Ana sayfa›Kitaplar›Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 340
Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 340 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
2-a1Tablo 3 artanlık: f artan, g artan
Çözüm Yolu
Verilen örnek; iki artanın bileşkesi artandır.
- Kabul: f ve g artan.
- x₁<x₂ ise f(x₁)<f(x₂) olur.
- g artan olduğundan g(f(x₁))<g(f(x₂)); g∘f artandır (tablodaki örnek).
- Bileşke sırasını karıştırmak — g∘f ifadesinde önce iç fonksiyon f, sonra dış fonksiyon g uygulanır.
Kendini kontrol et: f(x)=2x ve g(x)=x+1 gibi iki artan fonksiyon seçtiğinde g(f(x))=2x+1 artan oluyor mu?
2-s2Tablo 3 sıfırlar: f sıfırı var, g sıfırı yok
Çözüm Yolu
Verilen örnek; g hiç 0 değeri almaz.
- Kabul: f'nin sıfırı var, g'nin sıfırı yok.
- g∘f(x)=0 olması için g bir yerde 0 değeri almalıdır.
- g hiç 0 almadığından g∘f'nin sıfırı yoktur (tablodaki örnek).
- f(a)=0 olunca g(f(a))=0 olacağını sanmak — g(0) sıfıra eşit olmak zorunda değildir ve g'nin sıfırı yoktur.
Kendini kontrol et: f(x)=x ve sıfırı olmayan g(x)=x²+1 için g(f(x))=x²+1 sıfır oluyor mu?
2-s3Tablo 3 sıfırlar: f sıfırı yok, g sıfırı var
Çözüm Yolu
f'nin değer aralığı g'nin sıfırını içeriyorsa sıfır vardır, içermiyorsa yoktur.
- Kabul: f'nin sıfırı yok, g'nin sıfırı var (g(c)=0).
- g∘f'nin sıfırı için f(x)=c olan bir x gerekir.
- f'nin görüntüsü c'yi içeriyorsa sıfır vardır, içermiyorsa yoktur; sonuç belirsizdir.
- f'nin sıfırı yok diye bileşkenin de sıfırı olamayacağını düşünmek — g'nin sıfırı 0'dan farklı bir c değeriyse f(x)=c sağlanabilir.
Kendini kontrol et: f(x)=x²+1 için g(x)=x−2 seçildiğinde sıfır varken g(x)=x seçildiğinde sıfır olmadığını karşılaştır.
2-s4Tablo 3 sıfırlar: ikisinin de sıfırı var
Çözüm Yolu
f(a)=0 olsa da g(0)=0 olmak zorunda değildir; g'nin sıfırı f'nin görüntüsünde olmalı.
- Kabul: f(a)=0 ve g(c)=0 olacak şekilde ikisinin de sıfırı var.
- g∘f'nin sıfırı için f(x)=c olan bir x gerekir; g(0)=0 olmak zorunda değildir.
- c, f'nin görüntüsündeyse sıfır vardır, değilse yoktur; sonuç belirsizdir.
- İkisinin de sıfırı var diye g∘f'nin kesin sıfırı olduğunu söylemek — g'nin sıfırı c, f'nin görüntü kümesinde yer almayabilir.
Kendini kontrol et: f(x)=x² ve g(x)=x+1 ikisinin de sıfırı varken g(f(x))=x²+1 ifadesinin gerçek sıfırı var mı?
2-m1Tablo 3 maksimum: f maks. var, g artan
Çözüm Yolu
g artan olduğundan f'nin maksimumunda g∘f de maksimum olur.
- Kabul: f'nin maksimumu f(a)=M, g artan.
- Her x için f(x)≤M olduğundan artan g ile g(f(x))≤g(M) olur.
- g∘f'nin maksimumu vardır, x=a'da g(M) değerini alır.
- Maksimum noktasının değişeceğini sanmak — artan g maksimum değerini g(M) yaparken maksimum noktası yine x=a kalır.
Kendini kontrol et: f(x)=−x² ve artan g(x)=x+3 için g(f(x))=3−x² fonksiyonunun x=0'da maksimumu var mı?
2-m2Tablo 3 maksimum: f maks. var, g azalan
Çözüm Yolu
Azalan g, f'nin maksimumunu minimuma çevirir; bileşkenin maksimumu f'nin minimumuna bağlıdır.
- Kabul: f'nin maksimumu var, g azalan.
- Azalan g sıralamayı tersine çevirir; f'nin maksimumu g∘f'nin minimumu olur.
