Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 213
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 213 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
1-g tamkareg(x)=x²-6x ifadesini tamkareye tamamlama
Çözüm Yolu
x²-6x ifadesine 9 eklenip çıkarılır.
- g(x)=x²-6x ifadesinde x'in katsayısı -6; yarısı -3, karesi 9'dur.
- İfadeye 9 eklenip çıkarılır: g(x)=x²-6x+9-9.
- İlk üç terim tamkaredir: x²-6x+9=(x-3)².
- (x+3)² yazmak — x'in katsayısı -6 olduğundan yarısı -3'tür; parantez içinde x-3 olmalı.
- 9 ekleyip çıkarmamak — ifadenin değeri değişir; eklenen sayı aynı anda çıkarılmalı.
Kendini kontrol et: (x-3)²-9 açıldığında x²-6x+9-9=x²-6x çıkıyor mu?
1-m sıfırlarm fonksiyonunun sıfırlarını bulma
Çözüm Yolu
(x-2)²+1=0 için (x-2)²=-1 olur, gerçek sayılarda çözüm yok.
- Tamkare formu m(x)=(x-2)²+1 kullanılarak m(x)=0 denklemi kurulur.
- (x-2)²+1=0 ise (x-2)²=-1 olur.
- Bir gerçek sayının karesi negatif olamaz; bu denklemin gerçek çözümü yoktur.
- Bu nedenle m fonksiyonunun gerçek sıfırı yoktur; grafik x eksenini kesmez.
- (x-2)²=-1'den x-2=±1 yazmak — negatif sayının gerçek karekökü yoktur.
Kendini kontrol et: m(x)'in en küçük değeri 1 ise m(x) hiç 0 olabilir mi?
1-m işaretm fonksiyonunun işaret tablosu
Çözüm Yolu
Tepe noktası (2,1) x ekseninin üstündedir ve kollar yukarı bakar.
- Verilen m(x)=x²-4x+5; istenen işaret tablosu.
- Tamkareye tamamla: x²-4x+4+1 = (x-2)²+1.
- (x-2)² her x için 0 veya pozitiftir, bu yüzden m(x) ≥ 1 olur.
- m(x)=0 olmaz, yani gerçek sıfırı yoktur; tepe noktası (2,1) x ekseninin üstünde, kollar yukarı.
- Kök olmadığı için işaret tablosu yapılamaz sanmak — kök yoksa fonksiyon tüm gerçek sayılarda tek işaretlidir, burada pozitiftir.
Kendini kontrol et: Herhangi bir x, örneğin x=0 için m(0)=5 pozitif mi?
1-m grafikm fonksiyonunun grafiğini çizme
Çözüm Yolu
y=x² grafiği 2 birim sağa, 1 birim yukarı ötelenir.
- Tamkare formu m(x)=(x-2)²+1'den tepe noktası (2, 1) okunur.
- y=x² grafiği 2 birim sağa, 1 birim yukarı ötelenir.
- x² katsayısı pozitif olduğundan kollar yukarı bakar; grafik x eksenini kesmez.
- m(0)=5 olduğundan grafik y eksenini 5'te keser; simetriyle (4, 5) de grafiğin üzerindedir.
- Grafiği 2 birim sola ötelemek — (x-2)² sağa ötelemeyi gösterir.
- Tepe noktasını x ekseni üzerine çizmek — +1 grafiği 1 birim yukarı taşır; tepe (2, 1)'dedir.
Kendini kontrol et: Çizdiğin parabol (0,5), (2,1) ve (4,5) noktalarından geçiyor mu?
1-g sıfırlarg fonksiyonunun sıfırlarını bulma
Çözüm Yolu
(x-3)²=9 ise x-3=±3; ya da x(x-6)=0.
- Tamkare formu g(x)=(x-3)²-9 kullanılarak g(x)=0 yazılır: (x-3)²=9.
- x-3=3 veya x-3=-3 olur.
- Buradan x=6 veya x=0 bulunur.
- Kontrol: g(x)=x(x-6) çarpanlarına ayrılırsa da sıfırlar x=0 ve x=6 çıkar.
- x=0 kökünü kaçırmak — x²-6x=0 denkleminde her iki tarafı x'e bölmek bir kökü kaybettirir.
- Yalnız x-3=3 almak — karekök alırken negatif durum da yazılmalı.
Kendini kontrol et: g(0) ve g(6) değerlerini hesapladığında ikisi de 0 çıkıyor mu?
1-g işaretg fonksiyonunun işaret tablosu
Çözüm Yolu
Kökleri 0 ve 6 olan, kolları yukarı bakan parabol köklerin dışında pozitiftir.
- Verilen g(x)=x²-6x; istenen sıfırlar ve işaret tablosu.
- Tamkare: g(x)=(x-3)²-9; sıfır için (x-3)²=9, x-3=±3.
- Sıfırlar x=0 ve x=6; g(x)=x·(x-6) çarpanlarına ayrılır.
- Tabloda x ve x-6 çarpanlarının işaretleri çarpılır: köklerin dışında + , arasında - .
- Kökler arasını pozitif yazmak — x² katsayısı pozitif olduğunda kökler arasında işaret negatiftir.
- Kök noktalarında işareti + veya - yazmak — x=0 ve x=6'da fonksiyonun değeri 0'dır.
Kendini kontrol et: Kökler arasından x=3 seçince g(3)=-9 negatif, dışından x=7 seçince g(7)=7 pozitif çıkıyor mu?
