Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (2.Kitap) — Sayfa 37 Cevapları

Ağdaki görüntüde A'B'C' ters yönlü (ayna görüntüsü) durumdadır; D'E'F' ise 180° döndürülmüş gibidir. Şekil ağdan okunduğu için kesinlik orta düzeydedir.

1. ABC'de dik açı B'de, A yukarıda, C sağdadır; A'B'C''de A' yine yukarıda ama C' solda kalmıştır.
2. Yukarı-aşağı aynı kalıp sağ-sol yer değiştirdiği için ABC dikey bir doğruya göre yansıtılmış, sonra aşağı ötelenmiştir.
3. DEF'de EF alt kenar ve F sağda, D sol üsttedir; D'E'F''de E'F' üst kenar, F' solda, D' sağ alttadır.
4. Hem sağ-sol hem yukarı-aşağı yer değiştirdiği için DEF 180° döndürülmüş, sonra ötelenmiştir.

Kabul edilebilir başka cevaplar: DEF'ye uygun bir nokta etrafında tek bir 180° dönme (Dönme merkezi doğru seçilirse ayrıca öteleme gerekmez.) · DEF'ye önce yatay, sonra dikey bir doğruya göre iki yansıma (ve öteleme) (Birbirine dik iki doğruya göre art arda yansıma 180° dönmeyle aynı sonucu verir.) · ABC'ye önce aşağı öteleme, sonra dikey doğruya göre yansıma (Öteleme ve yansımanın sırası değiştirilse de görüntü aynı yere getirilebilir.)

Kendini kontrol et: Kâğıda çizdiğin ABC'yi ters çevirip, DEF'yi ise 180° döndürüp kaydırınca görüntülerle çakışıyor mu?

Üçüncü açılar 30° bulunur; eşit açılar arasındaki 6 cm'lik kenar da eşittir (A.K.A.). Üçgenler eştir.

1. ADK'de |AK| = 6 cm, m(A) = 100°, m(D) = 50°; NRU'da |NR| = 6 cm, m(N) = 100°, m(U) = 50° verilmiş.
2. Üçüncü açıları bulalım: m(K) = 180° − 100° − 50° = 30°, m(R) = 180° − 100° − 50° = 30°.
3. [AK] kenarı A ve K açıları arasında, [NR] kenarı N ve R açıları arasında; ikisi de 6 cm.
4. 100° ve 30° açıları ile aralarındaki 6 cm'lik kenar eşit olduğundan A.K.A. sağlanır; üçgenler eşleşir: “+”.

Kendini kontrol et: İki üçgende de üçüncü açı 30° çıkıyor ve 6 cm'lik kenar 100° ile 30° açıları arasında mı?

Yansıma, öteleme ve dönme kenar uzunluklarını ve açı ölçülerini korur; bu yüzden görüntü üçgen asıl üçgenle eştir.

1. A'B'C' ve D'E'F', yansıma, dönme ve öteleme ile elde edilmiştir.
2. Bu dönüşümler kenar uzunluklarını ve açı ölçülerini değiştirmez.
3. Karşılıklı kenarlar ve açılar eşit olduğundan ABC ≅ A'B'C' ve DEF ≅ D'E'F' olur.

Kendini kontrol et: Kareleri sayarak AB ile A'B' ve BC ile B'C' uzunluklarının eşit olduğunu doğrulayabildin mi?

Örneğin üç kenarın eşitliği, iki kenar ve aradaki açının eşitliği ya da iki açı ve aradaki kenarın eşitliği eşlik için yeterlidir; kalanlar kendiliğinden eşit çıkar.

1. Bir üçgenin altı elemanı vardır: üç kenar ve üç açı.
2. Bazı elemanlar bilindiğinde üçgen tek türlü çizilebiliyorsa geri kalan elemanlar kendiliğinden belirlenir.
3. Örneğin üç kenar eşitse açılar da eşit çıkar; ayrıca ölçmek gerekmez.
4. Bu nedenle tüm açı ve kenarların eşitliğini göstermek gerekmez.

Kendini kontrol et: Kenarları 3, 4, 5 cm olan iki üçgen çizdiğinde açıları farklı çıkabiliyor mu?

Bu üçlülerden biri eşitse üçgen tek türlü çizilebilir; sonuçta diğer elemanlar da eşit olur. Öğrenci varsayımı sınıfta karşılaştırılır.

1. Üçgeni tek türlü çizmeye yeten en az eleman sayısı aranır; bu sayı üçtür.
2. Üç kenar verilirse üçgen tek türlü çizilir (K.K.K.).
3. İki kenar ve bunların arasındaki açı verilirse üçgen tek türlü çizilir (K.A.K.).
4. İki açı ve bunların arasındaki kenar verilirse üçgen tek türlü çizilir (A.K.A.).
5. Bu üçlülerden biri karşılıklı eşitse üçgenler eştir.