- g∘f'nin maksimumu f'nin minimumuna bağlıdır; f'nin minimumu bilinmediği için belirsizdir.
- f'nin maksimumu g∘f'nin de maksimumu olur demek — azalan g fonksiyonu en büyük f değerini en küçük g(f(x)) değerine dönüştürür.
Kendini kontrol et: f(x)=−x² ve g(x)=−x aldığında g(f(x))=x² fonksiyonunun maksimumu olmadığını doğrula.
2-m3Tablo 3 minimum: f min. var, g artan
Çözüm Yolu
g artan olduğundan f'nin minimumunda g∘f minimum alır.
- Kabul: f'nin minimumu f(a)=m, g artan.
- Her x için f(x)≥m olduğundan g(f(x))≥g(m) olur.
- g∘f'nin minimumu vardır, x=a'da g(m) değerini alır.
- Artan g'nin kendi minimumu yoksa g∘f'nin de minimumu olmaz sanmak — f(x)≥m alt sınırı g(f(x))≥g(m) alt sınırını garanti eder.
Kendini kontrol et: f(x)=x² ve g(x)=2x−1 için g(f(x))=2x²−1 fonksiyonu x=0'da minimum alıyor mu?
2-m4Tablo 3 minimum: f min. var, g azalan
Çözüm Yolu
Azalan g sıralamayı tersine çevirir; minimum varlığı f'nin maksimumuna bağlıdır.
- Kabul: f'nin minimumu var, g azalan.
- Azalan g, f'nin minimumunu g∘f'nin maksimumuna çevirir.
- g∘f'nin minimumu f'nin maksimumuna bağlıdır; bu bilinmediği için belirsizdir.
- f'nin minimumu var diye azalan g altında da minimum korunur sanmak — eşitsizlik yön değiştirdiğinden minimum maksimuma dönüşür.
Kendini kontrol et: f(x)=x² ve azalan g(x)=−x için g(f(x))=−x² fonksiyonunun minimumu var mı?
3a-aTablo 4, dış fonksiyon a olan satır (a∘a, a∘b, a∘c, a∘d)
Çözüm Yolu
a(x)=2x−6'da x yerine iç fonksiyon yazılır.
- Verilen: a(x)=2x−6 dış fonksiyon; iç fonksiyon a'da x yerine yazılır.
- (a∘a)(x)=2(2x−6)−6=4x−12−6=4x−18.
- (a∘b)(x)=2·(x+3)/2−6=x+3−6=x−3.
- (a∘c)(x)=2√(x+1)−6.
- (a∘d)(x)=2(x²−1)−6=2x²−8; tablodaki örnekle uyumludur.
- 2 katsayısını parantezin tamamına dağıtmamak — 2(2x−6)−6 işleminde −6 terimi de 2 ile çarpılmalıdır.
- Tabloda satır ve sütun sırasını ters almak — örnekteki (a∘d)(x)=2x²−8 hücresine göre satır dış, sütun iç fonksiyondur.
Kendini kontrol et: x=3 için b(3)=3 ve a(3)=0 olduğundan (a∘b)(3)=3−3=0 eşitliği sağlanıyor mu?
3a-bTablo 4, dış fonksiyon b olan satır
Çözüm Yolu
b(x)=(x+3)/2'de x yerine iç fonksiyon yazılır.
- Verilen: b(x)=(x+3)/2 dış fonksiyon; iç fonksiyon b'de x yerine yazılır.
- (b∘a)(x)=(2x−6+3)/2=(2x−3)/2.
- (b∘b)(x)=((x+3)/2+3)/2=((x+9)/2)/2=(x+9)/4.
- (b∘c)(x)=(√(x+1)+3)/2.
- (b∘d)(x)=(x²−1+3)/2=(x²+2)/2.
- (b∘b)(x) hesabında payda eşitlemeden +3 ile 3'ü toplamak — (x+3)/2+3 ifadesi (x+9)/2 olup 2'ye bölününce (x+9)/4 verir.
Kendini kontrol et: x=3 için b(3)=3 olduğundan (b∘b)(3)=(3+9)/4=3 sonucunu veriyor mu?
3a-cTablo 4, dış fonksiyon c olan satır
Çözüm Yolu
c(x)=√(x+1)'de x yerine iç fonksiyon yazılır; c∘d=√(x²)=|x|.
- Verilen: c(x)=√(x+1) dış fonksiyon; iç fonksiyon c'de x yerine yazılır.
- (c∘a)(x)=√(2x−6+1)=√(2x−5).