1-g grafikg fonksiyonunun grafiğini çizme
Çözüm Yolu
y=x² grafiği 3 birim sağa, 9 birim aşağı ötelenir; y eksenini 0'da keser.
- Tamkare formu g(x)=(x-3)²-9'dan tepe noktası (3, -9) okunur.
- y=x² grafiği 3 birim sağa, 9 birim aşağı ötelenir.
- x² katsayısı pozitif (1) olduğundan kollar yukarı bakar.
- Sıfırlar x=0 ve x=6 grafikte x ekseninin kesildiği noktalar olarak işaretlenir.
- g(0)=0 olduğundan grafik y eksenini orijinde keser; simetri ekseni x=3 çizilir.
- Grafiği 3 birim sola ötelemek — (x-3)² ifadesi sağa ötelemeyi gösterir.
- Tepe noktasını (3, 9) almak — -9 sabiti grafiği aşağı öteler.
Kendini kontrol et: Çizdiğin parabol (0,0), (3,-9) ve (6,0) noktalarından geçiyor ve x=3'e göre simetrik mi?
1-h tamkareh(x)=-x²+2x-1 ifadesini tamkareye tamamlama
Çözüm Yolu
-(x²-2x+1) = -(x-1)².
- h(x)=-x²+2x-1 ifadesinde x² katsayısı -1 olduğundan -1 parantezine alınır: h(x)=-(x²-2x+1).
- Parantez içindeki x²-2x+1 ifadesi (x-1)² tamkaresidir.
- -1 parantezine alırken işaretleri değiştirmemek — -(x²+2x-1) yazmak yanlıştır; tüm terimlerin işareti değişir.
- Sonucu (x-1)² yazmak — baştaki eksi işareti unutulursa grafiğin yönü değişir.
Kendini kontrol et: -(x-1)² açıldığında -x²+2x-1 elde ediliyor mu?
1-h sıfırlarh fonksiyonunun sıfırlarını bulma
Çözüm Yolu
-(x-1)²=0 ise x=1.
- Tamkare formu h(x)=-(x-1)² kullanılarak h(x)=0 denklemi çözülür.
- -(x-1)²=0 ise (x-1)²=0 olur.
- Bir sayının karesi yalnız sayı sıfırsa sıfırdır: x-1=0.
- Buradan x=1 bulunur; kök iki kez tekrarlandığı için çift katlı köktür.
- İki farklı kök aramak — (x-1)²=0 denkleminin tek kökü vardır; x=1 çift katlıdır.
- -(x-1)²=0 için x=-1 yazmak — parantez içi x-1 sıfır olmalı, bu da x=1 verir.
Kendini kontrol et: h(1)=-1+2-1 hesaplandığında 0 çıkıyor mu?
1-h işareth fonksiyonunun işaret tablosu
Çözüm Yolu
-(x-1)² her zaman sıfır veya negatiftir.
- Verilen h(x)=-x²+2x-1; istenen işaret.
- Tamkare: h(x)=-(x²-2x+1) = -(x-1)².
- (x-1)² ≥ 0 olduğundan önündeki eksiyle h(x) ≤ 0 olur.
- h(x)=0 yalnız x=1'de; tepe (1,0), kollar aşağı.
- x=1'in sağında ve solunda farklı işaret yazmak — çift katlı kökte işaret değişmez; her iki yanda negatiftir.
Kendini kontrol et: x=0 ve x=2 için h değerleri hesaplandığında ikisi de -1, yani negatif çıkıyor mu?
1-h grafikh fonksiyonunun grafiğini çizme
Çözüm Yolu
y=x² grafiği x eksenine göre yansıtılır, 1 birim sağa ötelenir.
- Tamkare formu h(x)=-(x-1)²'den tepe noktası (1, 0) okunur.
- y=x² grafiği x eksenine göre yansıtılır; kollar aşağı bakar.
- Grafik 1 birim sağa ötelenir; tepe x eksenine (1, 0) noktasında teğettir.
- h(0)=-1 olduğundan grafik y eksenini -1'de keser; simetriyle (2, -1) de grafiğin üzerindedir.
- Kolları yukarı çizmek — baştaki eksi işareti grafiği x eksenine göre yansıtır.
- Grafiği x eksenini iki noktada keser çizmek — tek (çift katlı) kök olduğundan grafik x eksenine yalnız teğettir.
Kendini kontrol et: Çizdiğin parabol (0,-1), (1,0) ve (2,-1) noktalarından geçiyor mu?
1-m tamkarem(x)=x²-4x+5 ifadesini tamkareye tamamlama
Çözüm Yolu
x²-4x+4+1 şeklinde yazılır.
- m(x)=x²-4x+5 ifadesinde x'in katsayısı -4; yarısı -2, karesi 4'tür.
- 5 sayısı 4+1 olarak yazılır: m(x)=x²-4x+4+1.
- x²-4x+4=(x-2)² olduğundan m(x)=(x-2)²+1 bulunur.
- Kontrol: (x-2)²+1=x²-4x+4+1=x²-4x+5.
- (x-2)²+5 yazmak — tamkare için eklenen 4 sabitten düşülmeli; 5-4=1 kalır.
- (x-4)² yazmak — x'in katsayısının yarısı alınmalı, yani -2.
Kendini kontrol et: (x-2)²+1 açıldığında x²-4x+5 elde ediliyor mu?