Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 238
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 238 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
9 Tanım kümesiTablo satırı: g(x)=a√(x+r)+k için tanım kümesi, grafikle doğrulama ve cebirsel ispat
Çözüm Yolu
Grafik x=-r noktasından başlayıp sağa devam eder. Cebirsel olarak karekökün içi x+r≥0 olmalıdır, buradan x≥-r bulunur.
- Verilen: g(x)=a·√(x+r)+k. İstenen: tanım kümesi.
- Grafik x=−r noktasından başlar ve sağa doğru sürekli devam eder.
- Cebirsel: karekökün içi negatif olamaz, x+r≥0 olmalıdır.
- Bu eşitsizlikten x≥−r bulunur.
- Tanım kümesini [r, ∞) yazmak — x+r≥0 eşitsizliğinde r karşıya geçince işaret değişir, sonuç x≥−r olur.
- Aralığı (−r, ∞) diye açık yazmak — x=−r'de karekökün içi 0 olur ve tanımlıdır, uç dahil edilmelidir.
Kendini kontrol et: x=−r yazınca karekökün içi 0 oluyor mu, x=−r−1 yazınca negatif mi kalıyor?
9 Görüntü kümesiTablo satırı: g fonksiyonunun görüntü kümesi, grafik ve cebirsel ispat
Çözüm Yolu
Grafikte en düşük y değeri k'dir ve eğri yukarı sınırsız gider. Cebirsel: √(x+r)≥0, a>0 olduğundan a√(x+r)≥0, her iki tarafa k eklenince g(x)≥k olur.
- Verilen: g(x)=a·√(x+r)+k, a>0, r>0, k>0. İstenen: görüntü kümesi.
- Grafikte en alçak nokta (−r, k)'dir ve eğri yukarı doğru sınırsız devam eder.
- Cebirsel: √(x+r)≥0 ve a>0 olduğundan a·√(x+r)≥0 olur.
- Her iki tarafa k eklenirse g(x)≥k elde edilir; değerler sınırsız büyüyebilir.
- Görüntü kümesini [0, ∞) yazmak — karekök en az 0 olsa da sonuca k eklendiği için en küçük değer k'dir.
- Görüntü kümesine tanım kümesindeki −r'yi yazmak — görüntü kümesi y değerleridir, x değerleri değildir.
Kendini kontrol et: g(−r) değerini hesapla; k çıkıyor mu ve grafikte bundan daha alçak nokta var mı?
9 İşaretiTablo satırı: g fonksiyonunun işaret durumu, grafik ve cebirsel ispat
Çözüm Yolu
k>0 olduğundan grafik x ekseninin üstündedir. Cebirsel: g(x)≥k>0 olduğundan fonksiyonun sıfırı yoktur ve hep pozitiftir.
- Verilen: g(x)=a·√(x+r)+k, a>0, k>0. İstenen: g'nin işareti.
- Grafiğin tamamı x ekseninin üstündedir; en alçak noktanın yüksekliği k>0'dır.
- Cebirsel: görüntü kümesinden g(x)≥k bulunur ve k>0'dır.
- Bu yüzden g(x)=0 olamaz; fonksiyonun sıfırı yoktur.
- Grafik x=−r'de y eksenine yakın başladığı için orada sıfır var sanmak — başlangıç noktasının y değeri k>0'dır.
- Grafiğin sol tarafında (x<−r) negatif olduğunu söylemek — orası tanım kümesinde değildir, işaret incelenmez.
Kendini kontrol et: g'nin alabileceği en küçük değer k pozitif mi? Öyleyse g hiç 0 ya da negatif olabilir mi?
9 Artanlığı-AzalanlığıTablo satırı: g fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralık, grafik ve cebirsel ispat
Çözüm Yolu
Grafik soldan sağa yükselir. Cebirsel: -r≤x1<x2 için √(x1+r)<√(x2+r), a>0 ile çarpıp k eklemek sırayı korur, yani g(x1)<g(x2).
- Verilen: g(x)=a·√(x+r)+k, a>0. İstenen: artan/azalan olduğu aralık.
- Grafik, x=−r'den başlayıp soldan sağa sürekli yükselir.
- Cebirsel: −r≤x₁<x₂ alınırsa x₁+r<x₂+r, buradan √(x₁+r)<√(x₂+r) olur.
- a>0 ile çarpmak ve k eklemek eşitsizliğin yönünü korur: g(x₁)<g(x₂).
- Eğri sağa doğru yataylaştığı için bir yerden sonra sabit ya da azalan sanmak — artış yavaşlar ama hiç durmaz.
- Artanlık aralığını (−∞, ∞) yazmak — fonksiyon yalnız tanım kümesi [−r, ∞) üzerinde incelenir.
Kendini kontrol et: Tanım kümesinden iki x seç; büyük x için g değeri gerçekten daha büyük çıkıyor mu?
9 Maksimum-MinimumTablo satırı: g fonksiyonunun maksimum ve minimum noktaları, grafik ve cebirsel ispat
Çözüm Yolu
Fonksiyon artan olduğundan en küçük değeri başlangıç noktasında, x=-r'de g(-r)=k alır. Değerler sınırsız arttığı için maksimum yoktur.
- Verilen: g(x)=a·√(x+r)+k, a>0, tanım kümesi [−r,∞). İstenen: maksimum ve minimum noktaları.
