Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 203
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 203 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
3. Görüntü kümesig(x)=a(x+r)²+k için a>0 ve a<0 durumlarında görüntü kümesi varsayımı
Çözüm Yolu
Tepe noktası (-r, k); a>0 ise parabol yukarı, a<0 ise aşağı açılır.
- (x+r)² ifadesi her x için 0 veya pozitiftir; en küçük değeri 0'dır ve x=-r iken alınır.
- Bu yüzden tepe noktası (-r, k) olur ve g(-r)=k bulunur.
- a>0 ise a(x+r)²≥0 olduğundan g(x)≥k; görüntü kümesi [k, ∞) olur.
- a<0 ise a(x+r)²≤0 olduğundan g(x)≤k; görüntü kümesi (-∞, k] olur.
- Görüntü kümesini ℝ yazmak — parabol tepe noktasının bir yanında kalır, tüm gerçek sayıları almaz.
- Aralığı k'da açık yazmak — x=-r iken g(x)=k değeri alındığı için k dahildir.
Kendini kontrol et: Sayfadaki f(x)=2(x-3)²+1 grafiğinde en küçük değer 1 mi? Görüntü kümesi [1, ∞) ile uyuşuyor mu?
3. İşaretia>0 ve a<0 için fonksiyonun işareti varsayımı (r>0, k>0)
Çözüm Yolu
k>0 olduğundan a>0 iken en küçük değer pozitiftir. a<0 iken tepe pozitif, kollar aşağı gittiği için x eksenini keser.
- Tepe noktası (-r, k) ve k>0 olduğundan tepe noktası x ekseninin üstündedir.
- a>0 iken parabol yukarı açılır; en küçük değer k>0 olduğu için g(x) her x için pozitiftir.
- a<0 iken parabol aşağı açılır; tepe x ekseninin üstünde, kollar aşağı indiği için grafik x eksenini iki noktada keser.
- Bu durumda g(x) iki kök arasında pozitif, köklerde sıfır, köklerin dışında negatiftir.
- a<0 iken fonksiyonu her yerde negatif sanmak — k>0 olduğundan tepe çevresinde değerler pozitiftir.
- a>0 iken kök aramak — en küçük değer k>0 olduğundan grafik x eksenini kesmez.
Kendini kontrol et: a<0 için g(-r)=k>0 mı ve x büyüdükçe g(x) negatife iniyor mu?
3. Artanlığı-azalanlığıa>0 ve a<0 için artan ve azalan olduğu aralıklar
Çözüm Yolu
Eksen x=-r doğrusudur; yön değişimi tepe noktasında olur.
- g(x)=a(x+r)²+k grafiği, f(x)=x² grafiğinin ötelenmiş hâlidir; tepe noktası (-r, k), simetri ekseni x=-r doğrusudur.
- f(x)=x² fonksiyonu (-∞,0] aralığında azalan, [0,∞) aralığında artandır; öteleme ile bu sınır x=-r olur.
- a>0 iken parabol yukarı açılır: (-∞,-r] aralığında azalan, [-r,∞) aralığında artan.
- a<0 iken grafik ters döner: (-∞,-r] aralığında artan, [-r,∞) aralığında azalan.
- Sınırı x=r almak — x+r=0 için x=-r olur, yön değişimi x=-r'de gerçekleşir.
- Aralıkları y değerleriyle yazmak — artanlık aralıkları x eksenindeki değerlerle verilir.
Kendini kontrol et: Sayfadaki f(x)=2(x-3)²+1 grafiği x=3'ün solunda iniyor, sağında çıkıyor mu?
3. Maksimum-minimuma>0 ve a<0 için maksimum ve minimum nokta ve değerleri
Çözüm Yolu
Tepe noktası a>0 iken en düşük, a<0 iken en yüksek noktadır.
- Tepe noktası (-r, k) olup fonksiyon yön değişimini bu noktada yapar.
- a>0 iken g(x)≥k olduğundan (-r, k) minimum noktasıdır, minimum değer k'dir.
- a>0 iken kollar yukarı sınırsız uzandığından maksimum değer yoktur.
- a<0 iken g(x)≤k olduğundan (-r, k) maksimum noktası, maksimum değer k'dir; minimum değer yoktur.
- Minimum değeri -r yazmak — -r tepe noktasının apsisidir; değer, ordinat olan k'dir.
- Minimum ve maksimum noktasını karıştırmak — a>0 yukarı açılır ve tepe en düşük noktadır.
Kendini kontrol et: Sayfadaki f(x)=2(x-3)²+1 için minimum noktası (3, 1), değeri 1 mi?