Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 236 Cevapları

√x grafiği 1 sağa, 2 aşağı kaydırılır ve dikeyde 3 ile genişletilir.

1. x−1 ifadesi √x grafiğini 1 birim sağa, sondaki −2 ise 2 birim aşağı taşır.
2. 3 katsayısı grafiği dikeyde 3 kat uzatır; başlangıç noktası (1,−2) olur.
3. Nokta hesapla: n(2)=3·1−2=1 ve n(5)=3·2−2=4.
4. (1,−2), (2,1), (5,4) noktalarını işaretleyip sağa doğru yükselen yayla birleştir.

Kendini kontrol et: Grafiğin 5. maddede çizdiğin n grafiğiyle aynı olup olmadığını kontrol et.

a√(x+r) a>0 iken ≥0, a<0 iken ≤0 olur; üstüne k eklenir.

1. √(x+r)≥0 olduğundan başlangıç değeri g(−r)=k'dır.
2. a>0 ise a√(x+r)≥0, buna k eklenince g(x)≥k: görüntü kümesi [k, ∞).
3. a<0 ise a√(x+r)≤0, buna k eklenince g(x)≤k: görüntü kümesi (−∞, k].

Kendini kontrol et: Çizdiğin iki grafikte başlangıç noktasının ordinatı k mı ve grafik bu değerin hangi tarafında kalıyor?

a√(x+r)+k=0 denkleminden x=-r+(k/a)² bulunur.

1. a>0, k>0 ise g(x)≥k>0 olduğundan fonksiyon tanım kümesinin her yerinde pozitiftir.
2. a<0, k>0 ise sıfır yeri için a√(x+r)+k=0 ⇒ √(x+r)=−k/a yazılır.
3. −k/a pozitif olduğundan kare alınır: x+r=k²/a², yani x=−r+k²/a².
4. Fonksiyon azalan olduğundan bu noktadan önce pozitif, sonra negatiftir.

Kendini kontrol et: a=−1, r=1, k=2 için x=−1+4=3 bulunur; g(3)=−√4+2=0 sağlanıyor mu?

Karekök artandır; a'nın işareti yönü belirler.

1. x1<x2 alınca √(x1+r)<√(x2+r) olur; karekök sırayı korur.
2. a>0 ile çarpmak sırayı korur, k eklemek etkilemez: g artandır.
3. a<0 ile çarpmak sırayı tersine çevirir: g azalandır.
4. Her iki durumda inceleme aralığı tanım kümesi [−r, ∞)'dur.

Kendini kontrol et: Önceki tablolarda h (a=4) artan, m (a=−3) azalan çıkmıştı; genellemen bunlara uyuyor mu?

Başlangıç noktası (-r,k) uç noktadır ve fonksiyon değeri orada k'dır.

1. Grafiğin uç noktası x=−r'dedir ve g(−r)=a·0+k=k olur.
2. a>0 ise fonksiyon artandır; uç nokta en alçak noktadır: minimum değer k, maksimum yok.
3. a<0 ise fonksiyon azalandır; uç nokta en yüksek noktadır: maksimum değer k, minimum yok.

Kendini kontrol et: n(x)=3√(x−1)−2 için a=3, r=−1, k=−2; minimum −2 sonucu genellemenle uyumlu mu?

Grafik soldan sağa yükselir.

1. Verilen: n(x)=3·√(x−1)−2. Tanım kümesi x−1≥0'dan [1,∞) olur.
2. √(x−1) ifadesi x büyüdükçe büyür; pozitif 3 ile çarpmak ve 2 çıkarmak bu sırayı bozmaz.
3. Grafik (1,−2) noktasından başlayıp soldan sağa sürekli yükselir.

Kendini kontrol et: n(2)=1 ile n(5)=4'ü karşılaştır: x artınca değer de artıyor mu?

En düşük nokta (1,-2)'dir; grafik yukarı sınırsız gider.

