Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (2.Kitap) — Sayfa 20 Cevapları

Öteleme açıları korur.

1. Şeklin iç açılarının öteleme sonrası değişip değişmediği sorulur.
2. Ötelemede şekil döndürülmeden, bükülmeden yalnızca kaydırılır; kenarların birbirine göre eğimi aynı kalır.
3. Örneğin ABCD'de 90°, 45°, 135°, 90° olan açılar A'B'C'D'de de aynıdır.

Kendini kontrol et: B ve B' köşelerindeki eğik kenarlar aynı biçimde (bir sağa, bir yukarı) mı ilerliyor?

PRS ile aynıdır.

1. P'R'S' üçgeninin kenarları ve açıları ızgaradan bulunur.
2. P'R' dikey 4 kare, R'S' yatay 4 kare: |P'R'| = |R'S'| = 4 birim; R' açısı 90°'dir.
3. Hipotenüs: |P'S'|² = 4² + 4² = 32, |P'S'| = 4√2 birim.
4. Dik kenarlar eşit olduğundan diğer açılar (180° − 90°) ÷ 2 = 45°'dir.

Kendini kontrol et: P'R'S' için bulduğun değerler PRS üçgenininkilerle birebir aynı mı?

Kenarlar 7, 4√2, 3, 4 toplanır. Paralel kenarları 7 ve 3, yüksekliği 4 olan yamuk: (7+3)·4/2=20.

1. Kenarlar (Tablo 3): AB = 7, BC = 4√2, CD = 3, AD = 4 birim.
2. Çevre = 7 + 4√2 + 3 + 4 = 14 + 4√2 birim.
3. AB ve CD dikey ve paralel, aralarındaki uzaklık AD = 4 birim; şekil bir yamuktur.
4. Alan = (7 + 3)·4/2 = 20 birimkare.

Kendini kontrol et: 4×7'lik dikdörtgenden (28) dik kenarları 4 ve 4 olan üçgeni (8) çıkarınca 20 buluyor musun?

Öteleme çevreyi ve alanı korur.

1. A'B'C'D', ABCD'nin ötelenmiş görüntüsüdür; öteleme kenar uzunluklarını korur.
2. Kenarlar ABCD ile aynı: 7, 4√2, 3 ve 4 birim; çevre = 14 + 4√2 birim.
3. Şekil yine paralel kenarları 7 ve 3, yüksekliği 4 olan yamuktur.
4. Alan = (7 + 3)·4/2 = 20 birimkare; ABCD ile aynı.

Kendini kontrol et: Bulduğun çevre ve alan ABCD için bulduğun değerlerle aynı mı?

Kenarlar √2+3√2+4+2. Alan, köşe koordinatlarından (E(1,0), F(0,1), G(3,4), H(3,0)) alan formülüyle 7 bulunur.

1. Birim kareli zeminden köşeleri yerleştiririz: E(1,0), F(0,1), G(3,4), H(3,0); EFGH'nin çevresi ve alanı isteniyor.
2. Pisagor ile eğik kenarlar: |EF| = √(1²+1²) = √2, |FG| = √(3²+3²) = 3√2 birim.
3. Düz kenarlar karelerden sayılır: |GH| = 4 birim, |HE| = 2 birim.
4. Çevre = √2 + 3√2 + 4 + 2 = 6 + 4√2 birim.
5. Şekli 3×4'lük dikdörtgen içine alırız (alan 12); dışta kalan üçgenler 1·1/2 = 0,5 ve 3·3/2 = 4,5 birimkaredir.
6. Alan = 12 − 0,5 − 4,5 = 7 birimkare. Öteleme bu değerleri değiştirmez.

Kendini kontrol et: Şeklin içindeki tam kareleri ve yarım kareleri tek tek sayınca toplam 7 birimkare ediyor mu?

Öteleme çevre ve alanı değiştirmez.

1. E'F'G'H', EFGH'nin ötelenmiş görüntüsüdür; öteleme kenar uzunluklarını ve alanı değiştirmez.
2. Kareli zeminden kenarlar: E'H' = 2, H'G' = 4 birim; E'F' bir kare köşegeni (√2), F'G' üç kare köşegeni (3√2).
3. Çevre = 2 + 4 + √2 + 3√2 = 6 + 4√2 birim.
4. Alan: 3×4'lük dikdörtgenden (12) köşelerdeki üçgenler (0,5 ve 4,5) çıkarılır: 12 - 0,5 - 4,5 = 7 birimkare.

