Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (2.Kitap)›Sayfa 136
Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (2.Kitap) — Sayfa 136 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
1Tek sayının karesinin tek olduğunu gösteren cebirsel ispatı tamamlama
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Kare açılır ve 2 parantezine alınır. Sonuç 2k+1 biçiminde yazıldığından tektir.
- Verilen: n tam sayı ve x = 2n+1 tek sayı. İstenen: x²'nin tek olduğunu göstermek.
- x² = (2n+1)² ifadesini açarız: 4n² + 4n + 1.
- İlk iki terimi 2 parantezine alırız: x² = 2(2n² + 2n) + 1.
- k = 2n² + 2n bir tam sayıdır; tam sayıların çarpımı ve toplamı yine tam sayıdır.
- x² = 2k + 1 biçiminde yazıldığı için x² tek sayıdır.
- (2n+1)² = 4n² + 1 yazmak — iki katlı çarpım 4n unutulmuş; (a+b)² = a² + 2ab + b² kullanılmalı.
- Birkaç sayı deneyip ispatın bittiğini söylemek — örnekler genel kanıt değildir, 2k+1 biçimi gösterilmeli.
Kendini kontrol et: n = 3 için x = 7 ve x² = 49; 2(2·9 + 6) + 1 = 49 eşitliği sağlanıyor mu?
2Tam sayının karesinin tek olup olmadığını bulan algoritmayı doğal dil ve akış şemasıyla ifade etme
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Sayının karesi alınıp 2'ye bölümünden kalana bakılır. Kalan 1 ise sayı tektir.
- Algoritmanın girdisini belirleriz: bir tek tam sayı x.
- İşlem adımını yazarız: x² hesaplanır.
- Karar adımını yazarız: x² mod 2 = 1 mi diye sorulur.
- Evet ise "kare tektir", hayır ise "kare tek değildir" çıktısı verilir; algoritma biter.
- Akış şemasını çizeriz: Başla (oval) → giriş (paralelkenar) → işlem (dikdörtgen) → karar (eşkenar dörtgen) → iki çıkış → Bitir.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Karar kutusunda "x² mod 2 = 0 mı?" sorulup Evet dalına "tek değildir", Hayır dalına "tektir" yazılması (Çıktılar doğru dallara yerleştirildiği sürece geçerlidir.) · Girdi olarak herhangi bir tam sayı alıp önce tek olup olmadığını kontrol eden ek karar kutusu kullanmak (Tek olmayan girdiler ayrıca ele alınıp karenin tekliği doğru sınanıyorsa geçerlidir.)
- Karar kutusunda x mod 2'ye bakmak — istenen, karenin tekliği olduğu için x² mod 2 sınanmalıdır.
- Karar kutusundan yalnız bir ok çıkarmak — karar kutusunun Evet ve Hayır olmak üzere iki çıkışı olmalıdır.
Kendini kontrol et: Şemana x = 5 verdiğinde 25 mod 2 = 1 olur; okları izleyerek "kare tektir" çıktısına ulaşıyor musun?
3Algoritmayı -10 ile 10 arasındaki tek tam sayılar için test etme
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Her kare 2'ye bölününce kalan 1 çıkar, yani algoritma hepsinde "tek" sonucunu verir.
- -10 ile 10 arasındaki tek tam sayıları listeleriz: -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9.
- Her birinin karesini alırız: 81, 49, 25, 9, 1, 1, 9, 25, 49, 81.
- Her kareyi 2'ye böleriz; hepsinde kalan 1 çıkar.
- Algoritma on girdinin hepsinde "tek" sonucunu verir; bu, cebirsel ispatla uyumludur.
- Negatif sayıların karesini negatif yazmak — (-7)² = 49 pozitiftir, eksi çarpı eksi artıdır.
- -10 ve 10'u ya da çift sayıları listeye katmak — yalnız tek tam sayılar test edilmelidir.
Kendini kontrol et: Listende tam 10 tek sayı var mı ve her karenin son basamağı tek mi?
4Algoritma işleyişi ile cebirsel ispat arasındaki benzerlik ve farklılıkları açıklama
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Algoritma yalnız denenen değerleri doğrular. Cebirsel ispat n'nin her değeri için geçerli olduğundan kesindir.
- İki yöntemin amacını karşılaştırırız: ikisi de tek sayının karesinin tek olduğunu göstermeye çalışır.
- Algoritmanın her seferinde tek bir somut sayıyı kalan işlemiyle sınadığını belirtiriz.
- Cebirsel ispatın x = 2n+1 genel biçimiyle bütün tek sayıları birlikte ele aldığını belirtiriz.
- Farkı yazarız: algoritma yalnız denenen değerleri doğrular, ispat tüm tek sayılar için kesin sonuç verir.
- Algoritmanın da tüm tek sayılar için kanıt olduğunu söylemek — sonlu sayıda deneme genel kanıt sayılmaz.
- Yalnız farkları yazıp benzerliği atlamak — soru hem benzerlikleri hem farklılıkları istemektedir.
Kendini kontrol et: Yanıtında en az bir benzerlik ve en az bir fark açıkça yer alıyor mu?
5İspat sürecinde hangi mantık bağlaçlarına ve niceleyicilere neden ihtiyaç duyulduğu
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Önerme tüm tek tam sayıları kapsadığı için evrensel niceleyici gerekir. Koşul-sonuç ilişkisi için "ise", kontrol adımlarında "ve/veya" kullanılır.
- Önermedeki "her" sözcüğünü buluruz: bu evrensel niceleyicidir (∀), iddianın tüm tek sayılar için olduğunu gösterir.
- Önermeyi "x tek ise x² tektir" biçiminde yazarız: "ise" (⇒) koşul ile sonucu bağlar.
- İspat ve algoritmadaki koşulların birlikte sağlanması gereken yerlerde "ve" bağlacının kullanıldığını belirtiriz.
- Her birinin neden gerektiğini açıklarız: niceleyici kapsamı, bağlaçlar adımlar arası mantıksal ilişkiyi belirler.
- Bağlaç ile niceleyiciyi karıştırmak — "her" niceleyicidir, "ise" ve "ve" bağlaçtır.
- "Bazı" (∃) niceleyicisini yazmak — önerme tüm tek sayılar içindir, evrensel niceleyici gerekir.
Kendini kontrol et: Yanıtında en az bir niceleyici ve bir bağlaç adıyla birlikte neden gerektiği yazılı mı?