Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 148 Cevapları

36 = 2²·3² olduğundan pozitif bölen sayısı (2+1)(2+1) = 9'dur.

1. 36 elma, her sırada eşit sayıda olacak biçimde dizilecek; farklı sıra düzenleri isteniyor.
2. Her sıradaki elma sayısı 36'yı tam bölmelidir.
3. 36 = 2²·3² olduğundan bölen sayısı (2+1)·(2+1) = 9 olur.
4. Bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Kendini kontrol et: Bulduğun bölenleri çiftler hâlinde (1·36, 2·18, 3·12, 4·9, 6·6) yazınca 9 farklı sayı çıkıyor mu?

p=3: 2²·(2³-1)=28; p=5: 2⁴·(2⁵-1)=496. 28: 1+2+4+7+14=28. 496: 1+2+4+8+16+31+62+124+248=496.

1. Teoreme göre 2^p − 1 asal ise 2^(p−1)·(2^p − 1) mükemmel sayıdır.
2. p=2: 2·3 = 6 (tek basamaklı). p=3: 2³−1 = 7 asal, 2²·7 = 28 (iki basamaklı).
3. p=4: 15 asal değil. p=5: 31 asal, 2⁴·31 = 496 (üç basamaklı). p=6: 63 asal değil; p=7 dört basamaklı verir.
4. Kontrol: 28 için 1+2+4+7+14 = 28.
5. Kontrol: 496 için 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496. Sonuç: 28 ve 496.

Kendini kontrol et: 28'in kendisi hariç bölenlerinin toplamı tam 28 ediyor mu?

Çarpım kartlar arttıkça büyür (kartlar 1'den büyük); 1·2·2·2·3·3 = 72. 1 kartı çarpımı değiştirmez, tek başına 1 verir.

1. Kartlar 1, 2, 2, 2, 3, 3; 1'den büyük her kart çarpımı büyütür.
2. En büyük sayı için tüm kartlar çarpılır: 1·2·2·2·3·3 = 72.
3. En küçük sayı için yalnız 1 kartı seçilir; çarpım 1 olur.

Kendini kontrol et: 2³·3² = 8·9 = 72 ediyor mu?

Sayılar 2^a·3^b biçimindedir; a 0-3 (4 seçenek), b 0-2 (3 seçenek). 4·3 = 12.

1. Kartlar 1, 2, 2, 2, 3, 3; seçilen kartların çarpımı kaç farklı sayı verir?
2. 1 kartı çarpımı değiştirmez; çarpım 2^a·3^b biçiminde olur.
3. 2'nin üssü a: 0, 1, 2, 3 olabilir (4 seçenek); 3'ün üssü b: 0, 1, 2 olabilir (3 seçenek).
4. Farklı sayı adedi: 4·3 = 12.

Kendini kontrol et: Oluşan sayıları listeleyince 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 olmak üzere 12 tane mi?

72 = 2³·3²'nin 12 bölenini de 2^a·3^b biçiminde oluşturabiliriz.

1. En büyük sayı 72 = 2³·3²'dir.
2. Oluşan her sayı 2^a·3^b biçimindedir; a ≤ 3 ve b ≤ 2 olduğundan 72'yi tam böler.
3. 72'nin bölen sayısı (3+1)·(2+1) = 12'dir; b şıkkında da 12 sayı bulunmuştu.

Kendini kontrol et: Oluşturduğun her sayıyla 72'yi böldüğünde kalan 0 çıkıyor mu?

3 bölenli sayılar asal sayının karesidir; 1000'den küçük olanlar 2²'den 31²'ye kadar 11 tanedir. İpek 11'den büyük en küçük asal sayıdır: 13.

1. Bölen sayısı 3 olan sayılar bir asal sayının karesidir (1, p, p²).
2. p² < 1000 için p ≤ 31 olmalı: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.
3. Bu asallar 11 tane; Kemal 11 yaşındadır.
4. Bölen sayısı 2 olan sayılar asaldır; 11'den büyük en küçük asal 13'tür.

Kendini kontrol et: 31² = 961 < 1000 ve 37² = 1369 > 1000 olduğunu kontrol ettin mi; 13'ün yalnız 2 böleni var mı?

40 = 2³·5 olduğundan pozitif bölen sayısı (3+1)(1+1) = 8'dir.

1. 40 kişi, her masada eşit sayıda kişi olacak biçimde masalara dağıtılacak; kaç farklı planlama olduğu isteniyor.
2. Masa başına kişi sayısı 40'ı tam bölmeli; yani 40'ın pozitif bölenleri aranıyor.
3. 40'ı asal çarpanlarına ayıralım: 40 = 2³·5.
4. Bölen sayısı üslerin birer fazlasının çarpımıdır: (3+1)·(1+1) = 8.
5. Kontrol: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. Sonuç: 8 farklı planlama.