Kendini kontrol et: Sonuçların EFGH için bulduğun çevre ve alanla aynı mı?

Dik kenarlar 4 ve 4: alan 4·4/2=8; hipotenüs 4√2.

1. Kareli zeminden PRS dik üçgeninin dik kenarları: PR = 4 birim, RS = 4 birim (dik açı R'de).
2. Hipotenüs: PS² = 4² + 4² = 32, PS = 4√2 birim.
3. Çevre = 4 + 4 + 4√2 = 8 + 4√2 birim.
4. Alan = (4·4)/2 = 8 birimkare.

Kendini kontrol et: Üçgen, 4×4'lük karenin tam yarısı mı? Öyleyse 16'nın yarısı 8 eder.

PRS ile eştir.

1. P'R'S', PRS üçgeninin ötelenmiş görüntüsüdür; öteleme sonucu şekil ile görüntüsü eştir.
2. Kareli zeminden: P'R' = 4 birim, R'S' = 4 birim, R' açısı dik; P'S' = 4√2 birim.
3. Çevre = 4 + 4 + 4√2 = 8 + 4√2 birim.
4. Alan = 4·4/2 = 8 birimkare; PRS ile aynı sonuç.

Kendini kontrol et: P'R'S' için bulduğun çevre ve alan PRS'ninkilerle aynı mı?

Şekil 6 birim yatay ötelendiğinden her nokta görüntüsünden 6 birim uzaktadır.

1. ABCD'nin her köşesi ile görüntüsü arasındaki uzaklık istenir.
2. ABCD yalnızca yatay doğrultuda sağa ötelenmiştir.
3. A, B, C, D noktalarından A', B', C', D' noktalarına sağa doğru 6'şar kare sayılır.

Kendini kontrol et: Bulduğun uzaklık, Tablo 1'e yazdığın öteleme miktarıyla aynı mı?

Şekil 7 birim dikey ötelendiği için tüm uzaklıklar 7 birimdir.

1. EFGH'nin her köşesi ile görüntüsü arasındaki uzaklık istenir.
2. EFGH yalnızca dikey doğrultuda aşağı ötelenmiştir.
3. Her köşeden görüntüsüne aşağı doğru 7'şer kare sayılır.

Kendini kontrol et: Bulduğun 7 birim, Tablo 1'deki EFGH öteleme miktarıyla aynı mı?

8 birim yatay ve 6 birim dikey öteleme: √(8²+6²)=10.

1. PRS, 8 birim sola ve 6 birim yukarı ötelenmiştir; her köşe ile görüntüsü arası uzaklık istenir.
2. P ile P' arasındaki yatay fark 8, dikey fark 6 birimdir; bu iki uzunluk bir dik üçgenin dik kenarlarıdır.
3. Pisagor bağıntısı: |PP'|² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100, |PP'| = 10 birim.
4. R ve S için farklar aynı olduğundan |RR'| = |SS'| = 10 birim; üç uzaklık eşittir.

Kendini kontrol et: 10 birim, 8 ve 6 birimden uzun ama toplamları olan 14'ten kısa mı?

Kenar uzunlukları aynı kaldığı için çevre de aynıdır.

1. Şeklin çevre uzunluğunun öteleme sonrası değişip değişmediği sorulur.
2. Çevre, kenar uzunluklarının toplamıdır.
3. Ötelemede her kenar aynı uzunlukta kalır (Tablo 2'deki örnek).
4. Toplanan sayılar aynı olduğundan çevre de değişmez.

Kendini kontrol et: ABCD ve A'B'C'D' kenarlarını toplayınca ikisinde de aynı sonucu buluyor musun?

Görüntü şekille eş olduğundan alanı aynıdır.

1. Şeklin alanının öteleme sonrası değişip değişmediği sorulur.
2. Ötelemede kenar uzunlukları ve açılar korunur, yani görüntü şekille eştir.
3. Eş şekillerin kapladığı kare sayısı aynıdır.
4. Bu nedenle şeklin alanı değişmez.