Kabul edilebilir başka cevaplar: İki açı ve bunlardan birinin karşısındaki kenar (A.A.K.) (İki açı bilinince üçüncü açı da bulunur; A.K.A. durumuna dönüşür.)

Kendini kontrol et: Seçtiğin üç elemanla iki farklı büyüklükte ya da biçimde üçgen çizebiliyor musun? Çizemiyorsan seçimin doğrudur.

Üç kenar uzunluğu bilinen tek bir üçgen çizilebildiğinden kenarları eşit iki üçgen eştir (K.K.K.).

1. Üç kenar uzunluğu verilen bir üçgen cetvel ve pergelle çizilir.
2. Aynı uzunluklarla çizilen her üçgen, öncekinin üzerine kesip konunca çakışır.
3. Üç kenar tek bir üçgen belirlediği için karşılıklı kenarları eşit üçgenler eştir (K.K.K.); cevap: yeterlidir.

Kendini kontrol et: Kenarları 6, 8, 10 cm olan iki üçgeni kesip üst üste koyduğunda tam çakışıyorlar mı?

Açı iki kenar arasındaysa (K.A.K.) üçgen tek türlü çizilir. Aksi halde farklı iki üçgen oluşabilir; bu yüzden yeterli denemez.

1. Verilen açının, eşit olan iki kenarın arasında olup olmadığına bakılır.
2. Açı iki kenarın arasındaysa üçgen tek türlü çizilir ve üçgenler eştir (K.A.K.).
3. Açı iki kenarın arasında değilse aynı ölçülerle farklı iki üçgen çizilebilir.
4. Her durumda geçerli olmadığı için “herhangi bir açı” yeterli değildir; cevap: hayır.

Kendini kontrol et: Bir kenarı 4 cm, diğeri 3 cm ve 3 cm'lik kenarın karşısında olmayan 30° açıyla iki farklı üçgen çizebiliyor musun?

Açıları eşit olan üçgenlerin kenarları farklı olabilir; örneğin küçük ve büyük eşkenar üçgenin açıları 60° olsa da eş değildirler, benzerdirler.

1. Açıları aynı olan iki üçgen çizilir: biri küçük, biri büyük.
2. Örneğin kenarı 3 cm ve 6 cm olan iki eşkenar üçgenin tüm açıları 60°'dir.
3. Bu üçgenler üst üste konunca çakışmaz; yalnız benzerdirler.
4. Bu yüzden açıların eşitliği eşlik için yeterli değildir; cevap: hayır.

Kendini kontrol et: Açıları aynı ama kenarları farklı iki üçgen çizebiliyor musun?

60° açısının karşısındaki kenar 7 cm, komşu kenar 5 cm; üçüncü kenar tek çözümle 8 cm çıkar, üçgenler eştir.

1. DHI'de |DH| = 5 cm, |DI| = 7 cm, m(H) = 60°; JKL'de |JK| = 5 cm, |KL| = 7 cm, m(J) = 60° verilmiş.
2. Her iki üçgende 60° açının bir kolu 5 cm, açının karşısındaki kenar 7 cm'dir.
3. Karşı kenar (7 cm) komşu kenardan (5 cm) uzun olduğu için pergelle çizimde tek bir üçgen oluşur.
4. Kontrol: üçüncü kenar her iki üçgende de 8 cm çıkar (49 = 25 + 64 − 40).
5. Üç kenarı da eşit olan üçgenler kesilip üst üste konunca çakışır; tabloya “+” yazılır.

Kendini kontrol et: Çizdiğin iki üçgenin üçüncü kenarını cetvelle ölçtüğünde ikisinde de yaklaşık 8 cm buluyor musun?

Eşit iki kenar ve bu kenarların arasındaki 60° açı eşit; K.A.K. ile üçgenler eştir.

1. MNO'da |MN| = 5 cm, |MO| = 8 cm, m(M) = 60°; PRS'de |PR| = 5 cm, |PS| = 8 cm, m(P) = 60° verilmiş.
2. 60°'lik M açısı [MN] ile [MO] arasında, P açısı da [PR] ile [PS] arasındadır.
3. İki kenar ve bunların arasındaki açı karşılıklı eşit olduğundan K.A.K. sağlanır.
4. Üçgenler eştir; tabloya “+” yazılır.

Kendini kontrol et: İki üçgeni çizip kestiğinde NO ve RS kenarları aynı uzunlukta çıkıyor mu?