Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 223
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 223 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
1aGrafiği verilen ax², bx², cx², dx² fonksiyonlarının katsayılarını küçükten büyüğe sıralama
Çözüm Yolu
Aşağı açılanlarda (negatif) g=−x²'den dar olan d<−1, geniş olan −1<c<0 olur. Yukarı açılanlarda x²'den geniş a için 0<a<1, dar b için b>1.
- Yukarı açılan grafiklerin katsayısı pozitif, aşağı açılanlarınki negatiftir: a ve b pozitif, c ve d negatif.
- h(x)=ax² grafiği f(x)=x²'den daha geniş olduğundan 0<a<1 olur.
- k(x)=bx² grafiği f(x)=x²'den daha dar olduğundan b>1 olur.
- m(x)=cx² grafiği g(x)=−x²'den geniş olduğundan −1<c<0; t(x)=dx² daha dar olduğundan d<−1 olur.
- Hepsini sayı doğrusunda birleştir: d < −1 < c < 0 < a < 1 < b.
- Negatif katsayılarda dar grafiğin katsayısını büyük sanmak — dar grafikte |d| büyüktür, bu yüzden d daha küçüktür.
- Genişliği ters yorumlamak — |katsayı| büyüdükçe parabol daralır, küçüldükçe genişler.
Kendini kontrol et: x=1 için her grafiğin y değerini gözle karşılaştırınca aynı sıralamayı elde ediyor musun?
4cArsa alanının alabileceği maksimum değeri bulma
Çözüm Yolu
a(100)=100·100=10 000 metrekare.
- Alan fonksiyonu a(x)=x(200−x); maksimum x=100'de oluşur.
- x=100 yazalım: a(100)=100·(200−100)=100·100.
- Maksimum alan 10 000 m²'dir.
- Birimi m yazmak — alan metrekare (m²) ile ifade edilir.
- 100·100 çarpımında sıfır sayısını yanlış yazmak — sonuç 10 000'dir.
Kendini kontrol et: −x²+200x biçiminde x=100 yazınca da −10 000+20 000=10 000 buluyor musun?
4çAlan fonksiyonu a(x)'in grafiğini çizme
Çözüm Yolu
a(x)=x(200−x) kökleri 0 ve 200, tepe noktası kökler arasındaki ortada x=100'dedir.
- a(x)=−x²+200x'te baş katsayı negatif; parabol aşağı açılır.
- Kökleri bul: x(200−x)=0 ise x=0 veya x=200; grafik bu noktalarda x eksenini keser.
- Tepe noktası köklerin ortasında: x=(0+200)/2=100, a(100)=10 000; tepe (100; 10 000).
- Noktaları x=100 doğrusuna göre simetrik bir eğriyle birleştir; kenar uzunluğu pozitif olduğundan 0<x<200 kısmı anlamlıdır.
- Grafiği x<0 ya da x>200 için de anlamlı saymak — kenar uzunluğu ve alan negatif olamaz.
- Eksenleri ölçeklemeyi unutmak — y ekseni 10 000'e kadar uygun aralıklarla bölünmelidir.
Kendini kontrol et: Grafiğinde a(50) ile a(150) aynı yükseklikte, yani 7 500'de mi?
1ba, b, c, d katsayılarının alabileceği en geniş değer aralıklarını bulma
Çözüm Yolu
Grafiklerin x² ve −x² ile karşılaştırılan genişliğinden aralıklar belirlenir.
- a için: grafik yukarı açık ve x²'den geniş; 0<a<1, yani a∈(0,1).
- b için: grafik yukarı açık ve x²'den dar; b>1, yani b∈(1,∞).
- c için: grafik aşağı açık ve −x²'den geniş; −1<c<0, yani c∈(−1,0).
- d için: grafik aşağı açık ve −x²'den dar; d<−1, yani d∈(−∞,−1).
- Aralık uçlarını dahil etmek — a=1 olsaydı h grafiği f ile çakışırdı, bu yüzden uçlar açıktır.
- 0'ı aralığa katmak — katsayı 0 olursa fonksiyon parabol değil, x ekseni olur.
Kendini kontrol et: a=1/2, b=3, c=−1/2, d=−3 seçip grafiklerin şekildeki gibi sıralandığını doğrulayabilir misin?
2af(t)=−0,1(t−5)²+2,5 fonksiyonunun grafiğini çizme
Çözüm Yolu
a=−0,1<0 olduğundan kollar aşağıdadır. f(0)=0 ve f(10)=0 bulunur. Bu noktalarla grafik çizilir.
- Baş katsayı −0,1<0 olduğundan parabolün kollarının aşağı açık olduğunu belirle.
- Tepe noktasını kareli biçimden oku: t=5 için f(5)=2,5, yani tepe (5; 2,5).
- f(0)=−0,1·25+2,5=0 hesapla; grafik (0,0)'dan geçer.
- f(10)=−0,1·25+2,5=0 hesapla; grafik (10,0)'dan geçer.
- Bu üç noktayı t=5 doğrusuna göre simetrik bir parabolle birleştir; 0≤t≤10 kısmı anlamlıdır.
- Tepe noktasını (−5; 2,5) almak — (t−5)² ifadesinde tepe t=5'tedir.
- Grafiği t<0 veya t>10 için de çizmek — füzenin uçuşu 0≤t≤10 aralığındadır.
Kendini kontrol et: Çizdiğin grafikte f(2) ile f(8) eşit çıkıyor mu, yani t=5'e göre simetrik mi?