Kendini kontrol et: PRS ve P'R'S' içindeki tam ve yarım kareleri saydığında aynı sayıyı buluyor musun?

Her nokta aynı yönde aynı miktarda taşındığı için nokta–görüntü uzaklıkları birbirine eşittir.

1. Şekildeki her noktanın görüntüsüne olan uzaklığının değişip değişmediği incelenir.
2. Ötelemede bütün noktalar aynı doğrultuda, aynı yönde ve aynı miktarda kaydırılır.
3. Örneğin ABCD'de her köşe görüntüsünden 6 birim, EFGH'de 7 birim uzaktadır.

Kendini kontrol et: Şeklin bir kenarının orta noktasını da ötelediğinde görüntüsüne uzaklığı köşelerinkiyle aynı mı?

Şekil belirli bir yönde ve miktarda kaydırıldığından konumu farklıdır.

1. Şeklin düzlemdeki konumunun öteleme sonrası değişip değişmediği sorulur.
2. Görselde A'B'C'D', E'F'G'H' ve P'R'S' asıl şekillerden farklı yerlerde bulunur.
3. Ötelemede her nokta belirli bir yönde ve miktarda kaydırılır.
4. Bu nedenle şeklin düzlemdeki yeri değişir.

Kendini kontrol et: Şekil ile görüntüsünün aynı karelerin üzerinde durup durmadığına bakınca ne görüyorsun?

ABCD ile aynıdır.

1. A'B'C'D' köşeleri ızgarada bulunur ve kenarları ölçülür.
2. A'B' dikey 7 kare, A'D' yatay 4 kare, C'D' dikey 3 kare: 7, 4, 3 birim.
3. B'C', 4×4 karelik alanın köşegenidir: √(4² + 4²) = 4√2 birim.
4. Açılar: A' = 90°, B' = 45°, C' = 135°, D' = 90°.

Kendini kontrol et: Dört açının toplamı 90 + 45 + 135 + 90 = 360° ediyor mu?

Izgaradan okunan köşe konumlarına göre hesaplanmıştır.

1. EFGH'nin köşeleri ızgarada bulunur; EH yatay 2 kare, HG dikey 4 kare: |HE| = 2, |GH| = 4 birim.
2. EF bir karenin köşegenidir: |EF| = √(1² + 1²) = √2 birim.
3. FG, 3×3 karelik alanın köşegenidir: |FG| = √(3² + 3²) = 3√2 birim.
4. Yatay-dikey kenarlar arasında H = 90°; FG ile GH arası G = 45°; EF ile FG dik, F = 90°.
5. Açılar toplamı 360° olduğundan E = 360° − 90° − 90° − 45° = 135°.

Kendini kontrol et: 135 + 90 + 45 + 90 toplamı dörtgen iç açıları toplamı olan 360°e eşit mi?

Öteleme uzunluk ve açıyı korur.

1. E'F'G'H' köşeleri ızgarada bulunur ve kenarları ölçülür.
2. E'H' yatay 2, H'G' dikey 4 kare: 2 ve 4 birim; E'F' = √2, F'G' = √(3²+3²) = 3√2 birim.
3. Açılar: E' = 135°, F' = 90°, G' = 45°, H' = 90°.
4. Sonuçlar EFGH ile karşılaştırılır: tüm kenar ve açılar aynıdır.

Kendini kontrol et: E'F'G'H' için bulduğun her değer EFGH'de karşılık gelen değerle aynı mı?

PRS, dik kenarları 4 birim olan ikizkenar dik üçgendir.

1. PRS üçgeninin köşeleri ızgarada bulunur.
2. PR dikey 4 kare, RS yatay 4 kare: |PR| = |RS| = 4 birim; R açısı 90°'dir.
3. Hipotenüs: |PS|² = 4² + 4² = 32, |PS| = 4√2 birim.
4. Dik kenarlar eşit olduğundan P ve S açıları (180° − 90°) ÷ 2 = 45°'dir.

Kendini kontrol et: 90 + 45 + 45 toplamı 180° ediyor mu ve 4√2 en uzun kenar mı?