Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 354
Matematik 11. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 354 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
1a f(x) satırıTabloda f(x)=2x+3 değerlerinin x=1,2,4,5 için doldurulması
Çözüm Yolu
f, [1,4] aralığında tanımlı; 5 bu aralıkta olmadığından f(5) tanımsızdır.
- f(x)=2x+3 yalnızca [1,4] aralığında tanımlıdır.
- x yerine yazılır: f(1)=2·1+3=5, f(2)=2·2+3=7, f(4)=2·4+3=11.
- x=5 aralığın dışında olduğundan f(5) tanımsızdır.
- Tanım kümesini kontrol etmeden f(5)=2·5+3=13 yazmak — x=5 değeri [1,4] aralığında olmadığından f(5) tanımsızdır.
- 2x+3 kuralında işlem önceliğini karıştırıp 2·(x+3) hesaplamak — önce x ile 2 çarpılmalı, sonra 3 eklenmelidir.
Kendini kontrol et: Hesapladığın her x değerinin [1,4] tanım aralığında kalıp kalmadığını kontrol ettin mi?
1a g(x) satırıTabloda g(x)=x değerlerinin doldurulması
Çözüm Yolu
g, [2,5] aralığında tanımlı; 1 bu aralıkta değildir.
- g(x)=x yalnızca [2,5] aralığındaki x değerleri için tanımlıdır.
- x=1 bu aralıkta olmadığından g(1) tanımsızdır.
- Diğer değerlerde x yerine yazılır: g(2)=2, g(4)=4, g(5)=5.
- g(x)=x kuralına bakıp g(1)=1 yazmak — x=1 değeri [2,5] tanım kümesinde yer almadığından g(1) tanımsızdır.
Kendini kontrol et: Tabloda değer yazdığın x noktalarının tamamı [2,5] aralığında mı?
1a f(x)+g(x) satırıTabloda toplam satırının doldurulması
Çözüm Yolu
Toplam yalnızca iki fonksiyonun da tanımlı olduğu x değerlerinde bulunur: 7+2=9, 11+4=15.
- f(x)+g(x) yalnızca f ve g'nin ikisi de tanımlıyken hesaplanır; ortak aralık [1,4]∩[2,5]=[2,4].
- x=1'de g, x=5'te f tanımsız olduğundan bu sütunlarda toplam tanımsızdır.
- x=2 için: f(2)+g(2)=7+2=9.
- x=4 için: f(4)+g(4)=11+4=15.
- x=1 için tanımsız terimi sıfır sayıp toplamı 5 bulmak — fonksiyonlardan biri tanımsızsa toplam da tanımsız olur.
- Ortak tanım kümesini kesişim yerine birleşim alarak [1,5] sanmak — toplama işlemi yalnız ortak aralık [2,4]'te tanımlıdır.
Kendini kontrol et: Toplam bulduğun x=2 ve x=4 noktalarında hem f(x) hem g(x) tanımlı mı?
1a f(x)−g(x) satırıTabloda fark satırının doldurulması
Çözüm Yolu
7−2=5 ve 11−4=7; diğer noktalarda en az biri tanımsız.
- f(x)−g(x) yalnızca iki fonksiyonun da tanımlı olduğu [2,4] aralığında hesaplanır.
- x=1 ve x=5'te fonksiyonlardan biri tanımsız olduğundan fark tanımsızdır.
- x=2 için: f(2)−g(2)=7−2=5.
- x=4 için: f(4)−g(4)=11−4=7.
- Çıkarma sırasını karıştırıp g(x)−f(x) hesaplayarak −5 ve −7 bulmak — f(x) değerinden g(x) değeri çıkarılmalıdır.
- x=5'te g(5)=5 tanımlı diye farkı −5 yazmak — f(5) tanımsız olduğundan fark işlemi yapılamaz.
Kendini kontrol et: Bulduğun fark değerlerine g(x) eklediğinde yeniden f(x) değerlerini elde ediyor musun?
1bTablodan toplama ve çıkarmanın tanımlanıp tanımlanamayacağına dair yorum
Çözüm Yolu
x=1 ve x=5'te biri tanımsız olduğundan toplam ve fark tanımsızdır; tanım kümesi Df ∩ Dg olur.
- Tablodaki sütunları inceleyerek toplam ve farkın hangi x değerlerinde hesaplanabildiğini belirle.
- x=1 ve x=5'te fonksiyonlardan biri tanımsız olduğu için işlem yapılamadığını fark et.
- Toplama ve çıkarmanın yalnızca her iki fonksiyonun tanımlı olduğu [1,4]∩[2,5]=[2,4] ortak aralığında tanımlanabildiğini ifade et.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Tanım kümelerinin tamamında tanımlanamaz; ancak [1,4] ve [2,5] kümelerinin kesişimi olan [2,4] aralığında toplama ve çıkarma tanımlanabilir. (Ortak tanım kümesi [2,4] koşulunu belirten eşdeğer sözel açıklamalar geçerlidir.)
- Tanım kümeleri farklı diye işlemin hiçbir yerde yapılamayacağını düşünmek — ortak elemanlar varsa kesişim kümesinde işlem tanımlanır.
