Matematik Dersi 11.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 81 Cevapları

Dış açı ölçüleri toplamı her dışbükey dörtgende 360° olduğundan tüm satırlar işaretlenir.

1. Tablonun 'Dış açı ölçüleri toplamı 360°'dir' sütununa bakıyoruz.
2. Her köşede iç açı ile dış açı toplamı 180° olduğundan dört köşede toplam 4·180°=720°'dir.
3. İç açılar toplamı 360° olduğundan dış açılar toplamı 720°−360°=360° bulunur.
4. Bu her dışbükey dörtgende geçerli olduğundan sekiz satırın hepsi işaretlenir.

Kendini kontrol et: Her köşede iç ve dış açı toplamının 180° olduğunu kullanarak 4·180°−360°=360° eşitliğini doğrulayabiliyor musun?

Dört iç açısı da 90° olan dörtgenler dikdörtgen ve karedir; diğerlerinde tüm açılar eşit olmak zorunda değildir.

1. Tablonun 'Tüm iç açılarının ölçüleri eşittir' sütununa bakıyoruz.
2. Dört açı eşitse her biri 360°÷4=90° olmalıdır.
3. Dört açısı da 90° olan dörtgenler dikdörtgen ve karedir; diğerlerinde bu her zaman sağlanmaz.

Kendini kontrol et: İşaretlediğin her dörtgenin tanımında dört iç açının da kesinlikle 90° olduğu garanti mi?

Paralelkenar ve onun özel hâlleri olan eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve karede karşılıklı açılar eştir.

1. Tablonun 'Karşılıklı iç açıların ölçüleri eşittir' sütununa bakıyoruz.
2. Etkinlikte karşılıklı açıların eşit olduğu gözlenen dörtgen paralelkenar ve onun özel hâlleridir.
3. Yamuk, ikizkenar yamuk ve dik yamukta karşılıklı açılar genel olarak eşit değildir.

Kendini kontrol et: Seçtiğin dörtgenlerin hepsinde karşılıklı kenar çiftlerinin ikisi de birbirine paralel mi?

Karşı kenarları paralel olan dörtgenlerde komşu açılar iç ters açı gibi bütünlerdir; yamukta yalnızca bacak komşu açıları bütünler, genel olarak işaretlenmez.

1. Tablonun 'Komşu iç açıları bütünlerdir' sütununa bakıyoruz; tüm komşu açı çiftleri kastediliyor.
2. İki çift karşılıklı kenarı paralel olan dörtgenlerde her komşu açı çiftinin toplamı 180°'dir.
3. Yamuklarda yalnızca bir kenar çifti paralel olduğundan tüm komşu açılar bütünler değildir.

Kendini kontrol et: İşaretlediğin dörtgenlerde ardışık seçilen her iki iç açının toplamı daima 180° oluyor mu?

Tablodaki tüm satırlarda ilk iki özellik sağlanır; karşılıklı eşitlik ve bütünlük yalnızca paralelkenar ailesinde görülür.

1. Tablo 1'in ilk iki sütununda tüm satırların işaretlendiğine bakarak her dörtgende iç ve dış açılar toplamının 360° olduğunu belirle.
2. Dördüncü ve beşinci sütunlardaki ortak işaretlemelerden paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve karedeki ortak açı örüntüsünü saptayalım.
3. İki çift karşılıklı kenarı paralel olan bu dörtgenlerde karşılıklı açıların eş, komşu açıların bütünler olduğunu genelle.
4. Üçüncü sütundan yararlanarak tüm iç açıları eşit (90°) olan dörtgenlerin yalnızca dikdörtgen ve kare olduğunu ekle.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Dikdörtgen ve karede tüm iç açılar 90°dir; yamukta ise paralel tabanlar arasındaki yan kenar komşu açıları bütünlerdir. (Tablodaki sütun örüntülerini doğru yansıtan her matematiksel genelleme geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Yazdığın her genelleme Tablo 1'de işaretlenen dörtgenlerin tamamı için istisnasız doğru mu?

Kendi varsayımlarınla tablodan çıkan genellemeleri karşılaştırıp doğrulananları öneri olarak yaz.

1. Etkinlik başında dörtgenlerin açılarıyla ilgili kurduğun varsayımları Tablo 1'den çıkardığın genellemelerle karşılaştır.
2. Her durumda doğrulanan genellemeleri ayırıp yanlışlanan varsayımları ele.
3. Doğrulanan genellemeleri doğru veya yanlış kesin hüküm bildiren matematiksel önerme cümleleri olarak yaz.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Her dışbükey dörtgenin dış açıları toplamı 360°dir. Paralelkenarda ardışık iki iç açının ölçüleri toplamı 180°dir. (Tablodan doğrulanan herhangi bir dörtgen açı özelliğini kesin yargı cümlesiyle ifade eden önermeler geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Yazdığın her önerme Tablo 1 verileriyle doğrulanan kesin bir matematiksel hüküm bildiriyor mu?

m(ADC)=d olsun. Paralelkenarda A=180-d, C=d'ye eş açı 180-d. Katlamada EC'B=C=180-d. DC'E=140-d, AC'B=d-30. Doğru üzerinde toplam 180: 290-d=180, d=110.

1. Verilenler: m(DEC') = 40°, m(ABC') = 30°, C noktası katlanınca AD üzerindeki C' ile çakışıyor. İstenen: m(ADC); buna d diyelim.
2. Paralelkenarda komşu açılar bütünler, karşılıklı açılar eş: m(A) = m(C) = 180° - d.
3. Katlamada açı korunur: m(EC'B) = m(ECB) = 180° - d.
4. DC'E üçgeninde m(DC'E) = 180° - d - 40° = 140° - d; AC'B üçgeninde m(AC'B) = 180° - (180° - d) - 30° = d - 30°.
5. C', AD doğrusu üzerinde: (140° - d) + (180° - d) + (d - 30°) = 180°, buradan 290° - d = 180°.
6. d = 110°, yani m(ADC) = 110°. Kontrol: m(DC'E) = 30°, m(A) = 70° uygun.

Kendini kontrol et: m(ADC)=110° için m(C)=70° ve m(EBC)=40° bulup DC doğrusu üzerinde 40°+70°+70°=180° olduğunu doğrulayabiliyor musun?