Kendini kontrol et: Masa sayısı × masadaki kişi sayısı her planlamada 40 ediyor mu?

Çok az veya çok fazla masa yerleşimi zorlaştırır; orta büyüklükte gruplar (8 masa, masada 5 kişi) hem düzen hem iletişim açısından kolaydır.

1. 8 planlamayı yaz: masada 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 veya 40 kişi.
2. Uç durumları ele: 40 masa (masada 1 kişi) ya da 1 masa (40 kişi) pratik değildir.
3. Orta büyüklükteki seçenekleri karşılaştır: masa sayısı ve masadaki kişi sayısı makul olmalı.
4. Seçimini yer, iletişim ve servis kolaylığı gibi nedenlerle açıkla; örnek: 8 masa, masada 5 kişi.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Masa başına 4 kişi, 10 masa (Küçük gruplarla daha rahat iletişim ve standart masa boyu gerekçesiyle savunulursa geçerlidir.) · Masa başına 8 kişi, 5 masa (Daha az masa ile yerleşimin ve servisin kolaylaşacağı gerekçesiyle savunulursa geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Seçtiğin masa sayısı ile masadaki kişi sayısının çarpımı 40 mı ve nedenini açıkça yazdın mı?

Parça sayısı 120'nin böleni, en az 3 olmalı ve parça boyu en az 3 cm olduğundan en çok 40 olabilir: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40.

1. 120 cm tel eşit parçalara bölünecek; parça sayısı en az 3, parça boyu en az 3 cm olmalı.
2. Parça sayısı 120'nin böleni olmalı: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.
3. Parça sayısı 3'ten az olamaz; 1 ve 2 elenir.
4. Parça boyu en az 3 cm ise parça sayısı en çok 120 ÷ 3 = 40 olur; 60 ve 120 elenir.
5. Kalanlar: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40. Sonuç: 12 farklı değer.

Kendini kontrol et: 120 = 2³·3·5 olduğundan toplam bölen sayısı 4·2·2 = 16; 4 eleme sonrası 12 kalıyor mu?

Uzunluk = 120 ÷ parça sayısıdır; 4a'daki her parça sayısına karşılık gelen uzunluklar bunlardır.

1. Parça uzunluğu = 120 ÷ parça sayısı.
2. 4a'daki parça sayıları: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40.
3. Uzunluklar: 120÷3 = 40, 120÷4 = 30, 120÷5 = 24, 120÷6 = 20, 120÷8 = 15, 120÷10 = 12.
4. 120÷12 = 10, 120÷15 = 8, 120÷20 = 6, 120÷24 = 5, 120÷30 = 4, 120÷40 = 3.

Kendini kontrol et: Her uzunluk ile karşılık gelen parça sayısının çarpımı 120 ediyor mu?

Kenarların çarpımı 60 olmalı; 60'ın bölen çiftleri alınır.

1. Dikdörtgenin alanı 60 m², kenarlar tam sayı; kenar uzunlukları isteniyor.
2. Kenarların çarpımı 60 olmalı; bu yüzden 60'ın bölenlerini çiftler hâlinde yazalım.
3. 60 = 1·60 = 2·30 = 3·20 = 4·15 = 5·12 = 6·10.

Kendini kontrol et: Yazdığın her çiftte iki kenarın çarpımı 60 m² ediyor mu?

Çevre 2(a+b) metre, her metre 600 TL: örneğin 6x10 için 32·600 = 19 200 TL.

1. Her dikdörtgen için çevre 2·(a+b) metre, çit maliyeti çevre·600 TL'dir.
2. 1x60: çevre 122 m, maliyet 122·600 = 73 200 TL; 2x30: çevre 64 m, maliyet 38 400 TL.
3. 3x20: çevre 46 m, maliyet 27 600 TL; 4x15: çevre 38 m, maliyet 22 800 TL.
4. 5x12: çevre 34 m, maliyet 20 400 TL; 6x10: çevre 32 m, maliyet 19 200 TL.

Kendini kontrol et: 6x10 için 2·(6+10) = 32 m ve 32·600 = 19 200 TL buluyor musun?

Kenarlar birbirine en yakın olduğunda çevre en küçük olur; bu da maliyeti en azlar.

1. Maliyet çevreyle orantılı olduğundan en küçük çevreli dikdörtgen aranır.
2. Çevreler: 122, 64, 46, 38, 34 ve 32 metre.
3. En küçük çevre 32 m, kenarlar birbirine en yakın olan 6x10 dikdörtgenindedir.

Kendini kontrol et: 19 200 TL, b şıkkında bulduğun maliyetlerin en küçüğü mü?