Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (2.Kitap) — Sayfa 44 Cevapları

ABC kenarları 4,5,6; DEF kenarları 8,10,12. Oranlar 4/8=5/10=6/12=1/2 eşit olduğundan K.K.K. ile üçgenler benzerdir, açılar eşittir.

1. ABC'nin kenarları 4, 5, 6 cm; DEF'nin kenarları 8, 10, 12 cm (küçükten büyüğe sıralandı).
2. Karşılıklı kenar oranları: 4/8 = 1/2, 5/10 = 1/2, 6/12 = 1/2; hepsi eşit.
3. Üç kenar oranı eşit olduğundan K.K.K. ile üçgenler benzerdir; karşılıklı açılar da eşit olur.

Kendini kontrol et: En küçük kenarı en küçükle, en büyüğü en büyükle eşleştirdiğinde tüm oranlar 1/2 mi?

Eş açıyı oluşturan kenar oranları 6/2=3 ve 15/3=5 olup eşit değildir. K.A.K. sağlanmaz, diğer açılar eşit olmaz; üçgenler benzer değildir.

1. DHI'de 120°'lik H açısını [DH] = 6 cm ve [HI] = 15 cm; JKL'de 120°'lik J açısını [JK] = 2 cm ve [JL] = 3 cm oluşturur.
2. Eş açının kollarının oranları: 6/2 = 3 ve 15/3 = 5; eşit değil (ters eşleme 6/3 = 2, 15/2 = 7,5 de eşit değil).
3. K.A.K. benzerlik koşulu sağlanmaz; çizimde diğer karşılıklı açıların da farklı olduğu görülür.

Kendini kontrol et: Eş açının kolları için iki eşlemeyi de denedin mi; hiçbirinde oranlar eşit çıkıyor mu?

Oranlar 4/8 ve 6/12 eşit görünse de [RS], P açısını oluşturan kenar değil (P açısının karşısındadır). Üçüncü kenarlar hesaplanınca oran tutmaz; benzerlik söylenemez.

1. MNO'da 40°'lik M açısını [MN] = 4 cm ve [MO] = 6 cm oluşturur; PRS'de P açısını [PR] = 8 cm ve [PS] oluşturur.
2. Dikkat: 12 cm'lik [RS], P açısının kolu değil, karşısındaki kenardır; bu yüzden 4/8 = 6/12 karşılaştırması K.A.K. için kullanılamaz.
3. Çizimde üçüncü kenarlar yaklaşık |NO| ≈ 3,9 cm ve |PS| ≈ 17 cm ölçülür; oranlar 8/4 = 2 ile 17/6 ≈ 2,8 eşit değildir.
4. Diğer açılar da farklı çıkar (yaklaşık 99°, 41° ile 115°, 25°); yalnız 40° ortaktır.

Kendini kontrol et: Oranını aldığın kenarların ikisi de 40°'lik açının köşesinden çıkıyor mu?

İki açı eşit olduğundan A.A. ile üçgenler benzerdir; üçüncü açılar da 30° olur ve karşılıklı kenarların oranı eşittir.

1. TUV'de m(T) = 80°, m(U) = 70°; YZW'de m(Y) = 80°, m(Z) = 70° verilmiş.
2. Üçüncü açılar: m(V) = 180° − 80° − 70° = 30°, m(W) = 30°; tüm karşılıklı açılar eşittir.
3. İki açısı eşit üçgenler A.A. benzerlik kuralıyla benzerdir; bu durumda karşılıklı kenarların oranı da eşit olur.

Kendini kontrol et: Üçüncü açıları hesapladığında ikisi de 30° çıkıyor mu?

Yalnız bir açı eşit ve bir kenar çifti verilmiş; açıyı oluşturan diğer kenarlar ya da ikinci bir açı bilinmiyor. Benzerlik koşulu sağlanmadığından benzer denemez.