2bFüzenin yerden ulaştığı en büyük yüksekliği bulma
Çözüm Yolu
Fonksiyon aşağı açılan parabol; maksimum değer tepe noktasında, t=5 için 2,5 olur.
- Verilen: f(t)=−0,1(t−5)²+2,5. İstenen: en büyük yükseklik.
- (t−5)² en az 0 olduğundan −0,1(t−5)² en çok 0'dır.
- En büyük değer t=5 iken elde edilir: f(5)=0+2,5.
- Füze en fazla 2,5 km yükselir.
- Maksimum yükseklik yerine maksimuma ulaşma zamanını (5 sn) cevap vermek — soru yüksekliği soruyor.
- Birimi metre yazmak — fonksiyon yolu kilometre cinsinden veriyor.
Kendini kontrol et: f(4) ve f(6) değerlerini hesapla; ikisi de 2,5'ten küçük mü?
2cFüzenin atıldıktan kaç saniye sonra yere düştüğünü bulma
Çözüm Yolu
f(t)=0 denklemi çözülür: (t−5)²=25, t=0 veya t=10. Atış anı t=0 olduğundan düşme anı t=10 sn.
- Yere düşünce yükseklik sıfırdır: −0,1(t−5)²+2,5=0.
- Düzenleyelim: 0,1(t−5)²=2,5, yani (t−5)²=25.
- t−5=5 veya t−5=−5; buradan t=10 veya t=0.
- t=0 atış anıdır; füze 10 saniye sonra yere düşer.
- Kare kökü alırken yalnız pozitif değeri almak — t−5=−5 çözümü de vardır ama atış anını verir.
- t=0 çözümünü düşme anı sanmak — t=0 füzenin atıldığı andır.
Kendini kontrol et: f(10) değerini hesapladığında 0 buluyor musun?
3aKârın maksimum olması için gereken üretim adedini bulma
Çözüm Yolu
k(x)=g(x)−m(x)=−2x²+50x−10x−100=−2x²+40x−100. Tepe noktası x=−40/(2·(−2))=10.
- Verilen: gelir g(x)=−2x²+50x, maliyet m(x)=10x+100. Kâr k(x)=g(x)−m(x).
- k(x)=−2x²+50x−10x−100=−2x²+40x−100.
- Baş katsayı negatif, parabol aşağı açılır; maksimum tepe noktasındadır.
- Tepe noktası: x=−40/(2·(−2))=10.
- Kârın maksimum olması için 10 adet üretim yapılmalıdır.
- Maliyeti çıkarırken parantezi dağıtmamak — −(10x+100) ifadesinde 100 de eksi olur.
- Gelir fonksiyonunun tepe noktasını (x=12,5) bulmak — kârın maksimumu sorulduğu için k(x) kullanılmalıdır.
Kendini kontrol et: k(9) ve k(11) değerleri k(10)'dan küçük çıkıyor mu?
3bFirmanın elde edeceği maksimum kârı bulma
Çözüm Yolu
k(10)=−2·100+400−100=100 TL.
- Kâr fonksiyonu: k(x)=−2x²+40x−100; maksimum kâr x=10'da elde edilir.
- x=10 yazalım: k(10)=−2·100+40·10−100.
- Hesap: −200+400−100=100.
- Maksimum kâr 100 TL'dir.
- −2x² ifadesinde önce −2·10'u alıp sonra karesini almak — önce x²=100 hesaplanmalı, sonra −2 ile çarpılmalıdır.
- Yalnız geliri hesaplamak (g(10)=300) — kâr için maliyet (200) çıkarılmalıdır.
Kendini kontrol et: g(10)−m(10)=300−200 işlemi de 100 TL veriyor mu?
4aÇevresi 400 m olan dikdörtgen arsanın alanını x'e bağlı fonksiyon olarak yazma
Çözüm Yolu
Çevre 2(x+y)=400 olduğundan diğer kenar y=200−x. Alan kenarların çarpımıdır.
- Verilen: çevre 400 m, bir kenar x m. İstenen: alanı x'e bağlı yazmak.
- Çevre: 2(x+y)=400 ise x+y=200, diğer kenar y=200−x.
- Alan kenarların çarpımıdır: a(x)=x(200−x).
- Açılırsa a(x)=−x²+200x bulunur.
- Diğer kenarı 400−x almak — çevre iki uzun ve iki kısa kenarın toplamıdır, yarı çevre 200'dür.
- Alanı çevre formülüyle karıştırmak — alan iki komşu kenarın çarpımıdır.
Kendini kontrol et: x=50 için kenarlar 50 ve 150 olur; çevresi 400 m ediyor mu?
4bAlanın maksimum olması için kenar uzunluklarının alacağı değerleri bulma
Çözüm Yolu
a(x)=−x²+200x tepe noktası x=−200/(−2)=100; diğer kenar 200−100=100 m.
- Alan fonksiyonu: a(x)=−x²+200x; aşağı açılan parabol olduğundan maksimum tepe noktasındadır.
- Tepe noktasının apsisi: x=−200/(2·(−1))=100.
- Diğer kenar: 200−100=100.
- Kenarlar 100 m ve 100 m olmalıdır; arsa kare olur.
- Yalnız x=100'ü yazıp diğer kenarı bulmamak — soru iki kenar uzunluğunu da istiyor.
- Tepe noktası formülünde işareti karıştırmak — −b/(2a)=−200/(−2)=100 pozitif çıkmalıdır.
Kendini kontrol et: x=90 ve x=110 için alanları hesapla; ikisi de 10 000'den küçük mü?