Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 144 Cevapları

18 = 2¹·3² için (1+1)(2+1) = 6 bölen vardır. 64 = 2⁶ tek asal çarpanla 7 bölene, 6 = 2·3 iki asal çarpanla 4 bölene sahiptir.

1. Sayıyı asal çarpanlarına ayırıp üslü yaz; örneğin 24 = 2³·3¹.
2. Her üssün bir fazlasını bul: 3 + 1 = 4 ve 1 + 1 = 2.
3. Bu değerleri çarp: 4·2 = 8; tablodaki 24'ün bölen sayısı da 8'dir.
4. Farklı sayılarla karşılaştır: 64 = 2⁶ tek asal çarpanla 7, 6 = 2·3 iki asal çarpanla 4 bölenlidir.

Kendini kontrol et: Formülle bulduğun bölen sayısı, bölenleri tek tek sayarak bulduğun sayıyla aynı mı?

24'ün bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24'tür. En az 2 kişi ve en az 2 grup istendiğinden 1 ve 24 elenir; 6 seçenek kalır.

1. Gruplar eşit olacağından gruptaki öğrenci sayısı 24'ün böleni olmalı: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
2. Grupta en az 2 kişi olmalı; 1 elenir.
3. En az 2 grup olmalı; 24 kişilik tek grup olamaz, 24 elenir.
4. Kalan seçenekler 2, 3, 4, 6, 8, 12; yani 6 farklı şekilde belirlenebilir.

Kendini kontrol et: 24 = 2³·3 için (3+1)(1+1) = 8 bölen var; 2 tanesini elediğinde 6 kalıyor mu?

Her gruba farklı proje verildiğinden proje sayısı grup sayısına eşittir; grup sayısı 24'ün 1 ve 24 dışındaki bölenleridir: 12, 8, 6, 4, 3, 2.

1. Her gruba farklı bir proje verildiği için proje sayısı grup sayısına eşittir.
2. Grup sayısı = 24 ÷ gruptaki öğrenci sayısı: 24÷2=12, 24÷3=8, 24÷4=6, 24÷6=4, 24÷8=3, 24÷12=2.
3. Proje sayısı 12, 8, 6, 4, 3 veya 2 olabilir; yani 6 farklı şekilde belirlenebilir.

Kendini kontrol et: Her seçenekte gruptaki öğrenci sayısı × proje sayısı 24 ediyor mu?

Grup başına öğrenci sayısı ile grup (proje) sayısının çarpımı toplam öğrenci sayısına, 24'e eşittir; ikisi de 24'ün bölenidir ve birbirinin tamamlayıcısıdır.

1. Bir örnek alalım: 4 kişilik gruplarla 24 ÷ 4 = 6 grup, yani 6 proje olur.
2. Başka bir örnek: 3 kişilik gruplarla 8 proje olur; 3·8 = 24.
3. Her durumda gruptaki öğrenci sayısı × proje sayısı = 24 olduğunu görürüz.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Gruptaki öğrenci sayısı arttıkça proje sayısı azalır; ikisi de 24'ün bölenidir. (Çarpımın 24 olduğu da belirtilirse ilişkiyi anlatan geçerli bir açıklamadır.)

Kendini kontrol et: Gruptaki öğrenci sayısı arttıkça proje sayısı azalıyor ve çarpım hep 24 mü?

Eşit paylaşım, grup oluşturma ve paketleme gibi günlük durumlarda kaç farklı düzenleme olduğunu kısa sürede belirlemeye yarar.

1. 24 = 2³·3 için önermeyi uygulayalım: (3+1)(1+1) = 8 bölen, bölenleri tek tek yazmadan bulunur.
2. Koşullara göre gereksiz seçenekleri (1 ve 24) çıkararak cevaba hızla ulaşıldığını görelim.
3. Gerçek yaşamdan örnek düşünelim: eşit paylaşım, paketleme, sıra düzenleme gibi durumlar.
4. Büyük sayılarda bölenleri tek tek yazmanın uzun sürdüğünü, önermenin zaman kazandırdığını belirtelim.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Önerme, eşit gruplara ayırma ve paketleme problemlerinde kaç farklı seçenek olduğunu hemen gösterir. (Gerçek yaşam kullanışlılığını örnekle anlatan cevap olarak geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Önermeyi kullanarak 72 kg unun kaç farklı biçimde paketlenebileceğini hızla bulabiliyor musun?

Genelleme Tablo 2'deki sayılarda denendiğinde tutar; tablonun doldurulması aşağıdaki satırlardadır.

1. Sayıyı asal çarpanlarına ayırıp üslü yazalım: n = a^x·b^y·c^z.
2. Her üsse 1 ekleyelim: x+1, y+1, z+1.
3. Bunları çarpalım: bölen sayısı (x+1)(y+1)(z+1).
4. Genellemeyi Tablo 2'deki 25, 30, 36, 48, 53, 64 için deneyip bölen listeleriyle karşılaştıralım.

