Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 204
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 204 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
4. a) m grafik - tanım kümesim(x)=-2(x+2)² grafiği çizilip tanım kümesi yorumlanır
Çözüm Yolu
Parabol x ekseninde sağa ve sola sınırsız uzanır.
- m(x)=-2(x+2)² grafiği x²'nin sola 2 birim ötelenip x eksenine göre yansıtılmış, 2 kat gerilmiş hâlidir.
- Tepe noktası (-2, 0) olan, kolları aşağı açılan bir parabol çizilir.
- Grafik x ekseni boyunca sağa ve sola sınırsız uzanır; her gerçek x için m(x) hesaplanabilir.
- Bu nedenle m fonksiyonunun tanım kümesi ℝ'dir.
- Tepe noktasını (2, 0) almak — (x+2) ifadesi grafiği sola kaydırır, tepe x=-2'dedir.
- Tanım kümesini ekranda görünen x aralığıyla sınırlamak — parabolün kolları her iki yönde sınırsız devam eder.
Kendini kontrol et: Rastgele bir x, örneğin x=5 veya x=-10 için m(x) değerini hesaplayabiliyor musun?
4. a) m cebirsel - tanım kümesim fonksiyonunun tanım kümesinin cebirsel gerekçesi
Çözüm Yolu
f(x)=x² ℝ'de tanımlıdır; m(x)=-2·f(x+2) olduğundan m de ℝ'de tanımlıdır.
- f(x)=x² karesel referans fonksiyonunun tanım kümesi ℝ'dir.
- m(x)=-2(x+2)² ifadesini f ile yaz: m(x)=-2·f(x+2).
- Her gerçek x için x+2 de gerçek sayıdır; dolayısıyla f(x+2) tanımlıdır.
- Tanımlı bir değeri -2 ile çarpmak tanımsızlık yaratmaz; m'nin tanım kümesi ℝ olur.
- Fonksiyondaki eksi işareti veya katsayı yüzünden tanım kümesinin daraldığını sanmak — bunlar yalnız çıktıları etkiler, girdileri değil.
Kendini kontrol et: m(x) ifadesinde payda, kök veya logaritma gibi x'i kısıtlayan bir işlem var mı?
4. a) m grafik - görüntü kümesim grafiğine göre görüntü kümesi
Çözüm Yolu
Parabol aşağı açılır, en büyük y değeri tepe noktasında 0'dır.
- m(x)=-2(x+2)² fonksiyonunda a=-2<0 olduğundan parabol aşağı açılır.
- Tepe noktası x=-2 için m(-2)=0 olduğundan (-2, 0) noktasıdır.
- (x+2)²≥0 olduğundan -2(x+2)²≤0 olur; y değerleri en çok 0 olur.
- Kollar aşağı sınırsız indiğinden görüntü kümesi (-∞, 0] bulunur.
- Görüntü kümesini [0, ∞) yazmak — a negatif olduğu için parabol aşağı açılır, değerler 0'dan büyük olamaz.
- 0'ı açık aralıkla (-∞, 0) yazmak — 0 değeri x=-2'de alındığı için köşeli parantez gerekir.
Kendini kontrol et: Grafikte x ekseninin üstünde kalan herhangi bir nokta var mı? Varsa görüntü kümesini yeniden incele.
4. a) m cebirsel - görüntü kümesim fonksiyonunun görüntü kümesinin cebirsel gerekçesi
Çözüm Yolu
(x+2)² ≥ 0 olduğundan -2(x+2)² ≤ 0; 0 değeri x=-2'de alınır.
- f(x)=x² fonksiyonunun görüntü kümesi [0, ∞)'dur; yani (x+2)² ≥ 0'dır.
- Eşitsizliğin iki yanını -2 ile çarp; negatif sayıyla çarpıldığı için yön değişir: -2(x+2)² ≤ 0.
- Eşitlik x+2=0, yani x=-2 için sağlanır; m(-2)=0 değeri alınır.
- Her negatif y değeri için uygun bir x bulunabildiğinden görüntü kümesi (-∞, 0] olur.
- -2 ile çarparken eşitsizlik yönünü değiştirmemek — negatif sayıyla çarpınca ≥ işareti ≤ olur.
Kendini kontrol et: m(x)=-8 olacak bir x bulabilir misin? (x+2)²=4 eşitliğinden x=0 veya x=-4 çıkıyor mu?
