Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 209 Cevapları

f(t) = -1/2(t-4)² + 8 ters açılan paraboldür, tepe noktası t=4. Zemine dönüş f(t)=0 için t=8 olur.

1. Model: f(t) = -1/2 (t - 4)² + 8; a = -1/2 < 0, parabol aşağı açılır.
2. Tepe noktası t = 4 sn'de, en büyük yükseklik f(4) = 8 m'dir.
3. Top yere düşünce f(t) = 0: (t - 4)² = 16, t - 4 = ±4, t = 0 veya t = 8.
4. Tepeye kadar yükseklik artar, sonra azalır: artan [0, 4] sn, azalan [4, 8] sn.

Kendini kontrol et: f(0) ve f(8) değerleri 0 çıkıyor mu, f(4)=8 en büyük değer mi?

Grafik: eğri tepe noktasının (k değeri) altına inmez. Cebir: a(x+r)² ≥ 0 olduğundan g(x) ≥ k olur ve her değer alınır.

1. Verilen g(x)=a(x+r)²+k, a>0, r>0, k>0; istenen görüntü kümesi.
2. Grafikte eğri tepe noktasının y değeri k'nın altına inmez ve yukarı sınırsız uzanır.
3. Cebir: a(x+r)² ≥ 0 olduğundan g(x) ≥ k; (x+r)² her negatif olmayan değeri alır.
4. Görüntü kümesi [k, +∞) olur.

Kendini kontrol et: Grafikte y=k doğrusunun altında eğriye ait nokta var mı?

Grafik x ekseninin üstündedir. Cebir: g(x) ≥ k ve k>0 olduğundan g(x)>0; eksenle kesişmez.

1. Verilen g(x)=a(x+r)²+k, a>0, k>0; istenen g'nin işareti.
2. Grafikte eğrinin tamamı x ekseninin üstündedir, ekseni kesmez.
3. Cebir: a(x+r)² ≥ 0 olduğundan g(x) ≥ k olur.
4. k>0 olduğundan her x gerçek sayısı için g(x)>0, yani g pozitiftir.

Kendini kontrol et: g'nin alabileceği en küçük değer k pozitif mi? Pozitifse g hep pozitiftir.

Grafikte tepe noktası x=-r de yön değişir. Cebir: x1<x2≤-r ise (x1+r)² > (x2+r)² olur ve a>0 ile g(x1)>g(x2); sağda tersi.

1. Verilen g(x)=a(x+r)²+k, a>0; grafikte tepe noktası x=-r'dedir.
2. Grafikte x=-r'nin solunda eğri iner, sağında yükselir.
3. Cebir: x1<x2≤-r ise (x1+r)²>(x2+r)²; a>0 ile g(x1)>g(x2), yani azalan.
4. -r≤x1<x2 ise (x1+r)²<(x2+r)², g(x1)<g(x2), yani artan.

Kendini kontrol et: -r'nin solundan iki x seçip g değerlerini karşılaştırdığında soldaki daha büyük çıkıyor mu?

Grafikte en alçak nokta tepe noktasıdır. Cebir: g(x) ≥ k ve eşitlik x=-r için sağlanır. Kollar yukarı sonsuza gittiği için maksimum yoktur.

1. Verilen g(x)=a(x+r)²+k, a>0; grafikteki en alçak nokta tepe noktası (-r, k).
2. Cebir: a(x+r)² ≥ 0 olduğundan g(x) ≥ k; eşitlik x=-r'de sağlanır.
3. Minimum noktası (-r, k), minimum değeri k olur.
4. Kollar yukarı sınırsız gittiğinden maksimum yoktur.

Kendini kontrol et: g(-r) hesaplandığında k çıkıyor mu?

Grafik ile özellikler kolay görülür fakat çizim hatası ve yaklaşık okuma olabilir. Cebirsel ispat her değer için geçerlidir, ancak işlem gerektirir.

1. Grafikle doğrulamada özelliklerin bir bakışta görüldüğünü olumlu yön olarak belirt.
2. Çizimin yaklaşık olduğunu ve tüm noktaları gösteremediğini olumsuz yön olarak belirt.
3. Cebirsel ispatın her x için geçerli, kesin sonuç verdiğini olumlu yön olarak yaz.
4. Cebirsel ispatın daha uzun ve işlem gerektirdiğini olumsuz yön olarak yaz.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Yazılımla çizilen grafiğin elle çizimden daha güvenilir olduğunu ekleyen değerlendirme (Grafiğin yine de ispat yerine geçmediği belirtilirse)

Kendini kontrol et: Her yöntem için en az bir olumlu ve bir olumsuz yön yazdın mı?

İki yöntem birlikte kullanılırsa grafik fikir verir, cebir bu fikri kesinleştirir.

1. Grafiğin özellikleri hızlıca görmeye ve tahmin etmeye yaradığını belirt.
2. Cebirsel ispatın tahmini her x için kesinleştirdiğini belirt.
3. İki yöntemin birlikte kullanılmasının en kullanışlı yol olduğunu açıkla.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Basit fonksiyonlarda cebirsel ispatın da hızlı olduğunu vurgulayan değerlendirme (Grafiğin görsel destek sağladığı da belirtilirse)

Kendini kontrol et: Değerlendirmende hangi durumda hangi yöntemin daha kullanışlı olduğunu söyledin mi?