- Grafikte en alçak nokta başlangıç noktası (−r, k)'dir.
- Cebirsel: g artan olduğundan en küçük değeri ilk noktada alır: g(−r)=a·0+k=k.
- Değerler x büyüdükçe sınırsız arttığından en büyük değer yoktur.
- Minimum noktasını yalnız k olarak yazmak — nokta (x, y) ikilisidir; doğrusu (−r, k), minimum değer ise k'dir.
- Grafikteki okun ucundaki noktayı maksimum sanmak — ok, eğrinin sınırsız devam ettiğini gösterir.
Kendini kontrol et: g(−r)=k mi ve tanım kümesindeki her x için g(x)≥k sağlanıyor mu?
10.aGrafik ile doğrulama ve cebirsel ispat yöntemlerinin kullanışlılığını sınıf arkadaşlarıyla tartışma
Bu sorunun cevabı henüz yayımlanmadı. Neden?
10.bg(x)=2√(x-3)+1 fonksiyonunun maksimum ve minimum noktaları ile değerlerini bulma
Çözüm Yolu
Tanım kümesi [3,∞). √(x-3)≥0 olduğundan g(x)≥1 ve eşitlik x=3'te sağlanır. Fonksiyon sınırsız arttığından maksimum yoktur.
- g(x)=2·√(x−3)+1 için x−3≥0 olmalı; tanım kümesi [3,∞).
- √(x−3)≥0 olduğundan 2·√(x−3)≥0, buradan g(x)≥1 bulunur.
- Eşitlik √(x−3)=0 yani x=3 iken sağlanır: g(3)=1.
- Minimum noktası (3,1), minimum değer 1'dir.
- x arttıkça g(x) sınırsız büyüdüğünden maksimum noktası ve değeri yoktur.
- Minimum noktasını (−3, 1) yazmak — x−3=0 denkleminden x=3 bulunur, işaret karıştırılmamalıdır.
- Minimum noktası ile minimum değeri karıştırmak — nokta (3,1), değer ise yalnız 1'dir.
- g(0) hesaplamaya çalışmak — x=0 tanım kümesinde değildir, çünkü karekökün içi negatif olur.
Kendini kontrol et: g(3)=2·0+1=1 mi ve örneğin g(4)=3 bundan büyük mü?
10.cg fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları belirleyip grafik ve cebirle ispatlama
Çözüm Yolu
3≤x1<x2 için x1-3<x2-3, karekök artan olduğundan √(x1-3)<√(x2-3); 2 ile çarpıp 1 eklemek sırayı korur, g(x1)<g(x2). Grafik de sağa doğru yükselir.
- g(x)=2·√(x−3)+1, tanım kümesi [3,∞).
- 3≤x1<x2 seçelim; 3 çıkarınca 0≤x1−3<x2−3 olur.
- Karekök artan olduğundan √(x1−3)<√(x2−3).
- 2 ile çarpıp 1 eklemek sırayı korur: g(x1)<g(x2), yani g artandır.
- Grafikte de eğri (3,1) noktasından başlayıp sağa doğru sürekli yükselir.
- Birkaç sayı deneyip artan demeyi ispat saymak — örnekler fikir verir, genel ispat için x1<x2 ile eşitsizlik kurulmalıdır.
- Artan aralığı (3, ∞) yazmak — x=3 tanım kümesindedir ve aralığa dahil edilmelidir.
Kendini kontrol et: g(3)=1, g(4)=3, g(7)=5 değerleri x büyüdükçe büyüyor mu?
10.dKullanılan yöntemleri sağladığı faydalar ve kullanışlılık açısından değerlendirme
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar
Grafik, okunması kolay ancak çizim hatasına açık ve yaklaşıktır. Cebirsel yöntem kesin ve genellenebilir ama uzundur. Birbirini tamamlarlar.
- 10. soruda grafik ve cebirle yaptığın işlemleri gözden geçir.
- Grafik yönteminin faydasını yaz: özellikleri hızlıca ve görsel olarak gösterir.
- Grafik yönteminin sınırını yaz: yaklaşık ve çizim hatasına açıktır.
- Cebirsel yöntemin faydasını yaz: özelliğin her x için doğru olduğunu kesinleştirir.
- Cebirsel yöntemin sınırını yaz: daha uzundur ve işlem dikkati ister.
- Kullanışlılık yargını ver: grafikle tahmin edip cebirle kanıtlamak en etkilidir.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Bu soru için grafik yöntemi yeterince kullanışlıdır; çünkü fonksiyon basittir ve özellikler grafikte açıkça görülür. (Grafiğin genel kanıt yerine geçmediği de kabul edilirse geçerlidir.) · Cebirsel ispat daha kullanışlıdır; çünkü sonuç çizim doğruluğuna bağlı kalmadan kesinleşir. (Grafiğin tahmin ve kontrol için sağladığı fayda da anılırsa geçerlidir.)
- Yalnız sonuçları tekrar yazıp yöntemleri değerlendirmemek — soru yöntemlerin faydasını ve kullanışlılığını sormaktadır.
- Gerekçesiz yargı bildirmek — her yöntem için neden faydalı ya da sınırlı olduğunu açıklamak gerekir.
Kendini kontrol et: Değerlendirmende her iki yöntemin faydası ve kullanışlılığı gerekçeleriyle yer alıyor mu?