Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 206
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 206 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
4b n(x) grafik: artan-azalann(x)=3(x-1)²+1 grafiğine göre artan ve azalan olduğu aralıklar
Çözüm Yolu
Tepe noktası (1,1), kollar yukarı (a=3>0) olduğundan tepe noktasına kadar azalır, sonra artar.
- Verilen n(x)=3(x-1)²+1; istenen artan ve azalan olduğu aralıklar.
- Tepe noktası (1,1) bulunur; a=3>0 olduğundan kollar yukarı bakar.
- Grafikte x=1'in solunda eğri aşağı iner: (-∞, 1] aralığında azalan.
- x=1'in sağında eğri yükselir: [1, ∞) aralığında artan.
- Aralıkları y değerlerine göre yazmak — artan/azalan aralıkları x ekseni üzerinde belirtilir.
- Kırılma noktasını x=-1 almak — (x-1) ifadesinde tepe x=1'dedir.
Kendini kontrol et: n(-1)=13, n(0)=4, n(1)=1, n(2)=4 değerleri x=1'e kadar azalış, sonra artışı gösteriyor mu?
4b n(x) grafik: maks-minn(x) grafiğine göre maksimum ve minimum noktaları ile değerleri
Çözüm Yolu
Kollar yukarı olduğundan tepe noktası (1,1) en düşük noktadır; fonksiyon yukarı yönde sınırsız artar.
- Verilen n(x)=3(x-1)²+1; istenen maksimum ve minimum noktaları ile değerleri.
- Tepe noktası (1,1); kollar yukarı olduğundan bu nokta grafiğin en alçak noktasıdır.
- (x-1)² ≥ 0 olduğundan n(x) ≥ 1; x=1'de minimum değer 1 alınır.
- Kollar yukarı sınırsız uzadığından maksimum değer yoktur.
- Minimum değeri 0 yazmak — grafik 1 birim yukarı ötelendiğinden en küçük değer 1'dir.
- Minimum noktası ile minimum değeri karıştırmak — nokta x=1, değer n(1)=1'dir.
Kendini kontrol et: n(x) değerinin 1'den küçük olduğu bir x bulabiliyor musun? Bulamıyorsan minimum değer 1'dir.
4b n(x) cebirseln(x) için artan ve azalan olma durumunun cebirsel gösterimi
Çözüm Yolu
x1<x2≤1 için (x1-1)²>(x2-1)² olur, 3 ile çarpıp 1 eklenince n(x1)>n(x2): azalan. 1≤x1<x2 için (x1-1)²<(x2-1)², n(x1)<n(x2): artan.
- n(x) = 3(x - 1)² + 1; tepe noktası x = 1, a = 3 > 0 olduğundan kollar yukarıdır.
- x1 < x2 ≤ 1 alalım: x1 - 1 < x2 - 1 ≤ 0, buradan (x1 - 1)² > (x2 - 1)².
- 3 ile çarpıp 1 ekleyince yön korunur: n(x1) > n(x2), yani (-∞, 1] aralığında azalan.
- 1 ≤ x1 < x2 alalım: 0 ≤ x1 - 1 < x2 - 1, buradan (x1 - 1)² < (x2 - 1)².
- 3 ile çarpıp 1 ekleyince n(x1) < n(x2); n fonksiyonu [1, ∞) aralığında artandır.
- Negatif farkların karesini alırken eşitsizlik yönünü korumak — iki negatif sayıdan küçüğün karesi daha büyüktür.
- +1 eklemenin eşitsizlik yönünü değiştirdiğini sanmak — sabit eklemek yönü korur.
Kendini kontrol et: x1=2, x2=3 seçince n(2)=4 < n(3)=13 çıkıyor mu? Bu, [1, ∞)'da artanlığı doğrular.
5a k(x)=2x² tanım ve görüntük(x)=2x² grafiği çizilip tanım ve görüntü kümesi yazılacak
Çözüm Yolu
Tepe noktası orijin, kollar yukarı; her gerçek sayı girilebilir, çıktılar 0 ve üzeridir.
- Verilen k(x)=2x²; istenen grafik, tanım ve görüntü kümesi.
- f(x)=x² grafiği dikey olarak 2 kat uzatılır; tepe noktası orijin (0,0) kalır.
- a=2>0 olduğundan kollar yukarı bakar.
- Her gerçek sayının karesi alınabildiğinden tanım kümesi ℝ olur.
- x² ≥ 0 olduğundan 2x² ≥ 0; görüntü kümesi [0, ∞) olur.
- Görüntü kümesini [2, ∞) yazmak — katsayı 2 tepe noktasını değiştirmez, en küçük değer k(0)=0'dır.
- Grafiği x²'den daha geniş çizmek — katsayı 1'den büyük olunca parabol daralır.
Kendini kontrol et: k(1)=2 ve k(-1)=2 noktaları grafiğinde var mı? Tepe noktası orijinde mi?
5a r(x)=-2(x-1)² tanım ve görüntür(x)=-2(x-1)² grafiği çizilip tanım ve görüntü kümesi yazılacak
Çözüm Yolu
Tepe noktası (1,0), kollar aşağı olduğundan en büyük değer 0'dır.
- Verilen r(x)=-2(x-1)²; istenen grafik, tanım ve görüntü kümesi.
- f(x)=x² grafiği 1 birim sağa kaydırılır, 2 kat dikleşir ve x eksenine göre yansır; tepe noktası (1,0).
- a=-2<0 olduğundan kollar aşağı bakar; grafik x eksenine (1,0) noktasında değer.
- Her gerçek sayı x yerine yazılabildiği için tanım kümesi ℝ olur.
- (x-1)² ≥ 0 olduğundan -2(x-1)² ≤ 0; görüntü kümesi (-∞, 0] olur.
- Tepe noktasını (-1, 0) almak — (x-1) ifadesi grafiği sağa kaydırır.
- Görüntü kümesini [0, ∞) yazmak — baştaki eksi işareti parabolü aşağı açar.
Kendini kontrol et: r(0)=-2 ve r(2)=-2 hesapları grafiğinin tepe noktasına göre simetrik olduğunu gösteriyor mu?
5a n(x)=3(x-1)²+1 tanım ve görüntün(x)=3(x-1)²+1 grafiği çizilip tanım ve görüntü kümesi yazılacak
Çözüm Yolu
Tepe noktası (1,1), kollar yukarı olduğundan en küçük değer 1'dir.
- Verilen n(x)=3(x-1)²+1; istenen grafik, tanım ve görüntü kümesi.
- f(x)=x² grafiği 1 birim sağa, 1 birim yukarı kaydırılır ve 3 kat dikleşir; tepe noktası (1,1).
- a=3>0 olduğundan kollar yukarı bakar.
- Her gerçek sayı x yerine yazılabildiğinden tanım kümesi ℝ olur.
- 3(x-1)² ≥ 0 olduğundan n(x) ≥ 1; görüntü kümesi [1, ∞) olur.
- Grafiği yalnız sağa kaydırıp yukarı ötelemeyi unutmak — +1 terimi grafiği 1 birim yukarı taşır.
- Görüntü kümesini (1, ∞) yazmak — 1 değeri x=1'de alındığından aralık kapalıdır.
Kendini kontrol et: Grafiğin y eksenini kestiği nokta n(0)=3·1+1=4 hesabıyla (0, 4) çıkıyor mu?