Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10. Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 221
Matematik 10. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 221 Cevapları
Yapay zekâ ile hazırlandı ve kontrol edildi
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
1-azalan-grafikk≥0 için g(x)=x²+k fonksiyonunun (−∞,0] aralığında azalan olduğunun grafiksel doğrulaması
Çözüm Yolu
Ötelemeyle artan-azalan aralıklar değişmez; tepe noktasının solunda parabol tepe noktasına doğru alçalır.
- f(x) = x² grafiğini çiz; tepe noktası orijindir.
- Grafiği y ekseni boyunca k birim yukarı ötele; tepe noktası (0, k) olur.
- Tepe noktasının solunda, yani x ≤ 0 bölümünde grafiği soldan sağa izle.
- Grafik bu bölümde sürekli aşağı indiği için g, (-∞, 0] aralığında azalandır.
- Grafiği sağdan sola okumak — artan/azalan kararı x büyürken, yani soldan sağa bakılarak verilir.
- Ötelemenin azalan aralığı değiştirdiğini sanmak — dikey öteleme tepe apsisini değiştirmez, aralık yine (-∞, 0] kalır.
Kendini kontrol et: Grafikte x = -2'deki nokta x = -1'dekinden daha yüksekte mi?
1-azalan-cebirselg(x)=x²+k fonksiyonunun (−∞,0] aralığında azalan olduğunun cebirsel ispatı
Çözüm Yolu
x1<x2≤0 ise |x1|>|x2|, karesi alınınca x1²>x2²; her iki yana k eklemek eşitsizliği korur.
- Verilen: g(x)=x²+k, k≥0. İstenen: g'nin (−∞,0] aralığında azalan olduğunu göstermek.
- Aralıktan iki sayı seçelim: x1<x2≤0.
- Sayılar sıfır veya negatif olduğundan sıfıra uzak olanın mutlak değeri büyüktür: |x1|>|x2|.
- Kareleri alınca x1²>x2² olur; iki yana k ekleyince g(x1)>g(x2).
- x büyüdükçe g(x) küçüldüğü için g, (−∞,0] aralığında azalandır.
- x1<x2 ise x1²<x2² sanmak — negatif sayılarda küçük olanın karesi büyüktür.
- Birkaç örnek değerle yetinmek — ispat için aralıktaki keyfî x1<x2 için gösterilmelidir.
Kendini kontrol et: x1 = -3, x2 = -1 al: g(-3) = 9 + k, g(-1) = 1 + k; hangisi büyük?
1-artan-grafikk≥0 için g(x)=x²+k fonksiyonunun [0,∞) aralığında artan olduğunun grafiksel doğrulaması
Çözüm Yolu
x²'nin grafiği y ekseni boyunca ötelenince artan olduğu aralık [0,∞) olarak kalır.
- f(x) = x² grafiğini y ekseni boyunca k birim yukarı öteleyerek g'nin grafiğini çiz.
- Tepe noktasının (0, k) olduğunu ve parabolün yukarı açıldığını belirle.
- Tepe noktasının sağında, x ≥ 0 bölümünde grafiği soldan sağa izle.
- Grafik bu bölümde sürekli yükseldiği için g, [0, ∞) aralığında artandır.
- Artan aralığı [k, ∞) yazmak — aralık x ekseninde okunur; k tepe noktasının y değeridir.
- Grafiği sağdan sola okumak — artan/azalan kararı x büyürken verilir.
Kendini kontrol et: Grafikte x = 2'deki nokta x = 1'dekinden daha yüksekte mi?
1-artan-cebirselg(x)=x²+k fonksiyonunun [0,∞) aralığında artan olduğunun cebirsel ispatı
Çözüm Yolu
Negatif olmayan sayılarda büyük olanın karesi de büyüktür; k eklemek sıralamayı değiştirmez.
- Verilen: g(x)=x²+k, k≥0. İstenen: g'nin [0,∞) aralığında artan olduğunu göstermek.
- Aralıktan iki sayı seçelim: 0≤x1<x2.
- İki sayı da negatif olmadığından büyük olanın karesi de büyüktür: x1²<x2².
- Eşitsizliğin iki yanına k ekleyelim: x1²+k<x2²+k, yani g(x1)<g(x2).
- x büyüdükçe g(x) de büyüdüğü için g, [0,∞) aralığında artandır.
- Sayıların negatif olmama koşulunu kullanmamak — bu koşul olmadan x1<x2'den x1²<x2² çıkmaz.
- Sonucu yalnız örnek değerlerle göstermek — ispat keyfî 0≤x1<x2 için yapılmalıdır.
Kendini kontrol et: x1 = 1, x2 = 3 al: g(1) = 1 + k, g(3) = 9 + k; sıralama korunuyor mu?