1. Verilen: n(x)=3·√(x−1)−2. İstenen: grafikten maksimum ve minimum değer.
2. Karekök en az 0 olur; bu x−1=0, yani x=1 iken gerçekleşir.
3. n(1)=3·0−2=−2 bulunur; grafiğin başlangıç (en alçak) noktası (1,−2)'dir.
4. Katsayı 3>0 olduğundan grafik sağa doğru sınırsız yükselir, en büyük değer yoktur.

Kendini kontrol et: Grafikte (1,−2)'den daha aşağıda bir nokta var mı?

√(x1-1)<√(x2-1); pozitif 3 ile çarpma ve -2 ekleme sırayı korur.

1. Verilen: n(x)=3·√(x−1)−2; karekök içi negatif olamaz, tanım kümesi [1,∞).
2. Tanım kümesinden 1≤x1<x2 olacak şekilde iki değer seçelim.
3. Her iki yandan 1 çıkarırsak 0≤x1−1<x2−1 olur.
4. Karekök fonksiyonu artan olduğundan √(x1−1)<√(x2−1) elde edilir.
5. Pozitif 3 ile çarpmak ve −2 eklemek eşitsizliğin yönünü değiştirmez: n(x1)<n(x2).

Kendini kontrol et: Cebirsel sonucun, grafikte soldan sağa yükselme gözlemiyle aynı mı?

Artan olduğundan en küçük değer ilk değer x=1'de alınır.

1. n(x)=3·√(x−1)−2 fonksiyonu [1,∞) aralığında artandır.
2. Artan fonksiyon en küçük değerini tanım kümesinin başlangıcı x=1'de alır.
3. n(1)=3·√0−2=−2 bulunur; minimum noktası (1,−2).
4. x büyüdükçe √(x−1) sınırsız büyür, bu yüzden n'nin maksimum değeri yoktur.

Kendini kontrol et: √(x−1)≥0 olduğundan 3√(x−1)−2≥−2 eşitsizliği minimumu doğruluyor mu?

Grafikte başlangıç noktası ve yükselme görülür; cebirde x1<x2 eşitsizliğiyle aynı sonuç çıkar. Fark varsa genelde çizim hatası veya işlem hatasından kaynaklanır.

1. Elle çizdiğin n grafiğini ve yazılımda çizdirdiğin grafiği yan yana koy.
2. Başlangıç noktalarını karşılaştır: ikisi de (1,−2)'den başlıyor mu?
3. Artanlık, minimum değer ve x eksenini kestiği yeri iki grafikte ayrı ayrı oku.
4. Sonuçlar örtüşüyorsa yöntemlerin tutarlı olduğunu yaz; fark varsa çizim ölçeğini veya işlemleri gözden geçir.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Grafikte kesim noktası yaklaşık 1,4 okunur, cebirde tam 13/9 bulunur; fark okuma hassasiyetinden kaynaklanır. (Öğrenci elle çizdiği grafikten yaklaşık değer okuduysa.)

Kendini kontrol et: İki grafikte de tanım kümesi, artanlık ve minimum değer aynı mı çıktı?

a<0 olduğundan grafik x eksenine göre yansır, sonra r sola, k yukarı kayar.

1. x+r ifadesi grafiği r birim sola, +k ise k birim yukarı taşır; başlangıç (−r,k) olur.
2. r>0 ve k>0 olduğundan başlangıç noktası ikinci bölgededir.
3. a<0 olduğundan grafik x eksenine göre yansımış gibi aşağı doğru ilerler.
4. Değerler sınırsız azaldığından grafik x eksenini x=−r+k²/a² noktasında keser ve aşağı iner.

Kendini kontrol et: a=−1, r=1, k=2 seç: g(−1)=2 ve g(8)=−1 sonuçları çizdiğin şekle uyuyor mu?

x+r≥0 olmalıdır.

1. Karekökün içi negatif olamaz: x+r≥0 yazılır.
2. Eşitsizlik çözülür: x≥−r.
3. a ve k tanım kümesini etkilemez; her iki durumda da tanım kümesi [−r, ∞) olur.

Kendini kontrol et: x=−r için kök içi x+r=0 oluyor mu, x=−r−1 için negatif mi?