- (c∘b)(x)=√((x+3)/2+1)=√((x+3+2)/2)=√((x+5)/2).
- (c∘c)(x)=√(√(x+1)+1).
- (c∘d)(x)=√(x²−1+1)=√(x²)=|x|; karekök negatif olmayan değer verdiği için mutlak değer çıkar.
- √(x²) ifadesini doğrudan x diye çıkarmak — x negatif olabileceğinden her gerçel x için √(x²)=|x| yazılmalıdır.
Kendini kontrol et: x=−2 için d(−2)=3 ve c(3)=2 olduğundan (c∘d)(−2)=|−2|=2 eşitliği doğrulanıyor mu?
2-a2Tablo 3 artanlık: f azalan, g artan
Çözüm Yolu
x büyürken f azalır, artan g de azalan girdiyle azalır.
- Kabul: f azalan, g artan.
- x₁<x₂ ise f(x₁)>f(x₂) olur.
- g artan olduğundan g(f(x₁))>g(f(x₂)); g∘f azalandır.
- Dış fonksiyon g artan diye bileşkeyi artan sanmak — iç fonksiyon f eşitsizliği bir kez ters çevirdiği için bileşke azalır.
Kendini kontrol et: f(x)=−x ve g(x)=2x seçtiğinde g(f(x))=−2x fonksiyonu azalan çıkıyor mu?
3a-dTablo 4, dış fonksiyon d olan satır
Çözüm Yolu
d(x)=x²−1'de x yerine iç fonksiyon yazılır; d∘c=(√(x+1))²−1=x.
- Verilen: d(x)=x²−1 dış fonksiyon; a, b, c, d iç fonksiyon olarak d'de x yerine yazılacak.
- (d∘a)(x)=(2x−6)²−1=4x²−24x+36−1=4x²−24x+35.
- (d∘b)(x)=((x+3)/2)²−1=(x²+6x+9)/4−4/4=(x²+6x+5)/4.
- (d∘c)(x)=(√(x+1))²−1=x+1−1=x; karekök tanımlı olsun diye x≥−1.
- (d∘d)(x)=(x²−1)²−1=x⁴−2x²+1−1=x⁴−2x².
- Tam kare açılımında orta terimi unutmak — (2x−6)² ifadesi 4x²+36 değil, 4x²−24x+36 olarak açılır.
- (d∘c)(x)=x yazarken x≥−1 tanım kümesi kısıtını göz ardı etmek — içteki √(x+1) yalnız x≥−1 için tanımlıdır.
Kendini kontrol et: x=1 için d(1)=0 ve d(0)=−1 olduğundan (d∘d)(1)=1−2=−1 eşitliği sağlanıyor mu?
3bTablodaki eşit bileşkeleri belirleme ve eşitlik koşulları
Çözüm Yolu
Genelde f∘g≠g∘f. Eşitlik, ortak tanım kümesinde ve |x|=x olduğu x≥0 aralığında sağlanır; tanım kümeleri de dikkate alınmalıdır.
- Tablo 4'teki 16 cebirsel kural karşılaştırıldığında yalnız (c∘d)(x)=|x| ile (d∘c)(x)=x ifadelerinin örtüşebileceği görülür.
- İki fonksiyonun eşit olması için tanım kümeleri ile değer kümeleri aynı olmalı ve her x için kuralları eşit sonuç vermelidir.
- d∘c fonksiyonu x≥−1 için tanımlıyken |x|=x eşitliği yalnız x≥0 aralığında sağlanır.
- Ortak tanım kümesi [0, ∞) olarak sınırlandırıldığında c∘d=d∘c olur; tablodaki diğer bileşke çiftleri eşit fonksiyon belirtmez.
- c∘d ve d∘c kurallarını tüm gerçel sayılarda eşit sanmak — x<0 için |x|≠x olduğundan ve x<−1 için d∘c tanımsız olduğundan eşitlik bozulur.
Kendini kontrol et: x=−1 için (c∘d)(−1)=1 iken (d∘c)(−1)=−1 çıktığını hesaplayarak x≥0 koşulunun gerekliliğini doğrula.
2-a3Tablo 3 artanlık: f artan, g azalan
Çözüm Yolu
f artarken g'ye giden girdi artar, g azalan olduğundan bileşke azalır.
- Kabul: f artan, g azalan.
- x₁<x₂ ise f(x₁)<f(x₂) olur.
- g azalan olduğundan g(f(x₁))>g(f(x₂)); g∘f azalandır.
