Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (2.Kitap)›Sayfa 69
Matematik 9.Sınıf Ders Kitabı (2.Kitap) — Sayfa 69 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
1Pisagor teoreminin ifadesini ve verilen dik üçgen şeklini incelemek.
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Bu madde yalnızca teoremi ve verilenleri okumayı ister; hesap gerektirmez.
- Teoremi oku: dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
- Şekilde dik açının C köşesinde olduğunu belirle; m(ACB) = 90°.
- Dik açının karşısındaki AB kenarının hipotenüs olduğunu ve uzunluğunun c olduğunu not et.
- Dik kenarlar |BC| = a ve |AC| = b olduğundan ispatlanacak ifadeyi a² + b² = c² olarak yaz.
- Hipotenüsü herhangi bir uzun kenar sanmak — hipotenüs her zaman dik açının karşısındaki kenardır.
- a, b, c harflerini köşelerle karıştırmak — a, A'nın değil C'ye bitişik BC kenarının uzunluğudur.
Kendini kontrol et: Dik açının karşısındaki kenar c mi ve eşitliğin tek tarafında yalnız c² mi var?
2Teoremin Öklid teoremiyle nasıl ispatlanabileceği fikrini arkadaşlarla paylaşmak.
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Yükseklik çizilince üç dik üçgen birbirine benzer olur; benzerlik oranlarından a² ve b² hipotenüs parçalarıyla ifade edilir.
- Öklid teoreminin dik üçgende hipotenüse çizilen yükseklikle ilgili olduğunu hatırla.
- C köşesinden hipotenüs AB'ye bir dikme (yükseklik) çizmeyi öner.
- Oluşan iki küçük dik üçgenin ABC üçgenine benzer olduğunu belirt.
- Benzerlik oranlarından a² ve b²'yi hipotenüs parçalarıyla ifade edip toplamayı planla.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Yükseklik çizilip Öklid'in dik kenar bağıntıları (b² = c·|AH|, a² = c·|HB|) doğrudan kullanılır ve taraf tarafa toplanır. (Öklid bağıntıları önceden biliniyor ve benzerlikle tekrar türetilmiyorsa geçerlidir.)
- Dikmeyi A veya B köşesinden çizmek — Öklid bağıntıları için dikme dik açılı C köşesinden hipotenüse inilmelidir.
Kendini kontrol et: Önerdiğin yolda a² ve b², hipotenüsün iki parçası ve c ile yazılabiliyor mu?
3Öklid'e uygun çizim yapıp oluşan dik üçgenlerle ACB arasındaki benzerlik kuralını yazmak.
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
C'den hipotenüse CH dikmesi çizilince ACH ve ABC'de A ortak açı ve birer dik açı vardır; CBH ve ABC'de B ortaktır. İki açı eşit olduğundan üçgenler benzerdir.
- ACB dik üçgeninde C'den hipotenüs AB'ye CH dikmesini çizelim; ACH ve CBH dik üçgenleri oluşur.
- ACH ile ABC: A açısı ortak, H ve C açıları 90°; iki açı eşit.
- CBH ile ABC: B açısı ortak, H ve C açıları 90°; iki açı eşit.
- İki açısı eşit olan üçgenler AA kuralına göre benzer olduğundan ACH ~ ABC ~ CBH yazılır.
- Köşeleri yanlış sırayla eşlemek — benzerlikte eşit açılar aynı sırada yazılmalı; ACH ~ ABC'de A↔A, C↔B, H↔C eşleşir.
- Kenar ölçüsü olmadan KAK veya KKK kuralını kullanmaya çalışmak — burada yalnız açılar bilindiğinden AA kuralı kullanılır.
Kendini kontrol et: Her küçük üçgende ABC ile ortak bir açı ve bir dik açı gösterebiliyor musun?
4İki dik üçgenle ACB arasındaki benzerlikten karşılıklı kenarlar arasındaki ilişkiyi yazmak.
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenar oranları eşittir; içler dışlar çarpımı yapılır.
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir.
- ACH ~ ABC'den |AC|/|AB| = |AH|/|AC| yazılır; içler dışlar çarpımıyla b² = c·|AH| bulunur.
- CBH ~ ABC'den |BC|/|AB| = |HB|/|BC| yazılır; buradan a² = c·|HB| bulunur.
- Kontrol: iki eşitlik toplanınca a² + b² = c(|AH|+|HB|) = c² olur.
- Karşılıklı olmayan kenarları oranlamak — oranlanan kenarlar eşit açıların karşısındaki kenarlar olmalıdır.
- b²'yi |HB| ile eşleştirmek — b = |AC| kenarına komşu parça |AH|'dir, bu yüzden b² = c·|AH| olur.
Kendini kontrol et: Her eşitlikte dik kenar, kendisine bitişik hipotenüs parçasıyla mı eşleşti?
5İspatın tamamlanıp tamamlanmadığını izlenen adımlara dayanarak gerekçelendirmek.
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
4. adımdaki iki eşitlik toplanır; |AH|+|HB| = |AB| = c olduğundan a²+b² = c² elde edilir ve teorem ispatlanmış olur.
- 4. adımdaki iki eşitliği yaz: a² = c·|HB| ve b² = c·|AH|.
- İki eşitliği taraf tarafa topla: a² + b² = c·|HB| + c·|AH|.
- Sağ tarafta c'yi ortak paranteze al: a² + b² = c(|HB| + |AH|).
- H, AB üzerinde olduğundan |HB| + |AH| = |AB| = c; böylece a² + b² = c·c = c² olur ve ispat tamamlanır.
- |AH| + |HB| = c olduğunu gerekçelendirmeden yazmak — H noktasının AB doğru parçası üzerinde olduğu belirtilmelidir.
- Eşitlikleri toplamak yerine çarpmak — a² + b² elde etmek için taraf tarafa toplama yapılmalıdır.
Kendini kontrol et: Son satırda elde ettiğin eşitlik, 1. adımdaki ispatlanacak ifadeyle aynı mı?