Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 9. Sınıf Ders Kitabı (2. Kitap)›Sayfa 66
Matematik 9. Sınıf Ders Kitabı (2. Kitap) — Sayfa 66 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
1Öklid teoremini ve verilenleri inceleme yönergesi
Çözüm Yolu
Dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
- Teorem cümlesini oku: hipotenüse ait yükseklik h, ayırdığı parçalar p ve k'dir.
- Şekilde verilenleri eşleştir: m(BAC) = 90°, AH ⊥ BC, |BH| = p, |HC| = k, |AH| = h.
- Teoremi bu harflerle yaz: yüksekliğin karesi parçaların çarpımına eşittir, yani h² = p·k.
- h² = p·a veya h² = a·k yazmak — çarpımda hipotenüsün tamamı değil, ayrılan iki parça p ve k kullanılır.
- h'yi AB ya da AC kenarı sanmak — h, A'dan hipotenüse inen AH dikmesidir.
Kendini kontrol et: Yazdığın ifadede yalnızca h, p ve k harfleri mi var?
2Yüksekliğin çizilmesiyle oluşan ABH ve ACH üçgenleriyle ispat fikrini açıklama
Çözüm Yolu
İki üçgende de dik açı ve eşit birer dar açı vardır; benzerlikten orantı yazılıp içler dışlar çarpımı yapılır.
- AH yüksekliği çizilince ABH ve ACH adlı iki dik üçgen oluştuğunu belirle.
- Bu iki üçgende birer dik açı ve eşit birer dar açı bulunduğunu göster: m(B) = m(CAH).
- A.A. kuralıyla ABH ~ CAH olduğunu söyle.
- Karşılıklı kenarları oranla: |BH|/|AH| = |AH|/|CH|, yani p/h = h/k.
- İçler dışlar çarpımı yaparak h² = p·k sonucuna ulaşılacağını açıkla.
Kabul edilebilir başka cevaplar: ABH ve ACH üçgenlerinde Pisagor yazılıp c² + b² = (p + k)² ile birleştirilerek h² = p·k gösterilebilir. (Benzerlik yerine Pisagor bağıntısı kullanılan bir ispat fikri kabul edilirse geçerlidir.)
- Üçgenleri yanlış köşe sırasıyla eşleştirmek (ABH ~ ACH) — B açısı CAH açısına eşittir; eşleşme A↔C, B↔A olmalı.
- Benzerliği yalnızca dik açıya dayandırmak — A.A. için ikinci bir eşit açı da gösterilmelidir.
Kendini kontrol et: Kurduğun orantıda içler dışlar çarpımı yapınca h² = p·k çıkıyor mu?
3BAC, ABH, ACH üçgenleri arasındaki benzerlik kuralı
Çözüm Yolu
BAC ile BHA'da B açısı ortak, A ve H dik açıdır; BAC ile AHC'de C açısı ortak, A ve H dik açıdır. İki açısı eşit üçgenler benzerdir; köşeler eşleşen açılara göre sıralanır.
- BAC ve BHA üçgenlerinde B açısı ortaktır; m(BAC) = m(BHA) = 90° olduğundan iki açı eşittir.
- İki açısı eşit üçgenler A.A. benzerlik kuralıyla benzerdir: BAC ~ BHA.
- BAC ve AHC üçgenlerinde C açısı ortaktır; m(BAC) = m(AHC) = 90° olduğundan A.A. ile BAC ~ AHC olur.
- İki üçgen de BAC'ye benzer olduğundan üçü birbirine benzerdir: BAC ~ BHA ~ AHC.
- Köşeleri sırasız yazmak (ör. BAC ~ ABH) — eşit açılı köşeler aynı sırada yazılmazsa kenar orantıları yanlış kurulur.
- Yalnız dik açıların eşitliğini göstermek — A.A. kuralı için ikinci bir eşit açı (ortak B veya C açısı) da gerekir.
Kendini kontrol et: Yazdığın benzerlikte aynı sıradaki köşelerin açıları eşit mi? Örneğin BAC ~ BHA'da A ve H dik açı mı?
4ABH ve CAH benzerliğine göre kenarlar arası ilişki
Çözüm Yolu
m(B) = m(CAH), m(BAH) = m(C), m(H) = 90° olduğundan ABH ~ CAH; karşılıklı kenarların oranları eşittir.
- ABH ve CAH dik üçgenlerinde m(AHB) = m(CHA) = 90°.
- m(B) = m(CAH) ve m(BAH) = m(C) olduğundan ABH ~ CAH (A.A.); eşleşme A↔C, B↔A, H↔H.
- Karşılıklı kenarlar oranlanır: |AB|/|CA| = |BH|/|AH| = |AH|/|CH|.
- Harflerle yazılırsa c/b = p/h = h/k bulunur.
- p/k = h/h gibi aynı üçgenin kenarlarını oranlamak — her oranda pay bir üçgenden, payda diğer üçgenden olmalı.
- c/b yerine b/c yazıp diğer oranları düz bırakmak — tüm oranlarda aynı üçgen payda kalmalıdır.
Kendini kontrol et: Her oranın payı ABH'den, paydası CAH'den mi geliyor?
5İspatın tamamlanıp tamamlanmadığını izlenen adımlarla gerekçelendirme
Çözüm Yolu
İstenen ifade h² = p·k idi; benzerlik kuralı ve orantı adımları sonunda aynen elde edildiği için ispat tamdır.
- İspatlanacak ifadeyi hatırla: h² = p·k.
- İzlenen adımları sırala: yükseklik çizildi, ABH ~ CAH gösterildi, orantı yazıldı.
- Orantıdan p/h = h/k seçilip içler dışlar çarpımıyla h² = p·k elde edildiğini belirt.
- Sonuç ispatlanacak ifadeyle aynı olduğundan ispatın tamamlandığını gerekçelendir.
- Yalnızca benzerliği göstermekle ispatı bitmiş saymak — orantıdan h² = p·k çıkarılmadan ispat tamamlanmaz.
Kendini kontrol et: Son adımda elde ettiğin eşitlik, 1. maddedeki ispatlanacak ifadeyle birebir aynı mı?
6Benzerlikle b² = k·a ve c² = p·a eşitliklerini gösterme
Çözüm Yolu
BAC ~ AHC'den b/k = a/b; BAC ~ HBA'dan c/p = a/c yazılır; içler dışlar çarpımı yapılır.
- Verilenler: m(BAC) = 90°, AH ⊥ BC, |BH| = p, |HC| = k, |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c.
- BAC ve AHC dik üçgenlerinde C açısı ortak olduğundan BAC ~ AHC (A.A.).
- Karşılıklı kenar oranı: |BC|/|AC| = |AC|/|HC|, yani a/b = b/k; içler dışlar çarpımıyla b² = k·a.
- BAC ve AHB dik üçgenlerinde B açısı ortak olduğundan BAC ~ HBA; a/c = c/p yazılır.
- İçler dışlar çarpımıyla c² = p·a elde edilir.
- b² = p·a yazmak — b kenarı C'ye bitişiktir; C tarafındaki parça k ile çarpılmalıdır.
- Hipotenüs a yerine yükseklik h ile çarpmak — dik kenarın karesi kendi tarafındaki parça ile hipotenüsün çarpımıdır.
Kendini kontrol et: b² + c² = k·a + p·a = a(p + k) = a² olup Pisagor'la uyuşuyor mu?