- İç fonksiyon f artan olduğu için sıralamanın korunacağını düşünmek — azalan g fonksiyonu eşitsizlik yönünü ters çevirir.
Kendini kontrol et: f(x)=x+1 ve g(x)=−x için g(f(x))=−x−1 fonksiyonunun azalan olduğunu doğrula.
2-a4Tablo 3 artanlık: f azalan, g azalan
Çözüm Yolu
İki azalanın bileşkesi artandır (iki işaret değişimi).
- Kabul: f ve g azalan.
- x₁<x₂ ise f(x₁)>f(x₂) olur.
- g azalan olduğundan g(f(x₁))<g(f(x₂)); g∘f artandır.
- İki azalan fonksiyonun bileşkesini azalan yazmak — eşitsizlik yönü iki kez ters döndüğü için ilk yön korunur ve bileşke artar.
Kendini kontrol et: f(x)=−2x ve g(x)=−x seçtiğinde g(f(x))=2x fonksiyonu artan oluyor mu?
2-t1Tablo 3 teklik: f tek, g tek
Çözüm Yolu
g(f(−x))=g(−f(x))=−g(f(x)).
- Kabul: f tek, g tek; yani f(−x)=−f(x), g(−y)=−g(y).
- g(f(−x))=g(−f(x))=−g(f(x)) bulunur.
- g∘f tek fonksiyondur (tablodaki örnek).
- İki tek fonksiyonun çarpımı gibi düşünüp çift demek — bileşkede g(−f(x))=−g(f(x)) olduğundan sonuç tek kalır.
Kendini kontrol et: f(x)=x³ ve g(x)=x seçtiğinde g(f(−x))=−g(f(x)) eşitliği sağlanıyor mu?
2-t2Tablo 3 teklik: f tek, g çift
Çözüm Yolu
g(f(−x))=g(−f(x))=g(f(x)).
- Kabul: f tek (f(−x)=−f(x)), g çift (g(−y)=g(y)).
- g(f(−x))=g(−f(x))=g(f(x)) bulunur.
- g∘f çift fonksiyondur.
- İç fonksiyon tek diye bileşkeyi tek sanmak — dış fonksiyon g çift olduğundan içteki eksi işaretini yutar.
Kendini kontrol et: f(x)=x ve g(x)=x² için g(f(−x))=(−x)²=x² çift fonksiyon oluyor mu?
2-t3Tablo 3 teklik: f çift, g tek
Çözüm Yolu
f(−x)=f(x) olduğundan g(f(−x))=g(f(x)).
- Kabul: f çift, yani f(−x)=f(x).
- g'nin özelliğinden bağımsız olarak g(f(−x))=g(f(x)) olur.
- g∘f çift fonksiyondur.
- Dış fonksiyon g tek olduğu için bileşkeyi tek yazmak — içteki f çift olduğundan f(−x)=f(x) olur ve eksi dışarı çıkmaz.
Kendini kontrol et: f(x)=x² ve g(x)=x³ aldığında g(f(x))=x⁶ çift fonksiyon çıkıyor mu?
2-t4Tablo 3 teklik: f çift, g çift
Çözüm Yolu
f(−x)=f(x) olduğundan bileşke çifttir.
- Kabul: f ve g çift.
- f(−x)=f(x) olduğundan g(f(−x))=g(f(x)) olur.
- g∘f çift fonksiyondur.
- g(−x) ifadesini f'nin içine yazmak — bileşkede (g∘f)(−x)=g(f(−x)) sırasıyla işlem yapılmalıdır.
Kendini kontrol et: f(x)=x² ve g(x)=x²+1 için (g∘f)(−x)=(g∘f)(x) eşitliğini kontrol et.
2-s1Tablo 3 sıfırlar: f sıfırı yok, g sıfırı yok
Çözüm Yolu
g(f(x))=0 için f(x), g'nin sıfırı olmalı; g'nin sıfırı yok.
- Kabul: f ve g'nin sıfırı yok.
- g(f(x))=0 için f(x) değeri g'nin bir sıfırı olmalıdır.
- g'nin sıfırı olmadığından g∘f'nin sıfırı yoktur.
- Yalnız f'nin sıfırına bakıp karar vermek — g(f(x))=0 denkleminin kökü için öncelikle dış fonksiyon g'nin sıfır alabilmesi gerekir.
Kendini kontrol et: g(y)=0 denkleminin hiç çözümü yoksa y=f(x) için g(f(x))=0 olabilir mi?