et: Çizdiğin grafiklerin x ekseninin altında kalan herhangi bir parçası var mı?

İki artan, bire bir ve örten fonksiyonun bileşkesi de artan, bire bir ve örtendir. Doğrudan (f∘g)(x)=25x ile de görülür.

1. Tanım ve görüntü kümeleri [0,∞) olan artan, bire bir ve örten f ile g'nin bileşkesi (f∘g)(x)=25x incelenir.
2. İki bire bir, örten ve artan fonksiyonun bileşkesi olduğundan f∘g de bire bir, örten ve artandır.
3. En küçük değer x=0'da alındığından sıfırı x=0, minimum noktası (0,0) (değeri 0) olur; üst sınır olmadığından maksimumu yoktur.
4. (0,∞) aralığında pozitif işaretlidir, negatif olduğu aralık yoktur ve tanım kümesi [0,∞) simetrik olmadığından ne tek ne çifttir.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Tanım ve görüntü kümesi [0,∞), (0,∞)'da pozitif, negatif aralığı yok, ne tek ne çift, artan, bire bir ve örtendir. (Tablo 2'deki nitel özellikleri f∘g için doğru belirten tüm çıkarımlar geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Çıkarımlarının tümü h(x)=(f∘g)(x)=25x (x≥0) ışın grafiğinin özellikleriyle bire bir örtüşüyor mu?

Bire bir fonksiyonların bileşkesi bire birdir.

1. Kabul: f ve g bire bir.
2. a≠b ise f(a)≠f(b), bu yüzden g(f(a))≠g(f(b)).
3. g∘f bire birdir (tablodaki örnek).

Kendini kontrol et: Farklı iki girdi a≠b seçtiğinde önce f(a)≠f(b), ardından g(f(a))≠g(f(b)) zorunlu olarak sağlanıyor mu?

f'nin görüntüsü g'nin çakıştığı değerleri içermiyorsa bileşke bire bir kalır; içeriyorsa değildir.

1. Kabul: f bire bir, g bire bir değil.
2. g, bazı farklı girdilere aynı değeri verir.
3. f'nin görüntüsü bu çakışan girdilerden ikisini içerirse g∘f bire bir olmaz; içermezse bire bir kalır.

Kendini kontrol et: x>0 için f(x)=x ve ℝ'de g(x)=x² örneğinde g bire bir değilken (g∘f)(x)=x² bire bir kalıyor mu?

f(a)=f(b), a≠b ise g(f(a))=g(f(b)) olur.

1. Kabul: f bire bir değil, g bire bir.
2. f bire bir olmadığından a≠b iken f(a)=f(b) olan a, b vardır.
3. O zaman g(f(a))=g(f(b)) olur; g∘f bire bir değildir.

Kendini kontrol et: f(-1)=f(1) olan f(x)=x² ve g(x)=x+1 örneğinde (g∘f)(-1)=(g∘f)(1) eşitliği oluşuyor mu?

f zaten a≠b için aynı değeri veriyorsa bileşke de aynı değeri verir.

1. Kabul: f ve g bire bir değil.
2. f için a≠b iken f(a)=f(b) olan a, b vardır.
3. Buradan g(f(a))=g(f(b)) olur; g∘f bire bir değildir.

Kendini kontrol et: f(a)=f(b) (a≠b) eşitliğinin her iki yanına g uygulandığında g(f(a))=g(f(b)) zorunlu oluyor mu?

Örten fonksiyonların bileşkesi örtendir.

1. Kabul: f ve g örten.
2. Her z için g(y)=z olan y, her y için f(x)=y olan x vardır.
3. Böylece g(f(x))=z sağlanır; g∘f örtendir.

Kendini kontrol et: Değer kümesindeki her z için g(y)=z olacak y ve f(x)=y olacak x bulunabiliyor mu?

f örten olduğundan bileşkenin görüntüsü g'nin görüntüsüdür; g örten değildir.

1. Kabul: f örten, g örten değil.
2. f örten olduğundan g∘f'nin görüntüsü g'nin görüntüsüne eşittir.
3. g'nin görüntüsü değer kümesini kaplamadığından g∘f örten değildir.

Kendini kontrol et: g'nin değer kümesinde hiçbir y için ulaşılamayan bir z elemanına g(f(x)) ile ulaşılabilir mi?

f'nin görüntüsü g'nin tüm değerlerine yetecek kadar geniş olursa örtendir, değilse değil.

1. Kabul: f örten değil, g örten.
2. g∘f'nin görüntüsü, g'nin yalnız f'nin görüntüsüne uyguladığı değerlerdir.
3. f'nin görüntüsü g'nin tüm değerlerini vermeye yetiyorsa g∘f örten olur, yetmiyorsa olmaz.