1. NRU'da yalnız |NR| = 9 cm ve m(N) = 100°; ADK'de yalnız |AK| = 3 cm ve m(A) = 100° verilmiş.
2. Bir açı eşit, fakat bu açıyı oluşturan ikinci kenarlar ve başka bir açı bilinmiyor.
3. Bu verilerle farklı biçimlerde birçok üçgen çizilebilir; A.A., K.A.K. veya K.K.K. koşullarından hiçbiri kontrol edilemez.

Kendini kontrol et: Aynı verilerle biçimi farklı iki üçgen çizebiliyor musun? Çizebiliyorsan benzerlik söylenemez.

Tablodan çıkan sonuçlar: K.K.K., A.A. ve K.A.K. koşulları benzerlik verir. Tek açı ve tek kenar bilgisi yetmez.

1. Tablodaki her satırda üçgenlerin hangi koşulla benzer çıktığına bak.
2. ABC–DEF satırından kenar oranları eşitse açıların da eşit olduğunu çıkar (K.K.K.).
3. TUV–YZW satırından iki açısı eşit üçgenlerin benzer olduğunu çıkar (A.A.).
4. Benzer çıkmayan satırlardan tek açı ve uygun olmayan kenarların yetmediğini not et; bulguları örnekteki gibi tam cümleyle yaz.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Karşılıklı bir açısı eş olan üçgenlerde bu açıyı oluşturan kenarların oranı eşit değilse üçgenler benzer değildir. (DHI–JKL satırından çıkarılan genelleme olarak yazılırsa)

Kendini kontrol et: Yazdığın her genelleme tablodaki en az bir satırla destekleniyor mu?

Daha fazla üçgen çifti denendiğinde bu üç durum benzerlik verir; açıyı oluşturmayan kenarların oranı ise yetmez.

1. Grupta farklı üçgen çiftleri çizip açılarını ölçün ve kenar oranlarını hesaplayın.
2. Hangi verilerin benzerliği her zaman sağladığını belirleyin: iki açı, üç kenar oranı, bir açı ve kollarının oranı.
3. Bulguları örnekteki gibi koşul–sonuç biçiminde önerme olarak yazın.

Kabul edilebilir başka cevaplar: İki üçgenin karşılıklı iki açısının ölçüsü eşitse üçgenler benzerdir. (Grubun yalnız A.A. benzerliğini önerme olarak yazması durumunda) · İki üçgenin karşılıklı üç kenar uzunluğu orantılı ise üçgenler benzerdir. (Grubun yalnız K.K.K. benzerliğini önerme olarak yazması durumunda)

Kendini kontrol et: Önermen için bir karşı örnek çizilebiliyor mu? Çizilemiyorsa genelleme doğrudur.

Güneş ışınları aynı açıyla gelir ve ağaç ile direk yere diktir. İki açı eş olduğundan A.A. ile üçgenler benzerdir; gölge oranından ağacın boyu bulunur.

1. Günlük hayatta benzer üçgen oluşan bir durum seç: ağaç ve direğin aynı anda düşen gölgeleri.
2. Ağaç ve direk yere dik olduğundan ikisi de gölgeleriyle 90° açı yapar.
3. Güneş ışınları aynı anda yere aynı açıyla gelir; ikinci açılar da eşittir.
4. İki açı eş olduğundan A.A. ile üçgenler benzerdir; ağacın boyu/direğin boyu = ağacın gölgesi/direğin gölgesi.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Fotoğrafın büyütülmüş kopyasındaki üçgen biçimli bir nesne ile asıl fotoğraftaki hâli (Büyütme oranı her yönde aynıysa (K.K.K. ile)) · Bir rampa ile ona paralel desteklerin oluşturduğu iç içe üçgenler (Destekler yere dik ve birbirine paralelse (A.A. ile))

Kendini kontrol et: Seçtiğin örnekte iki açının neden eşit olduğunu açıkça gösterebiliyor musun?