4. a) n grafik - tanım kümesin(x)=3(x-1)²+1 grafiği çizilip tanım kümesi yorumlanır
Çözüm Yolu
Parabol x ekseninde iki yöne sınırsız uzanır.
- n(x)=3(x-1)²+1 grafiği, x²'nin sağa 1, yukarı 1 birim ötelenip 3 kat gerilmiş hâlidir; tepe (1, 1), kollar yukarı.
- Grafik incelendiğinde parabol x ekseni boyunca sağa ve sola sınırsız uzanır.
- Cebirsel olarak her gerçek x için x-1, karesi ve 3(x-1)²+1 hesaplanabilir; tanımsız kılan değer yoktur.
- Bu nedenle n fonksiyonunun tanım kümesi ℝ'dir.
- Tepe noktasını (-1, 1) almak — (x-1) ifadesi grafiği sağa kaydırır, tepe x=1'dedir.
- Grafiğin x eksenini kesmemesinden tanım kümesinin daraldığını sanmak — tanım kümesi x değerleriyle ilgilidir.
Kendini kontrol et: Parabolün tepe noktası n(1)=3·0+1=1 hesabıyla (1, 1) çıkıyor mu?
4. a) n cebirsel - tanım kümesin fonksiyonunun tanım kümesinin cebirsel gerekçesi
Çözüm Yolu
f(x)=x² ℝ'de tanımlı; n(x)=3·f(x-1)+1 de ℝ'de tanımlıdır.
- f(x)=x² karesel referans fonksiyonunun tanım kümesi ℝ'dir.
- n(x)=3(x-1)²+1 ifadesini f ile yaz: n(x)=3·f(x-1)+1.
- Her gerçek x için x-1 gerçek sayıdır; f(x-1) tanımlıdır.
- 3 ile çarpmak ve 1 eklemek tanımsızlık yaratmaz; n'nin tanım kümesi ℝ olur.
- Toplanan +1 sabitinin tanım kümesini etkilediğini düşünmek — dikey öteleme yalnız görüntü kümesini değiştirir.
Kendini kontrol et: n(x) ifadesinde hangi x değeri işlemi imkânsız kılar? Böyle bir değer bulamıyorsan tanım kümesi ℝ'dir.
4. a) n grafik - görüntü kümesin grafiğine göre görüntü kümesi
Çözüm Yolu
Parabol yukarı açılır, en küçük y değeri tepe noktasında 1'dir.
- n(x)=3(x-1)²+1 fonksiyonunda a=3>0 olduğundan parabol yukarı açılır.
- Tepe noktası x=1 için n(1)=1 olduğundan (1, 1) noktasıdır.
- (x-1)²≥0 olduğundan 3(x-1)²+1≥1 bulunur; y değerleri 1'den küçük olamaz.
- Kollar yukarı sınırsız uzandığından görüntü kümesi [1, ∞) olur.
- Görüntü kümesini [0, ∞) yazmak — grafik 1 birim yukarı ötelendiği için en küçük değer 1'dir.
- Tanım kümesi ile görüntü kümesini karıştırmak — görüntü kümesi y eksenindeki değerlerdir.
Kendini kontrol et: Grafikte y=1 doğrusunun altında kalan bir nokta var mı? Yoksa en küçük değer 1'dir.
4. a) n cebirsel - görüntü kümesin fonksiyonunun görüntü kümesinin cebirsel gerekçesi
Çözüm Yolu
(x-1)² ≥ 0 olduğundan 3(x-1)²+1 ≥ 1; 1 değeri x=1'de alınır.
- (x-1)² ≥ 0 eşitsizliğiyle başla; her gerçek sayının karesi negatif olmaz.
- İki yanı 3 ile çarp; pozitif sayı olduğundan yön korunur: 3(x-1)² ≥ 0.
- İki yana 1 ekle: 3(x-1)²+1 ≥ 1, yani n(x) ≥ 1.
- Eşitlik x=1 için sağlanır, n(1)=1; değerler yukarı sınırsız büyüdüğünden görüntü kümesi [1, ∞) olur.
- Önce 1 ekleyip sonra 3 ile çarparak n(x) ≥ 3 bulmak — işlem sırası ifadedeki gibi önce çarpma, sonra toplama olmalı.
Kendini kontrol et: n(x)=13 olacak bir x bulabilir misin? (x-1)²=4 eşitliğinden x=3 veya x=-1 çıkıyor mu?