Kendini kontrol et: f:[0,∞)→ℝ, f(x)=x (örten değil) ve g:ℝ→[0,∞), g(x)=x² (örten) seçildiğinde g∘f örten oluyor mu?

Doğrusal ve artan olduklarından değerler 0'dan başlayıp sınırsız artar.

1. Tanım kümesi [0,∞) ve fonksiyonlar artandır.
2. f(0)=g(0)=0'dan başlarlar ve sınırsız büyürler.
3. Görüntü kümeleri: f için [0,∞), g için [0,∞).

Kendini kontrol et: Grafiklerin y ekseninde kapladığı değerler 0'dan başlayıp yukarı doğru sınırsız devam ediyor mu?

Bileşkenin görüntüsü g'nin görüntüsünün alt kümesidir; g örten değil.

1. Kabul: f ve g örten değil.
2. g∘f'nin her değeri g'nin bir değeridir; görüntüsü g'nin görüntüsünün alt kümesidir.
3. g'nin görüntüsü değer kümesini kaplamadığından g∘f de örten değildir.

Kendini kontrol et: g fonksiyonunun bile ulaşamadığı değer kümesi elemanlarına g(f(x)) ile ulaşmak mümkün mü?

Yatay doğru grafikleri bir noktada keser; farklı x'ler farklı değer verir.

1. Bire birlik için yatay doğru testi uygulanır.
2. f ve g grafikleri eğimi pozitif ışınlardır; her yatay doğru en çok bir noktada keser.
3. Farklı x'ler farklı değer verdiğinden ikisi de bire birdir.

Kendini kontrol et: x eksenine paralel çizdiğin herhangi bir doğru f ve g grafiklerini en fazla bir noktada mı kesiyor?

Görüntü kümesi değer kümesine eşit alındığında her ikisi de örtendir.

1. Örtenlik için görüntü kümesi değer kümesine eşit olmalıdır.
2. f ve g'nin görüntü kümesi [0,∞) bulunmuştu.
3. Değer kümesi [0,∞) alınırsa ikisi de örtendir.

Kendini kontrol et: [0,∞) değer kümesinde karşılığı olmayan açıkta bir y değeri kalıyor mu?

Fonksiyonlar sınırsız artar, en büyük değer yoktur.

1. f ve g artan ve tanım kümesi [0,∞) sınırsızdır.
2. x büyüdükçe değerler sınırsız artar.
3. En büyük değer olmadığından maksimum noktası yoktur.

Kendini kontrol et: Hangi x değerini seçersen seç x+1 için daha büyük bir fonksiyon değeri bulabiliyor musun?

x=0 iken f(0)=g(0)=0 en küçük değerdir.

1. f ve g artan, tanım kümesi 0'dan başlar.
2. En küçük değer en küçük x=0'da alınır: f(0)=g(0)=0.
3. Minimum noktası (0,0), minimum değeri 0'dır.

Kendini kontrol et: Tanım kümesindeki tüm x≥0 değerleri için f(x)≥0 ve g(x)≥0 eşitsizlikleri sağlanıyor mu?

Tanım kümesi [0,∞) orijine göre simetrik olmadığından tek/çift denmez. Tanım kümesi ℝ olsaydı ikisi tek olurdu.

1. Teklik-çiftlik için tanım kümesi orijine göre simetrik olmalıdır.
2. f ve g'nin tanım kümesi [0,∞) simetrik değildir.
3. Bu yüzden ikisi de ne tek ne çifttir (tanım kümesi ℝ olsaydı tek olurlardı).

Kendini kontrol et: Tanım kümesi olan [0,∞) aralığında pozitif bir sayının eksilisi yer alıyor mu?

Eğimler pozitif olduğundan x büyürken değerler büyür.

1. f(x)=50x ve g(x)=0,5x grafiklerine bakılır.
2. İkisinin de eğimi pozitif (50 ve 0,5).
3. x büyüdükçe değerler büyüdüğünden f ve g artandır.

Kendini kontrol et: x₁<x₂ olacak şekilde seçtiğin iki değer için f(x₁)<f(x₂) ve g(x₁)<g(x₂) sağlanıyor mu?

50x=0 ve 0,5x=0 denklemleri x=0 verir.

1. Sıfır, fonksiyon değerinin 0 olduğu x değeridir.
2. 50x=0 ve 0,5x=0 denklemleri çözülür.
3. İki fonksiyonun da sıfırı x=0 olur; grafikler orijinden geçer.

Kendini kontrol et: x=0 değerini f ve g kurallarında yerine yazdığında sonuç 0 çıkıyor mu?