Kendini kontrol et: Yorumun tablodaki x=2 ve x=4'te sonuç çıkmasını, x=1 ve x=5'te tanımsız olmasını açıklıyor mu?
1cf+g ve f−g fonksiyonlarının cebirsel temsilleri
Çözüm Yolu
(2x+3)+x = 3x+3; (2x+3)−x = x+3; tanım kümesi [1,4] ∩ [2,5] = [2,4].
- Verilenler: f(x)=2x+3, tanım kümesi [1,4]; g(x)=x, tanım kümesi [2,5].
- f+g ve f−g, iki fonksiyonun da tanımlı olduğu yerde tanımlıdır: [1,4]∩[2,5]=[2,4].
- (f+g)(x)=(2x+3)+x=3x+3 bulunur.
- (f−g)(x)=(2x+3)−x=x+3 bulunur.
- Cebirsel kuralı bulup x∈[2,4] tanım kümesi kısıtını yazmayı unutmak — tanım aralığı belirtilmezse fonksiyon tüm gerçek sayılarda sanılır.
- (2x+3)−x işleminde x'i sabitten çıkarıp 2x+2 yazmak — yalnızca benzer terimler olan 2x ve x çıkarılır.
Kendini kontrol et: Bulduğun 3x+3 ve x+3 kurallarında x=2 ve x=4 yazdığında tablodaki 9, 15 ve 5, 7 sonuçlarını veriyor mu?
1çf, g, f+g ve f−g grafiklerinin çizimi
Çözüm Yolu
Uç noktalar fonksiyon değerlerinden bulunur; f+g ve f−g yalnızca [2,4] aralığında çizilir.
- f için [1,4] uç noktalarını hesaplayıp (1,5) ile (4,11) noktalarını kapalı uçlu doğru parçasıyla birleştir.
- g için [2,5] uç noktalarını bularak (2,2) ile (5,5) arasına doğru parçası çiz.
- f+g için [2,4] ortak aralığındaki (2,9) ve (4,15) uç noktalarını doğru parçasıyla birleştir.
- f−g için [2,4] aralığındaki (2,5) ve (4,7) noktalarını birleştirerek grafiği tamamla.
- Doğru parçaları yerine sonsuza uzanan doğrular çizmek — fonksiyonlar kapalı aralıklarda tanımlı olduğundan grafikler uç noktalarda biter.
- f+g ve f−g grafiklerini [1,5] aralığında çizmek — bu fonksiyonlar yalnızca ortak aralık [2,4]'te tanımlıdır.
Kendini kontrol et: Çizdiğin f+g ve f−g doğru parçalarının x eksenindeki izdüşümü yalnızca [2,4] aralığını kapsıyor mu?
1dGrafiklerden tanım ve değer kümeleri arasındaki ilişki
Çözüm Yolu
Yeni fonksiyonların tanım kümesi ortak kümedir; değer kümeleri bu aralığa bağlı olarak değişir.
- Tanım kümeleri: Df=[1,4], Dg=[2,5]; f+g ve f−g için ortak küme [1,4]∩[2,5]=[2,4] alınır.
- f(x)=2x+3 artan olduğundan [1,4] üzerinde değer kümesi [f(1),f(4)]=[5,11]; g(x)=x için [2,5].
- (f+g)(x)=3x+3, [2,4] üzerinde artan: değer kümesi [9,15].
- (f−g)(x)=x+3, [2,4] üzerinde artan: değer kümesi [5,7].
- f+g'nin değer kümesini [5+2, 11+5]=[7,16] sanmak — değer kümesi yalnızca ortak tanım aralığı [2,4] üzerindeki görüntülerden bulunur.
- Değer kümelerinin de kesişimini alıp [5,11]∩[2,5]={5} yazmak — kesişim kuralı değer kümesine değil tanım kümesine uygulanır.
Kendini kontrol et: Grafiklerin y eksenindeki en alt ve en üst noktaları bulduğun değer kümeleriyle örtüşüyor mu?
1ef+g ve f−g'nin tanımlı olması için gereken asgari koşul
Çözüm Yolu
Cebirsel ve grafik temsil, işlemin ancak iki fonksiyonun ortak tanım kümesinde yapılabildiğini gösterir; burada [2,4].
- Cebirsel temsilde f(x)±g(x) işleminin yapılabilmesi için her iki terimin de hesaplanabilir olması gerektiğini belirle.
- Grafiklerde f+g ve f−g'nin yalnızca iki grafiğin yatayda örtüştüğü bölgede çizilebildiğini gözlemle.
- Buna göre asgari koşulun Df∩Dg≠∅ olması ve x∈Df∩Dg bulunması olduğunu yaz.
Kabul edilebilir başka cevaplar: f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişimi boş kümeden farklı olmalıdır (Df ∩ Dg ≠ ∅). (Fonksiyonların en az bir ortak x değerinde tanımlı olması gerektiğini belirten ifadeler geçerlidir.)
- İki fonksiyonun tanım kümelerinin bire bir eşit olmasını şart sanmak — tanım kümelerinin kesişiminin boş olmaması yeterlidir.
Kendini kontrol et: Df∩Dg=∅ olsaydı herhangi bir x değeri için f(x)+g(x) hesaplanabilir miydi?