Kendini kontrol et: Genellemen örnekteki 18 = 2·3² için 6 bölen veriyor mu?

25 = 5²; bölen sayısı 2+1=3.

1. Tablo 2'deki 25 satırı için asal çarpanlar, pozitif bölenler ve bölen sayısı isteniyor.
2. 25'i asal çarpanlarına ayırırız: 25 = 5·5 = 5².
3. 25'i tam bölen pozitif sayılar: 1, 5, 25.
4. Üssün bir fazlası: 2+1 = 3; listede de 3 bölen olduğundan pozitif bölen sayısı 3'tür.

Kendini kontrol et: Formülle bulduğun 3, listedeki bölen sayısıyla aynı mı?

30 üç farklı asal çarpanın çarpımıdır; bölen sayısı 2·2·2=8.

1. Tablo 2'deki 30 satırı için asal çarpanlar, pozitif bölenler ve bölen sayısı isteniyor.
2. 30'u asal çarpanlarına ayırırız: 30 = 2·3·5 = 2¹·3¹·5¹.
3. 30'u tam bölen pozitif sayılar: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
4. Üslerin birer fazlasını çarparız: (1+1)·(1+1)·(1+1) = 2·2·2 = 8.
5. Kontrol: listede 8 bölen var; pozitif bölen sayısı 8'dir.

Kendini kontrol et: Formülle bulduğun 8, listedeki bölen sayısıyla aynı mı?

36 = 2²·3²; bölen sayısı 3·3=9.

1. Tablo 2'deki 36 satırı için asal çarpanlar, pozitif bölenler ve bölen sayısı isteniyor.
2. 36'yı asal çarpanlarına ayırırız: 36 = 2·2·3·3 = 2²·3².
3. 36'yı tam bölen pozitif sayıları sıralarız: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
4. Üslerin birer fazlasını çarparız: (2+1)·(2+1) = 3·3 = 9.
5. Kontrol: listede 9 bölen var; pozitif bölen sayısı 9'dur.

Kendini kontrol et: Formülle bulduğun 9, listedeki bölen sayısıyla aynı mı?

48 = 2⁴·3; bölen sayısı 5·2=10.

1. Tablo 2'deki 48 satırı için asal çarpanlar, pozitif bölenler ve bölen sayısı isteniyor.
2. 48'i asal çarpanlarına ayırırız: 48 = 2·2·2·2·3 = 2⁴·3¹.
3. 48'i tam bölen pozitif sayılar: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
4. Üslerin birer fazlasını çarparız: (4+1)·(1+1) = 5·2 = 10.
5. Kontrol: listede 10 bölen var; pozitif bölen sayısı 10'dur.

Kendini kontrol et: 2⁴·3 = 16·3 = 48 ediyor mu ve listede 10 bölen var mı?

53 asal sayıdır; bölen sayısı 2.

1. Tablo 2'deki 53 satırı için asal çarpanlar, pozitif bölenler ve bölen sayısı isteniyor.
2. 53, 2, 3, 5 ve 7'ye bölünmez; 7·7=49 < 53 < 64 olduğundan 53 asaldır: 53 = 53¹.
3. Asal sayının pozitif bölenleri yalnız 1 ve kendisidir: 1, 53.
4. Üssün bir fazlası: 1+1 = 2; pozitif bölen sayısı 2'dir.

Kendini kontrol et: 53, 2, 3, 5 veya 7'den birine kalansız bölünüyor mu?

64 = 2⁶; bölen sayısı 6+1=7.

1. Tablo 2'deki 64 satırı için asal çarpanlar, pozitif bölenler ve bölen sayısı isteniyor.
2. 64'ü sürekli 2'ye böleriz: 64 = 2·2·2·2·2·2 = 2⁶.
3. Pozitif bölenler 2'nin kuvvetleridir: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.
4. Üssün bir fazlasını alırız: 6+1 = 7.
5. Kontrol: listede 7 bölen var; pozitif bölen sayısı 7'dir.

Kendini kontrol et: 2'yi 6 kez çarpınca 64 buluyor musun ve listede 7 bölen var mı?

Asal çarpanların üslerinin 1 fazlalarının çarpımı bölen sayısını verir.

1. Sayının 1'den büyük bir doğal sayı olduğunu belirtelim.
2. Sayıyı asal çarpanlarının üslü çarpımı olarak yazalım: n = p₁^a·p₂^b·…·pₖ^m.
3. Her üssün bir fazlasını alıp çarparak bölen sayısını ifade edelim: (a+1)(b+1)…(m+1).
4. Önermeyi "… ise … olur" kalıbıyla tek cümlede yazalım.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Bir doğal sayının pozitif bölen sayısı, asal çarpanlarının üslerinin birer fazlasının çarpımına eşittir. (Sembol kullanmadan sözel olarak ifade edildiğinde geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Önermen 18 = 2·3² için 6, 53 için 2 bölen veriyor mu?